Gauss y el mito de los primeros cien números

Karl Friedrich Gauss
Gauss y el mito de los primeros cien números
Carlos Velázquez
Su majestad Gauss, príncipe de las matemáticas
Karl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania.
La vida de Gauss estuvo envuelta a tal punto en la resolución de
problemas matemáticos, que incluso saber su propia fecha de nacimiento
supuso un reto matemático para él. Su madre, Dorothea Benzer, por
alguna razón nunca recordó la fecha exacta del nacimiento de su hijo,
pero paradójicamente sí recordaba que Karl Friedrich nació un miércoles,
ocho días antes del festival de la Ascensión, el cual ocurría 40 días
después de la Pascua. Cuando Gauss fue consciente de esto, ideó un
método para calcular cuándo ocurrieron las Pascuas de los años pasados
y cuándo ocurrirían las de los futuros, de modo que ya no había que
esperar a observar los acontecimientos astronómicos que determinan la
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fecha, a saber: primer domingo después de la luna llena tras el equinoccio
de primavera en el hemisferio norte. Complicado de recordar ¿no?
Gauss fue un niño genio. Aprendió a leer por sí mismo y practicó
aritmética elemental desde muy pequeño; se dice que a los tres años
encontró y corrigió un error en las cuentas de la nómina de su padre.
Más tarde Gauss diría de sí mismo que había aprendido a sumar antes
que a hablar -como de toda afirmación acerca de uno mismo, no
deberíamos descartar alguna pequeña presunción de su parte-.
Figura 1. Gauss nació y creció en la ciudad alemana de Brunswick. La ilustración
corresponde a un boceto de la ciudad en el siglo XVI.
Imagen tomada de:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Braun_Braunschweig_UBHD.jpg
A los siete años Gauss ingresó a una de las escuelas de primeras letras
de Brunswick -el equivalente a una primaria-, donde se supone que ocurrió
la celebrada anécdota de la suma de los primeros cien números que
resolveremos adelante, ¿pero será un mito tejido alrededor del nombre de
Gauss debido a su endemoniada capacidad para las matemáticas?
Su fama de niño genio hizo que pronto fuera conocido en todo su
condado natal, y a los 14 años fue presentado ante el duque de
Brunswick, quien lo apoyó para que ingresara al Collegium Carolinum, hoy
Universidad Técnica de Brunswick. Aquí, Gauss volvió a sorprender a todos
por su gran facilidad para las lenguas, ya que dominó el griego y el latín
con facilidad. De hecho, hubo un momento en que dudó entre las
matemáticas o la filología, pero a partir de los 17 años se dedicó de lleno
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a la gran pasión de su vida: la aritmética. Esto lo testimonia una de las
frases que solía repetir: "la matemática es la reina de las ciencias, y la
aritmética es la reina de las matemáticas".
A los 19 años, durante una estancia en la Universidad de Göttingen,
Gauss escribió su más célebre obra, Disquisitiones Arithmeticae. En ella
recogió todos los resultados que había descubierto hasta entonces y creó
el fundamento para una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los
números. Esta teoría se dedica a estudiar las propiedades de los números
y más específicamente de los números enteros (ver, Sobre los números
reales, naturales, imaginarios..., en Cienciorama). Si te parece que esto
suena a algo muy sencillo, te diré que contra lo que nuestra intuición nos
indica, la teoría de los números es una de las disciplinas más difíciles de
las matemáticas, y muchos de los problemas más arduos que tienen por
resolver las matemáticas modernas están en ese campo.
Las contribuciones de Gauss no se limitaron a las matemáticas puras
o que no tienen una aplicación práctica inmediata, hizo aportaciones
fundamentales y decisivas a la astronomía,
a la geodésica y a muchas
ramas de la física, como el magnetismo y la óptica, a tal punto que
muchos
de
los
resultados
que
obtuvo
con
sus
nuevos
métodos
matemáticos sólo pudieron ser mejorados hasta la segunda mitad del siglo
XX.
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Figura 2. Las contribuciones de Gauss a la ciencia son innumerables, entre otras están su
invento del heliotropo --instrumento para mediciones geodésicas-- y del primer precursor
del telégrafo, la modelación del campo magnético de la Tierra y la medición de la órbita
de varios cuerpos celestes. Créditos al final.
Sin embargo, uno de sus descubrimientos más célebres podría parecernos
relativamente
modesto
hoy
en
día:
en
su
famoso
Disquisitiones
Arithmeticae Gauss demostró que es posible trazar un polígono regular de
17 lados usando sólo regla y compás. Quizá no parezca trascendental,
pero el hecho es que desde la época griega sólo se sabía de las reglas
para construir triángulos regulares, cuadrados, pentágonos y una figura de
15 lados iguales usando sólo regla y compás, además de todas las figuras
que doblan este número de lados. Hasta que Gauss hizo su descubrimiento
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se pensaba que no existía ninguna otra figura que pudiera trazarse usando
sólo regla y compás.
Para darnos uno idea de qué tan trascendente fue este hecho para
las matemáticas, diría que es equivalente a que los químicos de hoy en
día descubrieran un nuevo elemento del que jamás hubieran sospechado
su existencia. En el fondo, podemos decir que este descubrimiento les
mostró a los matemáticos todo un nuevo mundo de posibilidades en el
que se mezclaban la aritmética,
el álgebra y la geometría.
Figura 3. Gauss demostró que era posible construir un polígono regular de 17 lados
utilizando sólo regla y compás.
Imagen tomada de: http://sp8.fotolog.com/photo/40/6/1/prism/1096953090_f.jpg
Por último, antes de pasar a las anécdotas, te menciono que las
contribuciones más importantes de Gauss a la astronomía consistieron en
el cálculo de la órbita de algunos cuerpos celestes recién descubiertos asteroides y planetas-, lo cual era necesario para saber hacia dónde
apuntar el telescopio para volver a encontrarlos. Para ello hay que realizar
un trabajo matemático arduo y hay que trabajar con muchas mediciones,
con incertidumbres y errores asociados, de modo que hay que saber cómo
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tratar con cautela las cifras. Mientras trabajaba en todo esto Gauss inventó
varios métodos para poder hacer predicciones aceptables, y entre otras
cosas describió las propiedades de una gráfica que nos da la forma típica
en que se presentan las incertidumbres aleatorias alrededor de un valor
promedio. Hoy en día conocemos esta gráfica como la campana de Gauss,
y es el compañero infaltable de todos los científicos que trabajamos en
los laboratorios de todo el mundo, y también para los economistas y
sociólogos.
Figura 4. La curva normal o campana de Gauss, es la mejor manera de representar la
distribución de una variable aleatoria alrededor de su valor promedio. Imagen tomada de:
http://i.stack.imgur.com/QiTPe.png
La suma celebre
Ahora que ya hemos obtenido un panorama de la vida de Gauss, te
propongo que regresemos a la niñez de este genio y revisemos uno de los
problemas que se dice que resolvió de pequeño y que se ha vuelto un
clásico de los escritos de divulgación, la suma de los primeros 100
números: "En la década de los 1780 un maestro de primaria en Alemania les
planteó a sus estudiantes el tedioso trabajo de sumar los primeros 100 números
enteros. El maestro esperaba que sus pupilos se mantuvieran ocupados y
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silenciosos alrededor de una media hora, sin embargo uno de ellos, de forma
casi inmediata dio con la respuesta correcta y se la entregó al maestro. Este
niño prodigio era Karl Friedrich Gauss."
Antes de discutir lo que se sabe acerca de la anécdota misma, te
propongo que resolvamos este ejercicio matemático, que resulta bastante
entretenido.
¿Sumar los primeros 100 números? Bueno, para que no queden
dudas, esto quiere decir sumar 1+2+3+4+5+6… hasta llegar a 100. Creo
que es obvio que simplemente ponernos a sumar será un trabajo tedioso y
fácilmente podemos cometer algún error, así que ¿cómo podemos generar
una respuesta rápida y a prueba de errores? En realidad es posible usar
varios métodos, pero veamos los dos más clásicos.
El primero con el último
Notemos que si sumamos 100+1 obtendremos 101, si sumamos 99+2=101,
98+3=101, o sea, si vamos sumando el primer número con el último, luego
el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etcétera,
siempre obtendremos el mismo resultado. ¿Cuántas veces podemos hacer
esto? Podemos hacerlo exactamente 50 veces, ya que con cien números
podemos
formar
50
parejas.
Esto
significa
que
la
suma
de
1+2+3+...+98+99+100 es exactamente igual que sumar 101 cincuenta veces,
o bien, 50 x101=5050. ¡Tan-tán! Casi mágico ¿no lo crees?
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 7
Figura 5. Un método para resolver la suma es formar parejas que al sumarse siempre dan
el mismo resultado.
El triángulo con dientes
Bueno y para no quedarnos con ninguna duda, comprobémoslo mediante
el segundo método. Si representamos a 1 mediante un cuadrado, a dos
mediante dos cuadrados, etc., y los ordenamos de manera creciente,
entonces podemos formar la figura de una escalera, ver la figura 6. Hacer
la suma se reduce a calcular el área de esta figura que podemos
considerar un triángulo con dientes. Primero calculemos el área del
triángulo sin los dientes, que será simplemente la base (que mide 100) por
la altura (que también mide 100) dividida entre dos lo cual es (100 x
100)/2 = 5000. Sin embargo nos falta sumar el área de los dientes. Cada
uno de los dientes vale la mitad de una unidad, y tenemos una de estas
mitades por cada columna, de modo que el área total que ocupa es
100/2=50. Juntando nuestros dos resultados tenemos que el área total es
5000 + 50 = 5050, como habíamos obtenido mediante el razonamiento
anterior.
¡Increíble! La primera vez que supe cómo hacer esta suma me quedé
gratamente sorprendido del poder de razonamiento y de la elegancia del
resultado, aunque debo confesar que pasó mucho tiempo para que viera
cómo esto se puede extender a otras sumas más complicadas. Con esto
queda
clara
la
genialidad
temprana
de
Gauss.
Sin
embargo,
las
matemáticas son tan extensas y los hechos anecdóticos suelen estar
salpicados por tantas imprecisiones que deberíamos tener cuidado a la
hora de darlos por sentado. Incidentalmente, la leyenda suele decir que el
niño Gauss utilizó el primer método.
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 8
Figura 6. Otro método para realizar la suma de los primeros 100 números. En este caso
dividimos la figura en dos formas geométricas conocidas y el problema se reduce a
calcular sus áreas. En la figura solo tomamos los primeros 30 números para ejemplificar
el método.
Gauss y el mito de la suma
Hasta aquí no hay duda del personaje fuera de serie que tenemos entre
manos, pero su genialidad hizo que se tejieran muchos mitos a su
alrededor. En particular el mito de la suma de los primeros 100 números
suele contarse muy a menudo. Lo primero que debemos saber es que
Gauss no fue el primero en resolver este problema ya que su solución se
conoce al menos desde el siglo VIII d.C., y fue propuesto y resuelto por
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Alcuino de York, un monje matemático inglés que trabajó en la Escuela
Palatina de Carlomagno. Sin embargo, la anécdota no remarca el hecho de
que Gauss haya sido el primero, sino que lo hubiera resuelto teniendo
escasos nueve años.
Pero como siempre es bueno caminar sobre seguro, no está de más
preguntarse ¿qué pruebas se tienen de que Gauss resolvió esta suma? Esta
pregunta es la misma que hace no mucho se hizo Brian Hayes. Él, en su
calidad de escritor sobre temas de la ciencia, había escuchado sobre la
anécdota de Gauss, pero cuando él mismo la repitió en uno de sus
escritos se dio cuenta de que jamás había reparado en los detalles de
esta historia. Como en todo lo que uno hace con cuidado y en especial
tratándose de cuestiones históricas, le empezaron a surgir dudas y quiso
saber a fondo cómo habían ocurrido las cosas. Después de un buen rato
de buscar se dio cuenta de que era una de las narraciones con más
variaciones que se pueden encontrar, así que decidió llegar a la raíz del
asunto y ver cuál era la fuente primaria de la que se derivaba toda esta
multiplicidad de relatos y emprendió una épica búsqueda bibliográfica.
Figura 7. Ilustración del famoso relato de la solución de Gauss a la suma de los primeros
100 números. Imagen tomada de:
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http://francis.naukas.com/files/2010/04/dibujo20100415_fanciful_drawing_young_carl_friedri
ch_gauss_receives_instruction_arithmetic_from_schoolmaster_j_g_buttner.png
Al final Hayes llegó a la conclusión de que la mayor parte de las
biografías y libros más antiguos en los que se relata la anécdota utilizan
como fuente el escrito de Wolfgang Sartorius, profesor de mineralogía y
geología en la Universidad de Göttingen, donde Gauss realizó su carrera
académica en la madurez. El escrito es un memorial que se publicó un
año después de la muerte de Gauss. Para evitar más confusiones, creo
conveniente poner directamente lo encontrado por Hayes:
En 1784, después de su séptimo cumpleaños, el pequeño [Gauss] entró en
una escuela pública donde se enseñaban materias elementales y que estaba
entonces bajo la dirección de un hombre llamado Büttner. La escuela
consistía en un aula simple, de techo bajo con un suelo desgastado y
desigual (...). En esta escuela, que parece haber seguido en gran parte el
patrón de enseñanza de la Edad Media, el joven Gauss permaneció dos
años sin que ocurriera algún incidente especial. Para entonces había llegado
a la clase de aritmética en la que la mayoría de los chicos se mantuvieron
hasta sus quince años.
Aquí ocurrió un incidente que Gauss solía recordar en los días de su vejez
con mucha animación y entusiasmo. En esta clase, el alumno que terminaba
primero sus ejercicios de aritmética colocaba su pizarra en medio de una
gran mesa. Encima de ésta, el segundo en terminar colocaba su pizarra y
así sucesivamente. El joven Gauss acababa de entrar a la clase cuando
Büttner dictó un problema (la suma de una serie aritmética). El problema
apenas acababa de dictarse cuando Gauss lanzó su pizarra sobre la mesa
con las palabras (en el dialecto del bajo Braunschweig): “Allí está”.
"(...) Al final de la hora todos voltearon sus pizarras hacia arriba. La del
joven Gauss había sido la primera y solamente tenía una pequeña anotación
como respuesta. Cuando Büttner dio lectura a la respuesta, para sorpresa
de todos los presentes, la respuesta de Gauss resultó ser correcta, mientras
que muchos de los otros estaban equivocados.
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 11
Lo interesante de este relato es que no se encuentra la referencia a la
suma de los primeros cien números por ninguna parte. Cuando Hayes
buscó cuál era la primera referencia escrita acerca de Gauss resolviendo
esta suma en particular, sólo la encontró en una biografía de él hecha por
Ludwig Bieberbach, escrita 82 años después del memorial de Sartorius.
Números triangulares
Pero para que no nos quedemos en blanco, te diré un resultado que
Gauss sí obtuvo y que pertenece a la nueva ciencia de la teoría de
números,
se
trata
del
teorema
de
la
descomposición
en
números
triangulares. ¿En números qué? Tranquilo, es muy sencillo, decimos que un
número es triangular si al tomar un número de bolitas igual a ese número
somos capaces de formar un arreglo triangular. Para que acabes de
visualizar
esta
definición
ve
la
figura
8.
Debemos
notar
que
matemáticamente consideramos que también el 0 es un número triangular.
Figura 8. Números triangulares.
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 12
Como ves, los números triangulares son sólo una pequeña fracción de
todos los números. Bueno, sin embargo Gauss se dio cuenta de que:
"Todo número entero puede obtenerse como la suma de tres números
triangulares".
Otra vez ¿qué? No hay que desesperarse, para que entiendas qué
quiere decir esto nota que:
2 = 0+1+1
4 = 0+1+3
5 = 1+1+3
...
20 = 0+10+10
Este teorema no dice que los números triangulares deban ser distintos,
pero lo que sí asegura es que cualquier número se puede escribir como la
suma de tres triangulares. En realidad Gauss estaba tan emocionado con
su resultado que en su diario está anotado "¡Eureka! num=++"
El mito y la leyenda
Bien, aquí te he contado sobre la carrera de uno de los matemáticos más
brillantes que ha habido en la historia de la humanidad. Al final te quise
mostrar algo que es propio no sólo de la ciencia sino de cualquier
actividad humana: la tendencia que tenemos a crear mitos, a agregar
detalles anecdóticos a sucesos del pasado y que no siempre es posible
comprobar, pero que el tiempo inserta en la memoria colectiva hasta que
se vuelven parte de ella.
Con esto quiero decir que es necesario estar siempre atentos a este
tipo de situaciones y verlas siempre con un poco de escepticismo.
Por ahora es todo, espero que te haya gustado saber del príncipe
de las matemáticas. Todos los descubrimientos y la vida de quienes los
realizan están llenos de anécdotas y acontecimientos que vale la pena
conocer y recordar, y para saberlos creo que la mejor receta que tenemos
Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 13
es mantener los ojos y la mente bien abiertos y hacer un montón de
preguntas impertinentes. Hasta luego.
Bibliografía
-Mariano Santander. Las contribuciones de Gauss a la Física: un panorama . Universidad
Politécnica de Catalunya, España, 2011.
-Agustí Reventós & Carlos J. Rodríguez. Gauss y la geometría: geodesia y geometría no
euclidiana. Universitat Autónoma de Barcelona, España, 2006.
-Eric Temple Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada, Buenos Aires, Argentina,
1948.
Créditos por las Imágenes en la Figura 2:
Arriba a la derecha tenemos un ejemplo de un heliotropo antiguo:
http://www.ign.es/ign/none/museoAmpliaciones.do?ampliacion=../resources/museoVirtual/in
strumentos/L075.jpg
Una vez que su amigo Alexander Von Humboldt convenció a Gauss de trabajar en el
campo del magnetismo terrestre, sus resultados fueron tan fructíferos que incluso inventó
los primeros precursores de la comunicación electromagnética. En la ilustración de arriba
a la derecha vemos un tipo rudimentario de telégrafo, con el que se comunicaba con su
colaborador Wilhelm Eduard Weber:
http://histel.com/z_histel/textos_bio/images_bio/gauss_weber_tlg.gif
La medición de las órbitas de los cuerpos celestes siempre ha representado un
formidable problema matemático, y en la época del descubrimiento de asteroides y
nuevos planetas, Gauss ejercitó su extraordinaria capacidad matemática. Su primer triunfo
lo representó la predicción de la posición donde debía aparecer el recientemente
observado asteroide Ceres, descubierto en 1801 por Giuseppe Piazzi.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ceres_%28planeta_enano%29#/media/File:Ceres_RC2_Bright_Sp
ot.jpg
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