Tema 1: Conjuntos en IR n. Introducción a las funciones de varias

Matemáticas Empresariales
1
Conjuntos en IRn
Conjuntos
Intervalos de IR
2
Topologı́a de IRn
Distancia
Posición relativa entre puntos y conjuntos
Diferentes tipos de conjuntos
Subconjuntos de R2
Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones
de varias variables.
Philippe Bechouche
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Granada
phbe@ugr.es
GADE
Curso 2015-2016
Philippe Bechouche
Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables.
Conjuntos en IRn
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Conjuntos en IRn
Conjuntos
Notación general para conjuntos
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Conjuntos
Notación para conjuntos
Definición
Unión : la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene
todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Definición
Conjunto universal U : el que contiene todo.
A ∪ B = {x ∈ U
tal que x ∈ A o x ∈ B}
Conjunto vacio ∅: el que contiene nada
Intersección : la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto
que contiene todos los elementos que pertenecen a A y a B.
Subconjunto : A es subconjunto de B se cada elemento de A es
elemento de B
A⊂B
A ∩ B = {x ∈ U
∀x ∈ U, x ∈ A =⇒ x ∈ B
tal que x ∈ A y x ∈ B}
Complemento : el complemento de A es el conjunto de elementos que
no pertenecen a A
Ac = U − A = {x ∈ U
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tal que x ∈
/ A}
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Conjuntos en IRn
Conjuntos en IRn
Intervalos de IR
Intervalos de IR
Intervalos de IR
Intervalos acotados de IR
[a, b] = {x ∈ IR, a ≤ x ≤ b}
Definición
I es un intervalo de IR si para cada par de puntos x e y de I, todos los
puntos entre x e y pertenecen a I.
[a, b) = {x ∈ IR, a ≤ x < b}
para todo x, y ∈ I, si x < z < y, entonces z ∈ I
(a, b] = {x ∈ IR, a < x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ IR, a < x < b}
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Conjuntos en IRn
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Topologı́a de IRn
Intervalos de IR
Intervalos no acotados de IR
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Distancia
Distancia
Un punto x de IRn tiene n coordenadas x1 , x2 , · · · , xn ∈ IR
x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IRn
(−∞, b] = {x ∈ IR, x ≤ b}
Una distancia es una aplicación que a un par de puntos de IRn asocia un
número positivo
(−∞, b) = {x ∈ IR, x < b}
[a, +∞) = {x ∈ IR, x ≥ a}
d:
IRn × IRn → IR+
(x, y) 7→ d(x, y)
(a, +∞) = {x ∈ IR, x > a}
que verifica las tres propiedades
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Distancia
Distancia
Distancia
La distancia euclidia en IRn
La distancia d(x, y) verifica las tres propiedades :
Definición
Llamamos bola abierta de centro a de radio r > 0 al conjunto de puntos
que estan a una distancia menor de r del centro
1
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y : separado
B(a, r) = {x ∈ IRn
2
d(x, y) = d(y, x) : simetrı́a
3
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) : desigualdad triangular
tal que d(a, x) < r}
De la misma manera podemos definir la bola cerrada de centro a y de
radio r > 0.
Bcerrada (a, r) = {x ∈ IRn
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Topologı́a de IRn
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tal que d(a, x) ≤ r}
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Topologı́a de IRn
Distancia
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Distancia
Bola abierta en IR
Bola abierta en IR2
En IR la bola es un intervalo
Disco abierto de centro a = (a1 , a2 ) de radio r.
p
B(a, r) = {x ∈ IR2 , (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r}
B(a, r) = {x ∈ IR, |x − a| < r} = (a − r, a + r)
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Distancia
Bola cerrada en IR2
Posición relativa entre puntos y conjuntos
Posición relativa entre puntos y conjuntos
Disco cerrado de centro a = (a1 , a2 ) de radio r.
p
B(a, r) = {x ∈ IR2 , (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 ≤ r}
Sea X un subconjunto de IRn y a un punto de IRn .
Decimos que a es interior a X cuando existe una bola abierta de
centro a, de radio r > 0 contenida en X: B(a, r) ⊂ X.
Decimos que a es adherente a X cuando cada bola abierta de centro
a corta X: B(a, r) ∩ X 6= ∅
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Topologı́a de IRn
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Topologı́a de IRn
Posición relativa entre puntos y conjuntos
Posición relativa entre puntos y conjuntos
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Posición relativa entre puntos y conjuntos
Posición relativa entre puntos y conjuntos
Decimos que el punto a es un punto aislado
T de X cuando existe una
bola abierta centrada en a tal que B(a, r) X = {a}.
Decimos que a es un punto frontera de X cuando cada bola abierta
centrada en a corta X y su complemento X c . a ∈ F r(X) si para
cada r > 0, B(a, r) ∩ X 6= ∅ y B(a, r) ∩ X c 6= ∅.
Decimos que el punto a es un punto exterior a X si a es un punto
interior al complemento de X.
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Conjunto abierto
Conjunto cerrado
Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X.
Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X.
Definición
Decimos que el conjunto X es abierto si cada punto x ∈ X es interior a
X. Para cada x ∈ X existe una bola abierta centrada en x tal que
B(x, r) ⊂ X.
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Topologı́a de IRn
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Definición
Decimos que el conjunto X es cerrado si su complemento X c es abierto.
X es cerrado si contiene cada de sus puntos frontera.
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Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Conjunto acotado
Diferentes tipos de conjuntos
Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X.
Definición
Decimos que el conjunto X es acotado si se puede incluir en una bola de
radio finito: Existe a ∈ IRn y R > 0 tal que X ⊂ B(a, r).
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Conjunto compacto
Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X.
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Diferentes tipos de conjuntos
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Definición
Decimos que el conjunto X es compacto si es cerrado y acotado.
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Diferentes tipos de conjuntos
Interior de un conjunto
Frontera de un conjunto
Sea X un conjunto de IRn .
Sea X un conjunto de IRn .
Definición
El interior de X es el conjunto de los puntos interiores a X.
Definición
La frontera de X es el conjunto de los puntos frontera de X.
◦
F r(X) = {x ∈ IRn tal que x es punto f rontera de X}
X = {x ∈ IRn tal que x interior a X}
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Topologı́a de IRn
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Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Diferentes tipos de conjuntos
Exterior de un conjunto
Adherencia de un conjunto
Sea X un conjunto de IRn .
Sea X un conjunto de IRn .
Definición
El exterior de X es el interior de su complemento
Definición
La adherencia de X es el conjunto de los puntos adherentes a X
◦
X̄ = {x ∈ IRn tal que x es adherente a X}
X c = {x ∈ IRn tal que x exterior a X}
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 1: X = [0, 3) ∪ {5}
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Ejemplo 2: Rectángulo
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Topologı́a de IRn
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Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 2: Adhrencia del rectángulo
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Diferentes tipos de conjuntos
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Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 2: Interior del rectángulo
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 2: Frontera del rectángulo
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Topologı́a de IRn
Ejemplo 3: Circunferencia
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Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 4
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Diferentes tipos de conjuntos
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Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 4: Adherencia del conjunto
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Topologı́a de IRn
Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
Ejemplo 4: Frontera del conjunto
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Ejemplo 4: Interior del conjunto
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Topologı́a de IRn
Diferentes tipos de conjuntos
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Subconjuntos de R2
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Topologı́a de IRn
Producto de intervalos
Producto de intervalos
Sean I1 e I2 dos intervalos de R.
Entonces el producto de estos intervalos se define como
I1 × I2 = (x, y) ∈ R2 ; x ∈ I1 , y ∈ I2
Ejemplo
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Subconjuntos de R2
[−2, 1) × [1, 3] = (x, y) ∈ R2 ; −2 ≤ x < 1, 1 ≤ y ≤ 3
y
Ejemplo
[−2, 1] × [1, 3] = (x, y) ∈ R2 ; −2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3
3
y
2
3
1
2
1
x
x
−2 −1
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−2
1
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−1
1
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Topologı́a de IRn
Subconjuntos de R2
Topologı́a de IRn
Producto de intervalos
Producto de intervalos
Ejemplo
Ejemplo
Subconjuntos de R2
{2} × [0, 3] = (x, y) ∈ R2 ; x = 2, 2 ≤ y ≤ 3
R × [2, 4) = (x, y) ∈ R2 ; x ∈ R, 2 ≤ y < 4
y
y
4
3
3
2
2
1
1
x
x
−2 −1
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1
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Topologı́a de IRn
−1
2
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Subconjuntos de R2
1
Rectas
Las rectas son conjuntos del tipo:
(x, y) ∈ R2 ; ax + by = c
Ejemplo
38 / 51
Subconjuntos de R2
A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y = 1
y
donde a, b, c ∈ R.
Ejemplo
4
2
A = (x, y) ∈ R ; 2x + y = 1
3
2
Para dibujar la recta buscamos dos puntos por los que pase. Esto lo
podemos hacer despejando:
1
x
2x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2x
−2 −1
Si x = 0 ⇒ y = 1.
Si x = 1 ⇒ y = −1.
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3
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Topologı́a de IRn
Rectas
2
1
2
−2
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Topologı́a de IRn
Subconjuntos de R2
Topologı́a de IRn
Semiplanos
Subconjuntos de R2
Semiplanos
Ejemplo
A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≤ 1
Los semiplanos son conjuntos con alguna de estas formas:
(x, y) ∈ R2 ; ax + by ≤ c
(x, y) ∈ R2 ; ax + by ≥ c
(x, y) ∈ R2 ; ax + by < c
(x, y) ∈ R2 ; ax + by > c
Para saber a qué lado de la recta estamos, comprobamos si el punto (0, 0)
pertenece al conjunto A. Y en este caso sı́ pertenece.
y
4
2
x
−2−1
−2
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Topologı́a de IRn
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Subconjuntos de R2
1 2
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Topologı́a de IRn
Semiplanos
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Subconjuntos de R2
Semiplanos
Ejemplo
Ejemplo 2
A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≤ 1
A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≥ 1
Para no complicar mucho los dibujos, también podemos representar el
semiplano de esta manera:
y
y
4
4
2
2
x
−2−1
−2
x
−2−1
−2
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1 2
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Topologı́a de IRn
Subconjuntos de R2
Topologı́a de IRn
Semiplanos
Subconjuntos de R2
Circunferencias
Ejemplo 3
A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y > 1
Las circunferencias son conjuntos de la forma:
(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 = r2
y
4
El centro de la circunferencia es el punto (a, b).
El radio de la circunferencia es r.
2
x
−2−1
−2
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1 2
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Topologı́a de IRn
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Subconjuntos de R2
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Topologı́a de IRn
Circunferencias
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Subconjuntos de R2
Interior y exterior de la circunferencia
Ejemplo
El interior de una circunferencia, sin el borde, es un conjunto de la forma
(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r2
A = (x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4
√
Centro: (1, −3). Radio: 4 = 2.
El interior de una circunferencia, con el borde, es un conjunto de la forma
(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2
y
−1
1
3
x
El exterior de una circunferencia, sin el borde, es un conjunto de la forma
(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 > r2
−1
−3
El exterior de una circunferencia, con el borde, es un conjunto de la forma
(x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r2
−5
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Topologı́a de IRn
Subconjuntos de R2
Topologı́a de IRn
Interior y exterior de la circunferencia
Subconjuntos de R2
Elipses
Ejemplo
Las elipses son conjuntos de la forma
y2
x2
(x, y) ∈ R2 ; 2 + 2 = 1
h
k
A = (x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + (y + 3)2 ≤ 4
√
Centro: (1, −3). Radio: 4 = 2.
y
−1
1
3
Donde h y k son los semiejes horizontal y vertical de la elipse.
El interior de
n una elipse: 2
o
2
Sin borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 < 1
n
o
2
2
Con borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 ≤ 1
El exterior n
de una elipse:
o
2
2
Sin borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 > 1
o
n
2
2
Con borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 ≥ 1
x
−1
−3
−5
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Topologı́a de IRn
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Subconjuntos de R2
Elipses
Ejemplo
x2 y 2
+
=1
A = (x, y) ∈ R ;
4
9
√
√
Semieje horizontal: 4 = 2. Semieje vertical: 9 = 3.
2
y
3
−2 1
2
x
−1
−3
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