CLAUSURA TRANSITIVA bn b.

Teoría de Conjuntos I
CLAUSURA TRANSITIVA
Veamos una aplicación al esquema de recursión para .
Todo conjunto se puede extender a un conjunto transitivo y ⊆–mínimo.
Proposición. Sea a un conjunto arbitrario. Hay un conjunto b con las siguientes
propiedades:
1. a ⊆ b,
2. b es transitivo. Y
3. ∀x a ⊆ x & x es transitivo  b ⊆ x .
Prueba: Definimos recursivamente
bn / n ∈ 
como sigue:
I. b 0  a
II. ∀n ∈  b n    b n .
Esta definición esta justificada por el esquema de recursión para  :
Aquí: A  V, a ∈ V y G  . Por lo que Fn  b n , para todo n ∈ .
Ahora consideremos b 
 b n . Obsérvese que b ∈ V gracias a los axiomas de
n∈
reemplazo y unión. Veamos que b cumple lo que se pide:
1. Tenemos, a  b 0 ⊆
 b n  b.
n∈
2. Sean x y y conjuntos tales que x ∈ y y que y ∈ b. Por la definición de b,
tenemos que hay un n 0 ∈  con la propiedad de que y ∈ b n 0 . Pero entonces tenemos
el hecho siguiente, que
x ∈  b n 0  b n 0   ⊆ b
3. Sea c un conjunto transitivo y tal que c ⊇ a. Veamos que b ⊆ c. Por la
definición de b y propiedades de la unión, basta ver que ∀n ∈ 
haremos por inducción.
bn ⊆ c
y esto lo
b 0 ⊆ c Tenemos b 0  a ⊆ c.
∀n ∈ b n ⊆ c  b n  ⊆ c Sea pues n 0 ∈  y supongamos inductivamente
que b n ⊆ c.
De esto y de que b n    b n , por un lado y por otro, que c es transitivo, tenemos
que b n  ⊆ c.
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Rafael Rojas Barbachano