La aleatoriedad no es recursivamente invariante Sean A, B ⊆ Σ∗ . Definición 1. A es 1-reducible a B (A ≤1 B) si existe una función f : Σ∗ → Σ∗ recursiva, total y 1-1 tal que para toda w ∈ Σ∗ , w ∈ A sii f (w) ∈ B. Definición 2. A y B son recurivamente isomorfos si A ≤1 B y B ≤1 A. Por ejemplo, el conjunto de las cadenas pares (que terminan en 0) y el de las impares (que terminan en 1) son recursivamente isomorfos. Proposición 1. Existen conjuntos A, B ⊆ Σ∗ recursivamente isomorfos tales que µ(AΣω ) es aleatoria y µ(BΣω ) no lo es. Demostración. Consideremos una máquina universal de Chaitin V definida ası́: U (q) si p = 0q V (p) = ↑ en otro caso Sea A = Dom(V ) y B = {0i 1/U (string(i)) ↓}. Notemos que 0 string(i) ∈ A si y sólo si 0i 1 ∈ B. Para ver que A ≤1 B definimos la función f : Σ∗ → Σ∗ : si p = λ λ 0i 1 si p = 0 string(i) f (p) = 1p en otro caso (p = 1q) f es total, recursiva y 1-1. Veamos que p ∈ A sii f (p) ∈ B, para toda p ∈ Σ∗ : p ∈ A ⇔V (p) ↓⇔ p = 0q ∧ U (q) ↓⇔ p = 0q ∧ q = string(i) ∧ U (string(i)) ↓ ⇔f (p) = 0i 1 ∧ U (string(i)) ↓⇔ f (p) ∈ B Para ver que B ≤1 A, definimos la función g : Σ∗ → Σ∗ : si p = λ λ 0 string(i) si p = 0i 1 g(p) = 1p en otro caso (p = 0q y p 6= 0i 1, ó p = 1q y q 6= λ) g es recursiva, total y 1-1. Falta ver que p ∈ B sii g(p) ∈ A para p ∈ Σ∗ : p ∈ B ⇔p = 0i 1 ∧ U (string(i)) ↓⇔ g(p) = 0 string(i) ∧ U (string(i)) ↓ ⇔V (g(p)) ↓⇔ g(p) ∈ A Por lo tanto, A y B son recursivamente isomorfos. Ahora veamos que µ(AΣω ) es aleatoria y µ(BΣω ) no. µ(AΣω ) = 12 Ω y entonces es aleatoria. ¿Qué ocurre con µ(BΣω )? El (i + 1)ésimo bit de µ(BΣω ) es 1 sii U (string(i)) ↓. Luego, si conocemos la cantidad m de todos los programas que se detienen en U entre las primeras n cadenas, podemos determinar el prefijo de longitud n + 1 de µ(BΣω ). La siguiente máquina de Chaitin C(n∗ m∗ ) computa µ(BΣω ) (n + 1): 1. Computar n = U (n∗ ) y m = U (m∗ ) 2. Inicializar µ(BΣω ) (n + 1) = 0n+1 3. Hacer dovetailing entre las n primeras cadenas, hasta hallar m de ellas que se detengan en U 4. Para cada i tal que U (string(i)) ↓, 0 ≤ i < n, poner el (i + 1)-ésimo bit de µ(BΣω ) (n + 1) en 1 5. Retornar µ(BΣω ) (n + 1) Por lo tanto, HC (µ(BΣω ) (n + 1)) ≤ |n∗ | + |m∗ | = H(n) + H(m) ≤ 2 log2 (n) + 2 log2 (m) + O(1). Como m ≤ n, log2 (m) ≤ log2 (n), entonces HC (µ(BΣω ) (n + 1)) ≤ 4 log2 (n) + O(1). Aplicando el Teorema de Invarianza, H(µ(BΣω ) (n + 1)) ≤ HC (µ(BΣω ) (n + 1)) + simC ≤ 4 log2 (n) + k para alguna constante positiva k. Y, dada k, es posible hallar, para cada c ≥ 0, un valor de n suficientemente grande de manera que 4 log2 (n) + k ≤ (n + 1) − c. Para este n valdrá que H(µ(BΣω ) (n + 1)) ≤ (n + 1) − c. Luego resulta ∀c ∃n H(µ(BΣω ) n) ≤ n − c, es decir, µ(BΣω ) no es aleatoria. 1