ESTUDIO ANALÍTICO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA EN TOBERAS SÓNICAS TOROIDALES ISO-9300. J. A. Cruz Maya, F. Sánchez Silva, G. Tolentino Eslava, A. Gómez Mercado, I. Carvajal Mariscal Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada SEPI-ESIME-IPN-COFAA Av. IPN S/N Edificio 5 – 3er. Piso. 07738 México, D.F. Tel. (5)729-6000 ext. 54783 Resumen: En el presente trabajo se lleva a cabo un estudio analítico del coeficiente de descarga en toberas sónicas toroidales diseñadas bajo la norma ISO 9300 [1], operando en régimen turbulento. El análisis se enfoca a la determinación de un modelo analítico de este coeficiente, para gases diatómicos con números de Prandtl igual a 0.7. El coeficiente de descarga contempla las correcciones por efectos multidimensionales en el campo de velocidad del flujo y los esfuerzos viscosos en la región de capa límite que producen desviaciones en la determinación del flujo másico bajo un enfoque unidimensional e ideal. El modelo obtenido es comparado contra correlaciones de ISO-9300, datos experimentales y numéricos de Wu-Yan [2] y el modelo analítico de Stratford [3]. INTRODUCCIÓN Una gran cantidad de elementos de medición de flujo se han desarrollado con el propósito de ser considerados como referencia primaria, para lograrlo, se han fabricado dispositivos cuyo desempeño en la práctica sea idéntico a las predicciones teóricas; en este sentido las toberas sónicas de flujo crítico han exhibido comportamientos de carácter primario [4]. Hoy en día, organizaciones que promueven la normalización, como la International Organization for Standardization (ISO) promueven el uso de normas de referencia para el diseño, construcción, instalación y uso de las toberas de flujo critico con la finalidad de ser empleadas para la medición de flujo másico de gases [1]. En dicho documento se establece que para alcanzar altos estándares de exactitud en la metrología de flujo por medio de toberas de flujo critico es necesario determinar el coeficiente de descarga de la tobera, ya sea por medios analíticos o numéricos. El coeficiente de descarga Cd es el parámetro más importante y de más peso en el campo de la metrología de flujo crítico, este coeficiente contempla las correcciones por efectos multidimensionales en el campo de velocidad del flujo, los efectos viscosos en la región de capa límite, y los efectos por irreversibilidad del flujo. Es decir que todos los efectos que lo alejan de un comportamiento ideal están compensados por el coeficiente de descarga. Actualmente existen trabajos que determinan el coeficiente de descarga en forma analítica, aunque la gran mayoría están orientados hacia al estudio bajo capa límite laminar [3,5,6]. El coeficiente de descarga se puede expresar como la relación entre el gasto másico obtenido en forma experimental y el determinado en forma teórica, como lo muestra en la siguiente relación. Cd = mreal mideal (1) donde mreal es el gasto másico determinado experimentalmente por medio de un patrón primario de medición, y mideal es el gasto másico obtenido en forma teórica bajo un enfoque unidimensional y gas ideal, se observa entonces que el coeficiente de descarga es un factor de corrección en el flujo, dicho de otra forma es un factor de calibración de la tobera. BASE TEORICA PARA LA DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE DESCARGA Para determinar el coeficiente de descarga el flujo es dividido en dos regiones, bajo los siguientes enfoques: • Considerando los esfuerzos viscosos. En esta región el coeficiente de descarga depende del crecimiento de la capa límite y de su espesor de desplazamiento. • Considerando efectos no unidimensionales. En esta región el coeficiente de descarga sólo es función de la distorsión del perfil de velocidades en el núcleo del flujo debido a la curvatura de la tobera. un enfoque unidimensional, razón por la cual no se encuentra definido el valor del primer miembro. La determinación del coeficiente de descarga, bajo estos enfoques sigue los lineamientos de Stratford [3] quien expresa el coeficiente de descarga de la siguiente forma: El espesor de desplazamiento de capa límite δ* puede ser determinado a partir del coeficiente de fricción dado por Felsch [7]. La ecuación de Felsch determina el coeficiente de fricción superficial bajo régimen turbulento, flujo incompresible y placa plana, por lo que la misma será corregida para flujo compresible y adecuada a la geometría de la tobera. C d = m − (1 − n ) (2) Donde Cd es el coeficiente de descarga considerando flujo irreversible, real, y no unidimensional, el término m representa el coeficiente de descarga considerando flujo no unidimensional (en realidad el flujo prácticamente tiene un comportamiento bidimensional debido a la simetría de la tobera), mientras que el término n es el coeficiente de descarga bajo esfuerzos viscosos. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE DESCARGA EN LA CAPA LÍMITE TURBULENTA Determinación del espesor de desplazamiento de la capa límite turbulenta C f = 0.058 (0.93 − 1.95 log H i ) 1.705 “El flujo másico que pasaría en una tobera en ausencia de esfuerzos viscosos es mayor al que pasaría cuando existe capa límite”. Por lo anteriormente comentado, la disminución del gasto másico debido a los esfuerzos viscosos, se puede evaluar, restando al área de la garganta el área donde existen esfuerzos viscosos, es decir, el área que ocupa el espesor de desplazamiento. Este espesor se define como la distancia que la frontera sólida tendría que desplazarse en un flujo para producir el déficit de flujo másico por efecto de la capa límite, de esta forma se tendría un área efectiva de paso. El coeficiente de descarga expresado en la ecuación (2), puede ser asociado con el espesor de desplazamiento de la capa límite (δ*), como se expresa en la siguiente ecuación. 4δ ∗ Cd = m − d (3) Esta ecuación sólo expresa el coeficiente de descarga debido a los esfuerzos viscosos a partir de −0.268 (4) La ecuación anterior cuenta con dos parámetros Hi y θ, lo que la convierte en una ecuación característica para flujos con gradiente de presión. De la ecuación (4) es posible obtener el espesor de desplazamiento δ* por medio de la definición del coeficiente de forma (H). δ ∗ = H (0.077714 Re x [1 + 0.12786Ma ] 2 − 0.578 El coeficiente de descarga para la zona de esfuerzos viscosos puede ser determinado a partir del espesor de desplazamiento de la capa límite, bajo la siguiente consideración: Reθ − 0.2113564 (0.93 − 1.95 log H i )1.3446372 (5) x) El coeficiente de forma para flujo compresible se puede expresar en función de una temperatura de referencia de la pared de la tobera y el número de Mach [8], como se muestra a continuación. HC = 9 Tw k − 1 2 7 k − 1 2 Ma + Ma 1 + 7 To 2 9 2 T k − 1 2 1 5 Tw Tw 1 + Ma + − 1 − w 1 + 2 3 9 To To To (6) } El cociente Tw/To es la distribución radial de temperaturas en el plano de la garganta de la tobera y es una condición de frontera de la tobera que depende del número de Prandtl del fluido. Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (5), y evaluando para las condiciones señaladas a continuación, se obtiene la ecuación (7) para determinar el espesor de desplazamiento (δ*). Flujo crítico Ma=1 Factor de forma incompresible turbulento: Hi=1.3 Distribución radial de temperaturas (Pr=0.7): Tw/To=0.98133 Relación de calores específicos: k=1.4 −0.2113564 (7) δ ∗ = 0.07621 Re x x La expresión anterior fue evaluada para fluidos con número de Pr igual a 0.7 y relación específica de calor igual a 1.4 (gases diatómicos), ya que los gases con estas características son ampliamente usados en ejercicios de caracterización y/o calibración. 4d 2d 3o 3o 2.5d d Fig. 1 Configuración geométrica de la tobera con radio de curvatura igual a 2d bajo norma ISO.9300. Determinación de la longitud equivalente X La ecuación (7) puede ser expresada en función de una longitud equivalente denominada por X, la cual considera el crecimiento de la capa límite turbulenta a una razón de x4/5 . δ∗ − 0.2113564 = 0.07621Rex X d (8) La cantidad X, es una longitud equivalente al crecimiento de la capa limite a un número de Mach constante igual al número de Mach local, sobre una distancia x, en la que se alcanzaría el mismo espesor que la capa límite local. Este parámetro se puede definir de la siguiente forma [9]: X = P −1 ∫ PdL (9) Donde P es una función del gradiente de presión que depende del número de Mach, y L es una longitud característica de la tobera definida como x/d. Cuando no existe gradiente de presión el valor de la función P se hace constante y la longitud equivalente X toma el valor de la longitud característica L. Para integrar la ecuación (9), es necesario relacionar la derivada de L con la variación del número de Mach a través de la curvatura de la tobera. Distribución del número de Mach en la tobera Para obtener una relación entre la longitud característica L y el número de Mach en el interior de la tobera, se puede partir de la relación de áreas para flujo isentrópico, unidimensional y k=1.4. La cual es expandida por series de Taylor, alrededor de Mach igual a uno. A 5 25 2 = 1 + (M − 1) − (M − 1)3 + 65 (M − 1)4 + .... A∗ 6 54 108 (10) Por otro lado, la relación de áreas, también se puede expresar en función de la longitud característica L y del diseño geométrico de la tobera, el cual se muestra en la siguiente figura. A = 0.3787 L4 + 1.2308L2 + 1 A∗ (11) Igualando las relaciones de áreas de las ecuaciones (10) y (11), se puede obtener el valor de la longitud característica L. L = 0.9886M 3 − 2.5998M 2 + 3.1886M − 1.5703 (12) Derivando la expresión anterior se puede obtener una relación entre las derivadas de la longitud característica L y el número de Mach. Derivando L y sustituyendo en la ecuación (9), se obtiene el valor de la longitud equivalente X, la cual resulta: X = 0.24228 (13) El valor de X es sustituido en la ecuación (8), para obtener finalmente el coeficiente de descarga en función del número de Reynolds de la garganta, bajo condiciones de flujo estrangulado, mostrado en la ecuación (3). Cd = m − 0.0996 Red −0.2113564 (14) Nuevamente se deja en claro que la expresión anterior sólo contempla el coeficiente de descarga por esfuerzos viscosos del fluido, por lo que el primer miembro de estas ecuación no se encuentra definido. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE DESCARGA PARA FLUJO NO VISCOSO En el núcleo del flujo los efectos viscosos no son significativos, por lo que el flujo puede ser tratado como irrotacional, en esta zona existe flujo no unidimensional debido a las fuerzas centrífugas creadas por la contracción de la tobera. La existencia de un gradiente de presión en la garganta produce una fuerza igual y opuesta a la fuerza centrífuga en cada elemento de volumen de flujo para mantener condiciones estacionarias. El coeficiente de descarga en esta zona es función del comportamiento no unidimensional del flujo. Para determinar este coeficiente se aplica la segunda ley de Newton sobre una partícula de fluido a través del eje normal, la cual concluye con la deducción de la ecuación de Euler, esta expresión representa el gradiente de presiones a través de la dirección radial de la tobera para flujo no viscoso. ∂P ρ v2 =− ∂Y R (15) Donde Y es la distancia del eje de la tobera a cualquier punto en el flujo, mientras que R es el radio de curvatura con respecto a algún punto de referencia fuera de la tobera. El radio de curvatura es inversamente proporcional a la curvatura de la tobera, la cual se puede denominar por κ, considerando que la curvatura es proporcional a la distancia Y , (es decir κ∝Y), y que puede incrementarse linealmente desde un valor de cero en el eje hasta un valor final en la pared de la tobera, se puede establecer la siguiente relación: κ = κ w Y Yw . Donde el subíndice w indica la pared de la tobera. Por otro lado el cociente Y/Yw se puede expresar mediante una variable adimensional o de referencia, de la siguiente forma: Y = Y Yw . La distancia Yw es la distancia del eje de la tobera a la pared de la misma, si la atención es limitada al plano de la garganta, el valor de Yw corresponde a la mitad del diámetro de la garganta. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores la ecuación (15) es integrada en el plano de la garganta de la tobera, donde hipotéticamente Ma es igual a 1, por lo que el término ρv2 será expresado y evaluado para Ma igual a 1. P − P1 = − ( 1 ρ v2 8 ) Ma =1 [Y 2 − Y1 2 ] (16) Por otro lado el gradiente de presión de la expresión anterior se puede relacionar con el número de Mach por medio de la relación de áreas de la tobera expandida por series de Taylor alrededor de M=1, dada por la ecuación (10), esta ecuación es relacionada con el gradiente de presiones mostrado en la ecuación (16) mediante la diferenciación de la ecuación (17), la cual relaciona el gradiente de presiones con el número de Mach, como se muestra en la ecuación (18). ( P Po = 1 + 0.2 M 2 ) − 3.5 M − 1 = − 6 7 (P − P1 P1 ) Sustituyendo el gradiente de presiones expresado en la ecuación (16) en la relación anterior, se obtiene la siguiente expresión: M −1 = − 6 2 P ) (d 2r )(Y M =1 −Y 1 2 2 ) (19) El término (ρv2/P)M=1 es igual a la relación de calores específicos k cuando el flujo es considerado ideal y se encuentra en la condición critica. Por otro lado el radio de curvatura para la tobera en estudio es igual a dos veces el diámetro de la garganta (r=2d). Bajo la condición de gas ideal y tomando un valor de (k=1.4), la ecuación (19) toma la siguiente forma, a la cual se le designará por la letra β: ( β = M − 1 = −0.15 Y − Y 1 2 2 ) (20) Esta expresión es sustituida en la relación de áreas dada por la ecuación (10) para evaluar el cambio de las propiedades termodinámicas del fluido en función de la relación de áreas. 5 2 25 3 A = 1 + [β ] − [β ] + .... A* 6 54 (21) Por otro lado, también se puede establecer la relación de áreas en función de diferenciales de área alrededor del plano de la garganta de la tobera, como lo muestra la siguiente ecuación: a π dY 2 = a t π dYt 2 (22) En la expresión anterior, el término a representa la área considerando un enfoque no unidimensional del flujo; por otro lado, el término área bajo un enfoque unidimensional, mientras que Y es la distancia radial entre el eje de simetría y la pared de la tobera. Esta expresión puede expresarse en función de una distancia radial adimensional Y y del diámetro de la garganta 2 a dY d 2 = at dYt 2 4 (23) Las relaciones de áreas expresadas en las ecuaciones (21) y (23) pueden ser igualadas en la vecindad de la garganta y agrupadas de la siguiente forma para facilitar su manejo: (17) (18) (ρv 28 2 5 1 + [β 6 ]2 dY 25 − [β 54 π d Yt π d2 4 2 ]3 65 + [β 10 ]4 = (24) El factor común en la igualdad anterior es el parámetro Y el cual es la única variable, ya que los demás factores permanecen constantes para M=1. La expresión anterior puede ser integrada con respecto a Y 2 . Para facilitar la integración, se realiza una expansión en series de Taylor alrededor de Y 2 = Y 12 . (25) 0.995 0.993 0.991 El numerador del lado izquierdo de esta expresión representa el área de la garganta bajo un enfoque no unidimensional, mientras que el denominador representa una hipotética área unidimensional, por lo tanto este cociente representa el error al considerar flujo unidimensional en el interior de la tobera, dicho de otra forma, este cociente es igual al coeficiente de descarga debido a la curvatura del flujo bajo un enfoque bidimensional para un flujo no viscoso . El valor del coeficiente Y 1 que representa la posición en la garganta a la cual la velocidad es sónica, puede ser determinado a partir de la consideración de que el área evaluada para este parámetro es menor en comparación con el área unidimensional en la misma garganta, por lo que el coeficiente de descarga tiene un máximo con respecto a la variación de Y 1 en el plano de la garganta de la tobera. La expresión anterior es derivada con respecto a Y 1 e igualada a cero para determinar un máximo de este valor (Y1 = 0.7071067 ) . RESULTADOS El coeficiente de descarga por efectos bidimensionales del flujo, es obtenido mediante la sustitución de Y 1 en la serie mostrada en la ecuación (25), dando como resultado un valor de 0.99844 para los primeros cien términos de la serie. Sustituyendo este valor en la ecuación (14), se obtiene el siguiente modelo analítico para determinar el coeficiente de descarga. C d = 0.99844 − 0.0996 Re −0.2113564 Comparación de Cd 0.997 Cd π Yt 2 2 4 = 0.99414 + 0.017188Y 1 − 0.016406Y 1 − .... π d2 4 Stratford [3], y la correlación experimental sugerida por la norma ISO-9300. (26) A continuación se muestra en forma grafica en la figura 2, la comparación entre el coeficiente de descarga propuesto en la ecuación (26) para diferentes números de Reynolds y los obtenidos en forma experimental y numérica por Wu-Yan [2], así como los determinados a partir de la correlación de 0.989 0.987 0.985 0 5 NRe x 10-5 Cd experimental Cd numérico Cd propuesto Cd Stratford 10 Cd ISO-9300 Fig. 2 Curva de comparación de coeficientes de descarga. CONCLUSIONES Este método de cálculo es aplicable únicamente a condiciones de flujo para las cuales la transición de flujo laminar a turbulento ocurre a cortas distancias corriente arriba de la entrada de la tobera por lo que la capa límite puede ser tratada como turbulenta en su totalidad. Por otra parte se han identificado dos principales factores que impactan directamente sobre el coeficiente de descarga: • La acumulación de capa límite a lo largo de las paredes de la tobera debido a los efectos viscosos del gas real. • La variación de la presión en la dirección radial debido a las fuerzas centrífugas las cuales existen en el gas como resultado de la contracción de la tobera. El coeficiente de descarga bajo esfuerzos viscosos considera un gradiente de temperaturas en la capa límite para números de Pr igual a 0.7, ya que la mayoría de los gases que se cuantifican por medio de toberas sónicas tienen este valor. El coeficiente de descarga para flujo no viscoso fue determinado fuera de la capa límite, es decir, fuera de la interferencia de esfuerzos viscosos, por lo que es correcto manejar la determinación de este coeficiente bajo un enfoque de flujo irrotacional . Sin embargo durante el desarrollo de los cálculos también estuvo inmersa la consideración de gas ideal, ante esta situación la relación de calores específicos k fue igualada con el cociente (ρv2/P)M=1. Para gas no ideal como es el caso de los fluidos que se manejan con toberas sónicas esta igualdad no se cumple, por lo que se sugiere determinar el cociente (ρv2/P)M=1 en forma numérica o experimental. Por otro lado la relación de áreas expresada por la ecuación (10) fue determinada bajo un enfoque de gas ideal y unidimensional por lo que se sugiere sea determinada en forma numérica bajo un campo de flujo bidimensional, considerando que la tobera tiene una configuración perfectamente simétrica. Las consideraciones anteriores permitirán determinar el coeficiente de descarga con mayor exactitud, lo que permitirá caracterizar el coeficiente de descarga con gran precisión. δ* θ ρ subíndices t valores en la garganta de la tobera superíndices * condiciones criticas del flujo REFERENCIAS [1] [2] [3] Nomenclatura: A,a Cd d Hi Hc k Ma L p P Pr r Red Reθ Rex v X x Y área coeficiente de descarga. diámetro de la garganata de la tobera factor de forma para placa plana y flujo incompressible (H=δ*/θ) factor de forma en la sección convergente de la tobera (flujo compresible) relación especifica de calores no. de Mach distancia equivalente referida al diámetro de la garganta (x/d) presión estática. parámetro definido en la ecuación (10) número de Prandtl radio de curvatura de la tobera. número de Reynolds basado en el diámetro de la garganta. número de Reynolds basado en el espesor de momentum de la capa límite. número de Reynolds basado la longitud axial “x” de la placa velocidad del flujo. distancia equivalente definida en la ecuación (10) coordenada axial coordenada radial espesor de desplazamiento de la capa límite espesor de momentum de la capa límite densidad del aire [4] [5] [6] [7] [8] [9] Measurement of fluid flow in closed conduits, Section 1.3 Method of measurement of gas flow by means of critical flow venturi nozzles, ISO 9300, 1990. Guobin Wu., Shan Yan, 1988. “The calculation of the discharge coefficient of critical venturi nozzles using the finite element method”, East China of Technology, Shangai, China. Technical Report. B. S. Stratford., “The calculation of the discharge coefficient of profiled choked nozzles and optimum profile for absolute air flow measurement”. Journal of the Royal Aeronautic Society., vol 68, 1964 A. N. Johnson, “Numerical characterization of the discharge coefficient in critical nozzles" Ph.D. Dissertation, Pennsylvania State Univ., College Station, PA, 2000. A. N. Johnson, G.E. Mattingly 1989, “Numerical characterization of the discharge coefficient in critical nozzles”, National institute standards and technology Gaitherburg, Maryland 20899, paper technical. Ishibashi, M., and Takamoto, M., 1977. “Very Accurate Analytical Calculation of the discharge Coefficients of Critical Venturi Nozzles with Laminar Boundary Layer,” Proceeding of the 1997 ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, Vancouver, British Columbia, Canada, June 22-26. Tuncer Cebeci, and M. O. Smith, Analysis of Turbulent Boundary Layer, Academic Press, London 1974. U. G. Pirumov., Gas Flow in Nozzles., Springer Verlag, 1986. B. S. Stratford., “The calculation of the compressible turbulent boundary layer in a arbitrary pressure gradient – a correlation of certain previous methods”. Technical Report no. 3207, Aeronautical Research Council Reports and Memorandum, London, 1964.