Problema 1

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales
Física I (2011/2012)
EXAMEN FINAL (PRIMERA CONVOCATORIA). 31/Enero/2012
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PROBLEMA 1
Duración: 45 minutos.
Puntuación total máxima: 2,5 puntos.
C INEM ÁTICA Y DIN ÁMICA DEL PUNTO MATERIAL .
Una partı́cula P , de masa m, se mueve con respecto a un triedro cartesiano OXY Z siguiendo la ecuación horaria:
−−
→
OP ≡ r(t) = b sen(Ωt)ı + vo t j − b cos(Ωt) k
(siendo b, Ω y vo constantes conocidas)
a) Determine las componentes intrı́nsecas de la aceleración de la partı́cula y el radio de curvatura de su trayectoria.
b) Calcule la energı́a cinética de la partı́cula y la fuerza que causa el movimiento. Exprese y verifique matemáticamente
la cualidad geométrica de la fuerza (condición de ortogonalidad) que guarda relación directa con el hecho de que la
energı́a cinética sea integral primera.
c) Determine el momento cinético de la partı́cula respecto al origen de coordenadas. ¿Se conserva constante en el tiempo
alguna de las componentes cartesianas de dicho momento cinético? En caso afirmativo, explique por qué ocurre esto
verificando matemáticamente que se cumple la condición necesaria establecida en el correspondiente teorema de
conservación.
Solución-Apartado (a)
(Valor máximo : 0,9 puntos)
Derivando respecto al tiempo el vector de posición de la partı́cula P , se obtiene el vector velocidad instantánea; y derivando
respecto al tiempo este último, se obtiene el vector aceleración instantánea:
v =
dr
= Ωb cos(Ωt)ı + vo j + Ωb sen(Ωt) k ;
dt
a =
dv
= −Ω2 b sen(Ωt)ı + Ω2 b cos(Ωt) k
dt
A continuación, calculamos la celeridad de la partı́cula (módulo de su velocidad instantánea):
v = |v | = Ω2 b2 [cos2 (Ωt) + sen2 (Ωt)] + vo2 = Ω2 b2 + vo2
Se observa que la celeridad es constante a lo largo del tiempo (movimiento uniforme), y deducimos por tanto que la componente
tangencial de la aceleración es nula:
→
−
dv
= 0
at =
=⇒ at = at T = 0
dt
Esto implica que toda la aceleración de la partı́cula es aceleración normal. Y como es sabido que la componente normal de la
aceleración es siempre mayor o igual que cero, ésta podrá calcularse entonces como el módulo del vector aceleración instantánea:
an = |an | = |a | = Ω2 b sen2 (Ωt) + cos2 (Ωt) = Ω2 b
an = a = Ω2 b [−sen(Ωt)ı + cos(Ωt) k] =⇒
De todos modos, otra posibilidad para determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partı́cula consiste
simplemente en aplicar las siguientes fórmulas deducidas en la teorı́a:
at =
v · a
=0;
v
an =
| v ∧ a |
= Ω2 b
v
Por último, el radio de curvatura de la trayectoria puede determinarse a partir de la celeridad y de la componente normal de la
aceleración mediante la fórmula:
v2
Ω2 b2 + vo2
v2
= b+ o
Rκ =
=
an
Ω2 b
Ω2 b
Solución-Apartado (b)
(Valor máximo : 0,9 puntos)
La energı́a cinética de la partı́cula se obtiene de su propia definición, y resulta ser independiente del tiempo (integral primera):
K =
1 1
mv 2 = m Ω2 b2 + vo2
2
2
La fuerza que causa el movimiento de la partı́cula se obtiene de la segunda ley de Newton:
= ma = mΩ2 b [−sen(Ωt)ı + cos(Ωt) k]
F
Según el teorema de la energı́a en su versión instantánea, la derivada temporal de la energı́a cinética de una partı́cula coincide
con la potencia mecánica desarrollada sobre la misma:
· v = dK
P =F
dt
Por tanto, en el caso que nos ocupa, el hecho de que la energı́a cinética sea una integral primera (tiene derivada temporal nula)
conlleva que la fuerza causante del movimiento es necesariamente ortogonal a la velocidad instantánea:
dK
· v = 0 =⇒ F
⊥ v
= 0 =⇒ F
dt
Verifiquemos que efectivamente el producto escalar de fuerza y velocidad instantánea es nulo:
· v = mΩ3 b2 [−sen(Ωt)cos(Ωt) + cos(Ωt)sen(Ωt)] = 0
F
Solución-Apartado (c)
(Valor máximo : 0,7 puntos)
El momento cinético de la partı́cula respecto al origen de coordenadas se obtiene de su propia definición:
−
→
O = −
L
OP ∧ mv = mvo b[Ωtsen(Ωt) + cos(Ωt)]ı − mΩb2 j + mvo b[sen(Ωt) − Ωtcos(Ωt)] k
Observamos en la expresión obtenida que la segunda componente cartesiana (componente-y) de dicho momento cinético se
conserva constante en el tiempo:
(LO )y = −mΩb2 (cte)
El teorema del momento cinético establece que la derivada temporal del momento cinético de una partı́cula (respecto a un punto
fijo) coincide con el momento de la fuerza aplicada sobre ella (respecto a dicho punto fijo):
O
−
→
dL
= MO
dt
Y realizando el producto escalar de esta ecuación vectorial por el vector unitario j (que es un vector constante), se obtiene:
O · j
d L
O
−
→
dL
d(LO )y
=
=
· j = M O · j = (MO )y
dt
dt
dt
Por tanto, el correspondiente teorema de conservación establece que (LO )y se conserva constante en el tiempo si (MO )y es nula:
(MO )y = 0 =⇒
d(LO )y
= 0 =⇒ (LO )y = cte
dt
Para verificar el cumplimiento de dicha condición en el caso que nos ocupa, calculamos el momento de la fuerza respecto al
origen de coordenadas:
−−
→ −
→
= mvo b Ω2 t[cos(Ωt)ı + sen(Ωt) k]
M O = OP ∧ F
Y efectivamente se observa que la segunda componente cartesiana (componente-y) del vector momento de fuerza obtenido es
nula:
(MO )y = 0