UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico 3.5 Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Mohr. Método Grafico. Circulo de Mohr 1 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de los Materiales 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr τ= σ +σ x 2 σ −σ x 2 y y + σ −σ x 2 y cos 2θ − τ sen 2θ xy 2 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1: σ= Método grafico. Circulo de Mohr (3.1 y 3.2) σ− σx +σ y 2 2 +τ 2 = σ x −σ y 2 2 ( )2 + τ xy (3.11) σx, σy, τxy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, esfuerzo, mientras que σ y τ son variables. variables. sen 2θ + τ cos 2θ xy Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL 3 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de los Materiales 4 MC. Daniel Ramirez Villarreal UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico Por lo tanto (σx +σy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuació ecuación (3.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuació ecuación (3.11) se transforma en: (σ − C) + τ = R 2 2 2 Por lo que la circunferencia será de radio y centro: R= (3.12) C = Esta ecuació ecuación es aná análoga a la de una circunferencia: σx −σ 2 σx +σ 2 ( )2 + τ xy (3.13) y 2 (x(x-c)2 + y 2= R2 Ingenieria de los Materiales y 11 5 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de los Materiales 6 MC. Daniel Ramirez Villarreal La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2). Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional bidimensional 7 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL MC. Daniel Ramirez Villarreal 8 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico σx Dado el estado de esfuerzos biaxial: σy τ σy τyx ) τyx σx > σy, σx τxy ) b τxy ) Y b τ a σn 2 ο −σ σ σy τyx ) σ min −τ 9 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) : σx= 500 MPa τxy= 100 MPa Los esfuerzos principales normales σ1, σ2 . c) Su dirección y orientación σy = 300 MPa b a MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL τxy= 100 MPa Y b −σ e) Su dirección y orientación Ingenieria de los Materiales σx= 500 MPa τ d) Los esfuerzos principales cortantes τ1, τ2 y σn C o σ a X −τ 11 MC. Daniel Ramirez Villarreal θ 1 c 2’ θ τ max ’ ’ +σ θ a X τ min σ max 10 MC. Daniel Ramirez Villarreal Método Gráfico: Circulo de Mohr a) Los esfuerzos componentes σx’, τxy’ para θ x’ = -30o b) θ Ingenieria de los Materiales 1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar : σy = 300 MPa 1’ Ingenieria de los Materiales 1. Identificar el estado de esfuerzos σx = + 500MPa (T) σy = - 300MPa (c) τxy = - 100MPa τyx = 100MPa 2. Hacer escala 50 MPa: 1cm. 3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2) y (-6, 2). 4 Trazar los ejes σ vs. τ en el papel milimétrico 5. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea. 6. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb 7. Marcar el origen O y el centro C 12 MC. Daniel Ramirez Villarreal UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico τ σ n, (σ n, τ Y −σ ) τmax 1’ b (σ ,0) 2 o C (σ ,0) 1 2’ a X 9. σ −τmin ( σ n ,τ σmin 8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales. ,) Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes: midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen: σ Max =(#cm)escala=518MPa(+) σ Min = #cm x (escala) = τ Max = #cm x (escala) = τ Min = #cm x (escala) = σn = #cm x (escala) = σmax −τ 13 Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal 11. Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes. σx= 500 MPa τxy= 100 MPa σy = 300 MPa Con los ángulos anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: θ1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL 15 MC. Daniel Ramirez Villarreal τ (τ 10. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes σ n) Los ángulos en el circulo son el doble del valor real. 1’ Y −σ b (σ ,0) 2 2θ 1’ 1 o C 2θ 2 −τ 2’ 2θ 2’ (σ ,0) (τ , σ n) Ingenieria de los Materiales 2θ 1 a σ X 2θ Max 2θMin 2θ ’Max 2θ ’Min =+ = =+ = - θ 1 =+ #o θ 2 = - #o θ 1’ = + #o θ 2’ = - #o Ver figura 14 MC. Daniel Ramirez Villarreal 12. Obtención de las componentes de esfuerzos σx’, τxy’ para θx’=−30ο y sus correspondientes componentes a 90o ; σy’, τyx’ . θ = - 30 σx= 500 MPa Se marca en el circulo a partir τxy= 100 MPa del eje X el ángulo 2θ trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del σy = 300 MPa circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: σx’, τxy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas σy’, τyx’ . Ingenieria de los Materiales 16 MC. Daniel Ramirez Villarreal UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico o y σ y τ Calculo de: σx’ , τxy’ y’ xy’ xy’ para θ= -30 xy’ para θ’ = -30 + 90 = 60o τ σ y’ σy b a τ −σ σx τxy ) b’ y b σ y’ θ’=120ο ο 2 σy τyx ) −τ σ x’ 1 c τ xy’ xy’ a’ x’ Ingenieria de los Materiales MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL τ yx’ yx’ θ=− θ=−60ο a +σ x 5A-P 17 MC. Daniel Ramirez Villarreal