Unidad temática 3 A nálisis de esfuerzos en un punto

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UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto
3A
Metodo Grafico
3.5
Existe una interpretación grafica de las ecuaciones
anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr
(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha
llamado Circulo de Mohr.
Mohr.
Método Grafico. Circulo de Mohr
1
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3.5
Método grafico. Circulo de Mohr
τ=
σ +σ
x
2
σ −σ
x
2
y
y
+
σ −σ
x
2
y
cos 2θ − τ sen 2θ
xy
2
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Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,
Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones
paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la
ecuación 3.1:
σ=
Método grafico. Circulo de Mohr
(3.1 y 3.2)
σ−
σx +σ y
2
2
+τ 2 =
σ x −σ y
2
2
( )2
+ τ xy
(3.11)
σx, σy, τxy son valores conocidos que definen el estado
plano de esfuerzo,
esfuerzo, mientras que σ y τ son variables.
variables.
sen 2θ + τ cos 2θ
xy
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Metodo Grafico
Por lo tanto (σx +σy)/2 es una constante C, y el
segundo miembro de la ecuació
ecuación (3.11) lo consideramos
como otra constante R. sustituyendo, la ecuació
ecuación (3.11) se
transforma en:
(σ
− C) + τ = R
2
2
2
Por lo que la circunferencia será de radio
y centro:
R=
(3.12)
C =
Esta ecuació
ecuación es aná
análoga a la de una circunferencia:
σx −σ
2
σx +σ
2
( )2
+ τ xy
(3.13)
y
2
(x(x-c)2 + y 2= R2
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y
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La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el
estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.
El centro C esta a una distancia OC del origen que
es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el
radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.
Se puede comprobar fácilmente que las
coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las
expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por
lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la
variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y
(3.2).
Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional
bidimensional
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Metodo Grafico
σx
Dado el estado de
esfuerzos biaxial:
σy
τ
σy τyx )
τyx
σx > σy,
σx
τxy )
b
τxy )
Y b
τ
a
σn
2
ο
−σ
σ
σy τyx )
σ min
−τ
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Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
Los esfuerzos principales
normales σ1, σ2 .
c)
Su dirección y orientación
σy = 300 MPa
b a
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τxy= 100 MPa
Y b
−σ
e) Su dirección y orientación
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σx= 500 MPa
τ
d) Los esfuerzos principales
cortantes τ1, τ2 y σn
C
o
σ
a X
−τ
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θ
1
c
2’
θ
τ max
’
’
+σ
θ
a
X
τ min
σ max
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Método Gráfico: Circulo de Mohr
a) Los esfuerzos componentes
σx’, τxy’ para θ x’ = -30o
b)
θ
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1. Para el estado de esfuerzos biaxial
en el punto, Determinar :
σy = 300 MPa
1’
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1. Identificar el estado de esfuerzos
σx = + 500MPa (T)
σy = - 300MPa (c)
τxy = - 100MPa
τyx = 100MPa
2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.
3. Pasar los puntos a(500, -100) y
b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)
y (-6, 2).
4 Trazar los ejes σ vs. τ en el papel
milimétrico
5. Marcar los puntos a y b y unirlos
con una línea.
6. Indicar el eje X de Ca y el y de
Cb
7. Marcar el origen O y el centro C
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Metodo Grafico
τ
σ n,
(σ n, τ
Y
−σ
)
τmax
1’
b
(σ ,0)
2
o
C
(σ ,0)
1
2’
a X
9.
σ
−τmin
( σ n ,τ
σmin
8. Con radio R = Ca = Cb trazar
el circulo con centro en C.
identificar
los
ejes
principales.
,)
Obtener el estado de los
esfuerzos principales y sus
magnitudes:
midiendo en el papel
milimétrico
cada
punto
indicado en la figura a partir
del origen:
σ Max =(#cm)escala=518MPa(+)
σ Min = #cm x (escala) =
τ Max = #cm x (escala) =
τ Min = #cm x (escala) =
σn = #cm x (escala) =
σmax
−τ
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11. Obtención de las orientación de
los
esfuerzos
principales
normales y cortantes.
σx= 500 MPa
τxy= 100 MPa
σy = 300 MPa
Con los ángulos anteriores se
inicia la orientación con los
esfuerzos principales normales,
representando un sistema de ejes
cartesiano X-Y , luego a partir del
eje X se representa la dirección:
θ1 considerando su signo y
aplicando
la
convención;
positivos en contra del reloj y
negativos a favor con respecto al
eje X……. ver orientación del
probl. Método analítico
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τ
(τ
10. Obtención de la dirección de
los esfuerzos principales
normales y cortantes
σ n)
Los ángulos en el circulo
son el doble del valor real.
1’
Y
−σ
b
(σ ,0)
2
2θ 1’
1
o C
2θ 2
−τ
2’
2θ 2’
(σ ,0)
(τ , σ n)
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2θ 1
a
σ
X
2θ Max
2θMin
2θ ’Max
2θ ’Min
=+
= =+
= -
θ 1 =+ #o
θ 2 = - #o
θ 1’ = + #o
θ 2’ = - #o
Ver figura
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12. Obtención de las componentes de
esfuerzos σx’, τxy’ para θx’=−30ο y
sus correspondientes componentes
a 90o ; σy’, τyx’ .
θ = - 30
σx= 500 MPa
Se marca en el circulo a partir
τxy= 100 MPa
del eje X el ángulo 2θ trazándose
el nuevo eje X’ desde el centro del
σy = 300 MPa
circulo C y la intersección será el
punto cuyas coordenadas son: σx’,
τxy’ luego a 90 o de este eje se
encuentra el eje Y’ en cuya
intersección con el
circulo
representa
el
punto
con
coordenadas σy’, τyx’ .
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Metodo Grafico
o y σ y τ
Calculo de: σx’ , τxy’
y’
xy’
xy’ para θ= -30
xy’ para
θ’ = -30 + 90 = 60o τ
σ y’
σy
b a
τ
−σ
σx
τxy )
b’
y b
σ
y’
θ’=120ο
ο
2
σy τyx )
−τ
σ x’
1
c
τ xy’
xy’
a’ x’
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τ yx’
yx’
θ=−
θ=−60ο
a
+σ
x
5A-P
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