Parte 4 - MC Daniel Ramirez Villarreal
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UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr Unidad temá temática 1 Aná Análisis de esfuerzos en un punto 1.5 Método Grafico. Circulo de Mohr 4A Parte Diseñ Diseño de elementos de maquinas 1 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal Contenido 1.5 Variació Variación del esfuerzo en un punto Método grafico : Circulo de Mohr. Mohr. 1.5.1 Reglas para trazar el circulo de Mohr Diseñ Diseño de elementos de maquinas 1.5 2 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal Método grafico. Circulo de Mohr Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Mohr. Las ecuaciones (1.1) y (1.2) son las ecuaciones parametricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 1.1: σx +σ y σx −σ y σ− = cos 2θ − τ xy sen 2θ 2 2 τ= σx −σ y 2 (1.1 y 1.2) sen2θ + τ xy cos 2θ 3 MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 1 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr Elevando al cuadrado sumando y simplificando, σ +σ y σ − x 2 2 σ − σ y +τ 2 = x 2 2 + τ xy ( )2 (1.11) σx, σy, τxy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, esfuerzo, mientras que σ y τ son variables. Por lo tanto (σx +σy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuació ecuación (1.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuació ecuación (1.11) se transforma en: − C )2 + τ 2 = R 2 (σ (1.12) 4 Diseñ Diseño de elementos de maquinas MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal Esta ecuació ecuación es aná análoga a la de una circunferencia: (x(x-c)2 + y 2 = R2 Por lo que la circunferencia será será de radio y centro: R= C = σ x −σ 2 y 2 σx +σ + τ xy ( )2 (1.13) y 2 Diseñ Diseño de elementos de maquinas 5 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal La figura 1.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado. El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (1.5) y (1.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (1.1) y (1.2). Diseñ Diseño de elementos de maquinas 6 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 2 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr Figura 1.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional 7 Diseñ Diseño de elementos de maquinas MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 1.5.1 Construcción del circulo de Mohr Dado el estado de esfuerzos biaxial: σx > σy, τxy σy τxy b a a) (σ σx , -ττxy ) σx b) (σ σy , τyx ) 8 Diseñ Diseño de elementos de maquinas MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 1.5.1 Construcción del circulo de Mohr τ σn Y b 1’ 2θ1’ −σ 2 ο σ min −τ Diseñ Diseño de elementos de maquinas 2θ2 τ max 1 c +σ 2θ1 a 2’ 2θ2’ X τ min σ max 9 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 3 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr 1.5.2. Problema propuesto (Método Gráfico) CASO 2: 1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto Determinar : σy = 300 MPa a) Los esfuerzos componentes σx’, τxy’ para θ x’ = -30o σx= 500 MPa b) Los esfuerzos principales normales σ1, σ2 . τxy= 100 MPa c) su dirección y orientación d) Los esfuerzos principales cortantes τ1, τ2 . y su componente normal σn e) su dirección y orientación 10 Diseñ Diseño de elementos de maquinas MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal Método Circulo de Mohr-Gráfico σy = 300 MPa b 1. Identificar el estado de esfuerzos 2. σx = + 500MPa (T) σy = - 300MPa (c) τxy = - 100MPa τyx = 100MPa Hacer escala # MPa: 1cm. σx= 500 MPa a τxy= 100 MPa Y Y pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros. τ b 3. Trazar los ejes σ vs.. τ en el papel milimétrico 4. Marcar los puntos a y b y unir los con una línea. 5. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb 6. Marcar el origen O y el centro C σ o C a X Diseñ Diseño de elementos de maquinas τ (τ 1 , σ n ) 1’ Y b (σ2 ,0) 2 o C 1 (σ1 ,0) σ a X 2’ (τ 2 , σ n ) Diseñ Diseño de elementos de maquinas 11 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 5. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales. 6. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes, midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen: σ Max = #cm X ESCALA = σ Min = #cm X ESCALA = τ Max = #cm X ESCALA = τ Min = #cm X ESCALA = σn = #cm X ESCALA = 12 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 4 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr τ 7. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes ( τ 1 , σ n) Los ángulos en el circulo son el doble del valor real. 1’ Y b 2 (σ2 ,0) 2θ 1’ (σ1 ,0) 1 σ 2θ 1 2θ 2’ a X o C 2θ 2 2’ (τ2 , σ n) 2θ Max 2θMin 2θ ’Max 2θ ’Min =+ = =+ = - θ 1 =+ #o θ 2 = - #o θ 1’ = + #o θ 2’ = - #o Ver figura Diseñ Diseño de elementos de maquinas 13 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 8. Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes. Con los ángulos anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: θ1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico σx= 500 MPa τxy= 100 MPa σy = 300 MPa Diseñ Diseño de elementos de maquinas 14 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 9. Obtención de las componentes de esfuerzos σx’, τxy’ para θx’=−30ο y sus correspondientes componentes a 90o ; σy’, τyx’ . σx= 500 MPa θ= - 30 τxy= 100 MPa σy = 300 MPa Diseñ Diseño de elementos de maquinas Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2θ trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la interseccion sera el punto cuyas coordenadas son: σx’, τxy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya interseccion con el circulo representa el punto con coordenadas σy’, τyx’ . 15 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 5 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr o y σ y τ Calculo de: σx’ , τxy’ y’ xy’ xy’ para θ = -30 xy’ para τ θ’ =-30+90=60o σ y’ σy b b’ τxy a y’ y b σx 2θ’=120ο −σ a) (σ σx , -ττxy ) 2 ο 1 c +σ τ xy’ xy’ a 2θ= − 60ο b) (σ σy , τyx ) −τ τ yx’ yx’ σ x’ x a’ x’ Diseñ Diseño de elementos de maquinas 16 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal A3 Actividad: resolver problemas Por mé método grafico Método Grafico Circulo de Mohr 4A Parte 4 17 Problemas propuestos T4 1. Determinar indicados: para los estados de esfuerzos a) Esfuerzos principales normales y cortantes b) Dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes Diseñ Diseño de elementos de maquinas 18 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 6 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr c) Orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes d) Los esfuerzos componentes normal y cortante a una dirección θ dada en cada problema A3 Tarea 3 UT1: Método Gráfico P1 10000 Psi 600 MPa P2 400 MPa θ =-60 = o θ =45o 4000 Psi 200 MPa 19 Diseñ Diseño de elementos de maquinas MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal A3 Tarea 3 UT1: Método Gráfico 100 MPa P3 1000 Psi P4 θ =30o 200 MPa θ =45o 1000 Psi 40 MPa Diseñ Diseño de elementos de maquinas 20 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 1.5.3 Reglas para la aplicación del circulo de Mohr a los esfuerzos Combinados. 1. Dado el estado plano de esfuerzos, sobre un sistema de ejes coordenados rectangulares se sitúan los puntos de coordenadas 2. Se unen los puntos situados mediante una recta. El segmento de dicha recta comprendido entre los dos puntos es el diámetro de una circunferencia cuyo centro (C) es la intersección con el eje . Diseñ Diseño de elementos de maquinas 21 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 7 UT1 Conceptos basicos del diseno 4A Metodo grafico. Circulo de Mohr 3. Para los diferentes planos que pasan por el punto en estudio, las componentes del esfuerzo, normal y cortante, están representadas por las coordenadas de un punto que se localiza en el perímetro del círculo de Mohr. 57 Diseñ Diseño de elementos de maquinas 22 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal 4. El radio de la circunferencia, correspondiente a un punto dado de ella, representa el eje normal al plano cuyas componentes de esfuerzo vienen dadas por las coordenadas de ese punto del círculo. 5. El ángulo entre los radios de dos puntos del círculo de Mohr es el doble del ángulo entre las normales a los dos planos que representan estos dos puntos. El sentido de rotación del ángulo es el mismo en la circunferencia que en la realidad, es decir, si el eje N forma un ángulo con el eje X en sentido contrario al del reloj, el radio R de la circunferencia forma un ángulo 2θ con el radio X en sentido contrario al del reloj. 58 Diseñ Diseño de elementos de maquinas 23 MC. Daniel Ramirez Ramirez Villarreal MC. Daniel Ramirez Villarreal Diseno de Elementos de Maquinas. 8
