MATRICES

MATRICES
Se llama matriz de orden, o tamaño, m × n a un conjunto de
m × n elementos de K dispuestos en forma de tabla con m las
y n columnas. Usualmente representaremos dichos elementos por
aij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, con m, n ∈ N,

a11 a12
 a
 21 a22
 ..
...
 .
A=
 ai1 ai2
 ..
...
 .
am1 am2

· · · a1j · · · a1n
· · · a2j · · · a2n 

.
.
. . . .. . . . .. 

 ó A = (aij )m×n .
· · · aij · · · ain 
. . . ... . . . ... 

· · · amj · · · amn
El conjunto de todas estas matrices se denota por
©
ª
Mm×n(K) = A = (aij )m×n : aij ∈ K, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
Diremos que dos matrices A = (aij ), B = (bij ) son iguales si
son del mismo tamaño m × n, y los elementos correspondientes
son idénticos,
aij = bij ,
1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Si m = n se dice que la matriz es cuadrada, esto es

a11 a12
a a
 21 22
 ..
...
 .
A=
 ai1 ai2
 ..
...
 .
an1 an2

· · · a1j · · · a1n
· · · a2j · · · a2n 

. . . ... . . . ... 

,
· · · aij · · · ain 
. . . ... . . . ... 

· · · anj · · · ann
y matriz rectangular en otro caso.
1
Se llama diagonal principal, al conjunto de elementos de la forma aii , i = 1, 2, . . . , n. La matriz identidad,In , es una matriz
cuadrada cuyos elmentos son aii = 1, i = 1, 2, . . . , n, y aij = 0
para i 6= j ,


1

0
In =  ..
.
0
0 ··· 0

1 ··· 0 
... . . . ...  .

0 ··· 1
Una matriz cuadrada A = (aij )n×n cuyos elementos por debajo
de la diagonal son todos nulos, esto es aij = 0 para i > j recibe
el nombre de matriz triangular superior



A=


a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n 
...
... . . . ...  .

0 0 · · · ann
Una matriz cuadrada A = (aij )n×n cuyos elementos por encima
de la diagonal son todos nulos, esto es aij = 0 para i < j recibe
el nombre de matriz triangular inferior



A=

a11 0 · · ·
a21 a22 · · ·
...
...
an1 an2

0

0 
.
. . . ... 

· · · ann
Una matriz diagonal es aquella que tiene nulos todos los elementos situados fuera de la diagonal

a11 0 · · · 0

 0 a22 · · · 0
A =  ..
... . . . ...
 .
0 0 · · · ann
2



.

Si todos los elementos de la diagonal son iguales se tiene una
matriz escalar.
Si m = 1 y n > 1 se dice que es una matriz (o vector) la,
A=
¡
¢
a11 a12 · · · a1j · · · a1n .
Si n = 1 y m > 1 se dice que es una matriz (o vector ) columna,




A=


a11

... 


ai1  .
... 

an1
OPERACIONES CON MATRICES
Dadas las matrices A = (aij ), B = (bij ) del mismo tamaño m×n,
se dene la suma de A y B como la matriz de tamaño m × n que
se obtiene al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar. La
denotamos por A + B , siendo pues
A + B = (aij + bij ),
es decir

a11 + b11
 a +b
21
 21

...

A+B = 
 ai1 + bi1

...

am1 + bm1
a12 + b12 · · ·
a22 + b22 · · ·
a1j + b1j · · ·
a2j + b2j · · ·
...
...
ai2 + bi2 · · ·
aij + bij
···
...
...
...
...
...
...
am2 + bm2 · · · amj + bmj · · ·
a1n + b1n
a2n + b2n 


...

.
ain + bin 

...

amn + bmn
Dada una matriz A = (aij ) de orden m × n y un elemento λ ∈ K,
se dene el producto del escalar λ por la matriz A, y se denota
3

por λA, a la matriz λA = (λaij )

λa11 λa12

λa22
 λa
λA =  .. 21
...
 .
λam1 λam2

· · · λa1n

· · · λa2n 
...  .
...

· · · λamn
Dadas A, B y C matrices m × n con coecientes en K y λ, µ ∈ K
se cumplen las siguientes propiedades:
Conmutativa A + B = B + A
Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)
Existencia de elemento neutro A + 0 = 0 + A
Existencia de elemento opuesto
∀Am×n, ∃(−A)/ A + (−A) = (−A) + A = 0
Distributiva del producto por escalar respecto de la suma de
matrices λ(A + B) = λA + λB
Distributiva del producto de matriz respecto de la suma de
escalares (λ + µ)A = λA + µA
Asociativa del producto por un escalar (λµ)A = λ(µA)
Existencia del elemento neutro para la multiplicación por un
escalar 1A = A
La matriz con todos sus elementos nulos 0 = (0)m×n se llama
matriz nula. La matriz opuesta de A, -A, es la matriz con
los elementos de A cambiados de signo.
Ejercicio: Sean A, B y C matrices de tamaño m × n y λ un
elemento de K. Pruebe:
1. λA = 0 =⇒ λ = 0 ó A = 0
2. Si λ 6= 0, λA = λB ⇐⇒ A = B
4
Dadas dos matrices A = (aij ), de tamaño m × n y B = (bij )
de tamaño n × p, se dene el producto de matrices A · B como
otra matriz C = (cij ) de tamaño m × p cuyos elementos cij se
obtienen del siguiente modo,
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj =
n
X
aik bkj .
k=1
El producto de matrices satisface las siguientes propiedades:
1. Asociativa:
A(BC) = (AB)C
∀A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p , C ∈ Mp×q .
2. Distributativa respecto a la suma:
A (B + C) = AB + AC ∀A ∈ Mm×n , B, C ∈ Mn×p ,
(A + B) C = AC + BC ∀A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×p .
3. Asociativa del producto escalar y el producto de matrices
t(AB) = (tA)B = A(tB) ∀A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p , t ∈ K
4. Si A ∈ M(m×n)
AOn×p = Om×p,
Op×mA = Op×n.
5. Si A ∈ Mm×m
Im A = A
AIm = A.
Nota:
AB = 0 no implica que alguna de las matrices sea nula
AB no es siempre igual a BA
AB = AC no implica que B = C
5
POTENCIA DE UNA MATRIZ CUADRADA
A0 = I
Ak+1 = Ak A
k = 0, 1, 2, . . .
Propiedades:
Sea A una matriz de orden n × n, entonces:
1. A1 =A.
2. Ap Aq = Ap+q ,
3. (Ap )q = Apq ,
p, q ∈ N
p, q ∈ N
Ejemplo:
Un zorro puede cazar en tres regiones diferentes R1 , R2 y R3 ,
siendo sus hábitos de caza los siguientes:
a) Si caza en R1 la probalidad de cazar en la misma región al día
siguiente es 1/2, en caso contrario caza en una de las otras
dos regiones con igual probabilidad.
b) Si caza en R2 nunca caza en dicha región al día siguiente, y
elige R1 o R3 con probalidades 3/4 o 1/4 respectivamente.
c) Si caza en R3 al día siguiente caza en dicha región o en R2
con la misma probabilidad.
Este es un ejemplo de los llamados Procesos de Markov. La
matriz A = (aij ) que representa un proceso de Markov recibe el
nombre de Matriz de transición. Sus principales características
son
a) aij ≥ 0,
i, j = 1, 2, . . . , n,
b) aij ≤ 1,
i, j = 1, 2, . . . , n,
c)
n
X
aij = 1, j = 1, 2 . . . , n.
i=1
6
Ejercicio: Sean A y B matrices de orden n × n y r un número
natural. Demuestre o dé un contraejemplo de cada una de las
siguientes igualdades:
r
a) (AB) = Ar B r
2
b) (A + B) = A2 + 2AB + B 2
c) A2 − B 2 = (A − B) (A + B)
3
3
¡
2
2
¢
d) A − B = (A − B) A + AB + B
Enuncie una condición suciente para que las igualdades anteriores sean ciertas.
Ejemplo: Un grafo dirigido es un conjunto nito de elementos
p1, p2, . . . , pn, asociado a una colección nita de pares ordenados,
(pi, pj ), formados por dos elementos distintos del conjunto. A
los elementos del conjunto se les llama vértices y a los pares
ordenados, arcos. La notación pi → pj indica que el arco (pi , pj )
pertenece al grafo.
La siguiente gura muestra un grafo dirigido que podría representar el mapa de rutas de una pequeña línea aérea que da servicio
a cuatro ciudades
7
A un grafo dirigido de n vértices se le puede asociar una matriz
A = (aij ) de orden n × n, llamada matriz de adyacencia. Sus
elementos se denen:
si pi → pj
aij = 1,
aij = 0,
en los demás casos.
La matriz asociada al grafo anterior es

0

1
A=
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1

0

0
.
1
0
(k)
Si A = (aij ) es la matriz de adyacencia de un grafo dirigido y aij
(k)
es el elemento de orden (i, j) de Ak , entonces aij es el número
de caminos de longitud k que hay entre pi y pj .
Dada una matriz A ∈ M(m×n) , denimos la traspuesta de A
como la matriz resultante de cambiar las por columnas. La denotaremos por At . Por tanto, si A = (aij ) ∈ M(m×n) , At = (aji ) ∈
M(n×m) . La matriz traspuesta tiene las siguientes propiedades
¡
1. AT
¢T
=A
T
2. (A + B) = AT + B T
T
3. (kA) = kAT
T
4. (AC) = C T AT
Una matriz es simétrica si AT =A, es decir si aij = aji .
Una matriz es antisimétrica si AT =-A, es decir si aij = −aji .
Si A = (aij ) es una matriz de orden m×n, llamamos conjugada
de A, A a una matriz del mismo orden cuyos elementos son los
conjugados de los elementos de A.
8
Si A y B son matrices y λ un elemento de K, entonces
a) A = A
b) λA = λ A
¡ ¢T
c) A
= (AT )
d) A + B = A + B
e) AB = A B
T
Una matriz A = (aij ) se dice que es hermítica si A = A.
T
Una matriz A = (aij ) se dice que es antihermítica si A = −A.
Sea A = (aij ) una matriz de orden n × n. Se llama traza de A,
tr(A) a la suma de los elementos de la diagonal principal
tr(A) =
n
X
aii
i=1
Se cumplen las siguientes propiedades
a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
b) tr(λA) = λ tr(A)
c) tr(A) = tr(AT )
9
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Se dene el determinante de una matriz cuadrada, que se
denota det(A) o |A|, de una forma recursiva
a) Si A = (a11 ) es una matriz de orden 1 × 1, entonces detA =
a11.
b) Sea A = (aij ) una matriz de orden n×n con n > 1. Llamamos
Aij a la submatriz de orden (n − 1) × (n − 1) que resulta de
suprimir de A la la i y la columna j . Llamamos cofactor o
adjunto del lugar (i, j) al número
Cij = (−1)i+j det (Aij )
El determinante de A es el número que se obtiene al multiplicar los elementos de una la (ó columna) por sus adjuntos
correspondientes, es decir,
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin ,
i = 1, 2, . . . , n
o bien
det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj ,
j = 1, 2, . . . , n
Sea A = (aij ) una matriz de orden n × n. Se llama matriz
adjunta de A, Adj(A), a una matriz del mismos orden cuyos
elementos son los adjuntos de A,
Adj(A) = (Cij )
Una matriz de orden n × n se dice que es singular si det(A) = 0.
En caso contrario se llama no singular o regular.
10
Propiedades de los determinantes:
1. El determinante de una matriz coincide con el determinante
de su traspuesta.
2. El determinante de una matriz que tenga una de sus columnas
como suma de dos (n en general) se puede descomponer como
suma de dos (n) determinantes

a11 + b11 a12 · · · a1n

 a21 + b21 a22 · · · a2n
det 
...
... . . . ...

an1 + bn1 an2 · · · ann



a11 a12 · · · a1n
b11



 a21 a22 · · · a2n 
 b21
= det  ..
+
det

 ..
.
.
.. . . . .. 
 .
 .
an1 an2 · · · ann
bn1



=


a12 · · · a1n

a22 · · · a2n 
... . . . ...  .

an2 · · · ann
3. Si B se obtiene de A multiplicando una la por un escalar λ,
entonces det(B) = λdet(A)

λa11 λa12

 a21 a22
det  ..
...
 .
an1 an2
En general


· · · λa1n
a11 a12


· · · a2n 
 a21 a22
=
λ
det

 ..
...
...
...

 .
· · · ann
an1 an2

· · · a1n

· · · a2n 
.
. . . ... 

· · · ann
det(λA) = λn det(A)
siendo n el orden de la matriz A.
4. Si la matriz B se obtiene intercambiando dos las de la matriz
A, entonces det(B) = −det(A).
5. Si una matriz A tiene dos las iguales, entonces det(A) = 0.
11
6. Si una matriz A tiene una la de ceros, entonces det(A) = 0.
7. Si B se obtiene de A sumándole o restándole una la de A
un múltiplo de una paralela, entonces det(B) = det(A)






det 




a11
..
.
ai1
..
.
aj1
..
.
an1
a12
..
.
ai2
..
.
aj2
..
.
an2


a11
a12
· · · a1n
.
..
. . . .. 

..
.
. 



· · · ain 
 ai1 + λaj1 ai2 + λaj2

..
..
. . . .. 
.
.
.  = det 



aj1
aj2
· · · ajn 


.
..
.
... . 

..
.
.
an1
an2
· · · ann
···
...
···
...
···
...
···
a1n
..
.
ain + λajn
..
.
ajn
..
.
ann
8. Si la matriz A tiene una la combinación lineal de otras las,
entonces det(A) = 0.
9. Si A = (1ij ) es una matriz triangular superior (inferior), entonces
det(A) = a11 a22 . . . ann
10. El determinante del producto de dos matrices es el producto
de los determinantes
det(AB) = det(A)det(B)
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Si A es una matriz, se dice que A es invertible si existe una
matriz B tal que
AB = BA = I
De B se dice que es una inversa de A. Sea A una matriz de
orden n × n. Si B y C son matrices inversas de A, entonces
B = C . La inversa de A se denota por A−1 Una matriz de orden
n × n tiene inversa si y sólo si det(A) 6= 0. En este caso
1
Adj(AT )
A−1 =
det(A)
12






.




Propiedades: Sean A y B matrices de orden n × n invertibles
y sea λ ∈ K, λ 6= 0. Entonces
a) det(A−1 ) = 1/det(A) y (A−1 )−1 = A.
b) AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 .
−1
= (1/λ) A−1.
¡ T ¢−1 ¡ −1¢T
T
d) A es invertible y A
= A
c) λA es invertible y (λA)
MATRICES POR BLOQUES
1) Todos los bloques de una la deben tener el mismo números
de las.
2) Todos los bloques de una columna deben tener el mismo número de columnas.
Dadas las matrices por bloques

A11 A12

A
 A
A =  ..21 ..22
.
 .
Am1 Am2


B11 B12
· · · A1n


· · · A2n 
 B21 B22
,
B
=

 ..
...
.
...
.. 
 .
Bm1 Bm2
· · · Amn
· · · B1n

· · · B2n 
... 
...

· · · Bmn
si Aij es del mismo orden que Bij para i = 1, 2, . . . , m y
j = 1, 2, . . . , n, entonces

A11 + B11

 A +B
A + B =  21 .. 21
.

Am1 + Bm1

λA11

 λA
λA =  .. 21
 .
λAm1
A12 + B12 · · ·
A22 + B22 · · ·
...
Am2 + Bm2
λA12 · · ·
λA22 · · ·
...
...
λAm2 · · ·
13


A1n + B1n

A2n + B2n 

...
...

· · · Amn + Bmn

λA1n

λA2n 
...  .

λAmn
Dadas las matrices por bloques

A11 A12

A
 A
A =  ..21 ..22
.
 .
Am1 Am2


· · · A1n
B11 B12


· · · A2n 
 B21 B22
...  , B =  ...
...
...


· · · Amn
Bn1 Bn2

· · · B1p

· · · B2p 
. . . ... 

· · · Bnp
si el producto Aik Bkj tiene sentido para i = 1, 2, . . . , m;
j = 1, 2, . . . , p y k = 1, 2, . . . , n, se puede denir
AB = (Cij )
donde
Cij =
n
X
Aik Bkj ,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , p
k=1
Teorema: Sea A = (aij ) es una matriz de orden n × n triangular superior (inferior) con elementos no nulos en la diagonal.
Entonces A tiene inversa y A−1 es tambien triangular superior
(inferior).
14