Capitulo VI

Capı́tulo VI
Teorı́a de las superficies
1.
Fórmulas de Gauss y de Weingarten
Consideremos una parametrización regular ϕ : U → R3 , ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una
superficie S = Im ϕ de R3 .
Del mismo modo a como sobre una curva parametrizada de modo regular de R3 (de clase
C 2 y con curvatura no nula en todo punto) tenemos su triedro de Frenet, sobre la superficie S
tenemos también un triedro móvil que en cada punto de S es una base de R3 : ϕu , ϕv y N .
En el caso de una curva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco, las fórmulas
de Frenet expresan la derivada de los vectores T, N, B como combinación lineal de la base
{T, N, B}, obteniéndose que los coeficientes de dichas combinaciones dependen únicamente de
la curvatura y de la torsión.
Para la superficie S, las derivadas parciales de los vectores ϕu , ϕv y N también tienen sus
coordenadas en la base que dichos vectores forman: existen funciones Γkij , αij , βij , γi sobre el
abierto U tales que

ϕuu = Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + α11 N 




1
2
ϕuv = Γ12 ϕu + Γ12 ϕv + α12 N 



1
2
ϕvv = Γ22 ϕu + Γ22 ϕv + α22 N
;
(1.1)





Nu = β11 ϕu + β12 ϕv + γ1 N




1
2
Nv = β2 ϕu + β2 ϕv + γ2 N
ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv son continuas porque ϕ es de clase C 2 (en general, si ϕ es de clase C r con
r ≥ 2, entonces ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv son de clase C r−2 ). Las fórmulas (1.1) son las análogas
para las superficies a las de Frenet para las curvas, y veremos que los coeficientes que aparecen
en ellas dependen únicamente de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie.
Calculemos los coeficientes de las dos últimas, las cuales se conocen como fórmulas de
Weingarten, que expresan el valor del operador de Weingarten sobre la base {ϕu , ϕv } de vectores
tangentes a S y por tanto determinan totalmente dicho operador:
φ(ϕu ) = −ϕ∇
u N = −Nu ,
φ(ϕv ) = −ϕ∇
v N = −Nv ;
en particular Nu y Nv son tangentes a S (porque φ transforma campos tangentes a S en campos
97
98
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
tangentes a S) y por tanto γ1 = 0 = γ2 (Nu y Nv no tienen componente normal a S). De lo
dicho se sigue que las fórmulas de Weingarten se expresan como
! )
−β11 −β21
Nu = β11 ϕu + β12 ϕv
matriz de φ en
=
.
donde
la base {ϕu , ϕv }
−β12 −β22
Nv = β21 ϕu + β22 ϕv
Sabemos que dicha matriz es
1
(gij )−1 · (Lij ) =
|gij |
1
=
|gij |
g22
−g12
−g12
!
·
g11
g22 L11 − g12 L12
g11 L12 − g12 L11
L11
L12
L12
L22
!
g22 L12 − g12 L22
!
g11 L22 − g12 L12
,
por lo que obtenemos
β11 =
g12 L12 − g22 L11
,
|gij |
β21 =
g12 L22 − g22 L12
,
|gij |
β12 =
g12 L11 − g11 L12
,
|gij |
β22 =
g12 L12 − g11 L22
.
|gij |
Respecto a las tres primeras fórmulas de (1.1), comencemos observando que
L11 = ϕuu · N = Γ111 ϕu · N + Γ211 ϕv · N + α11 N · N = α11 ,
L12 = ϕuv · N = Γ112 ϕu · N + Γ212 ϕv · N + α12 N · N = α12 ,
L22 = ϕvv · N = Γ122 ϕu · N + Γ222 ϕv · N + α22 N · N = α22 ,
de modo que dichas fórmulas se expresan como

ϕuu = Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N 


1
2
ϕuv = Γ12 ϕu + Γ12 ϕv + L12 N
.



ϕvv = Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N
(1.2)
Las ecuaciones (1.2) se conocen como fórmulas de Gauss, y la familia de funciones Γkij se denominan sı́mbolos de Christoffel de la superficie S (respecto de la parametrización ϕ = ϕ(u, v)).
Calculemos los sı́mbolos Γk11 que aparecen en la primera ecuación, para lo cual multipliquemos
escalarmente dicha ecuación por ϕu y por ϕv :
)
ϕuu · ϕu = Γ111 ϕu · ϕu + Γ211 ϕv · ϕu + L11 N · ϕu = g11 Γ111 + g12 Γ211
;
ϕuu · ϕv = Γ111 ϕu · ϕv + Γ211 ϕv · ϕv + L11 N · ϕv = g12 Γ111 + g22 Γ211
el anterior sistema de ecuaciones con las incógnitas Γ111 y Γ211 podemos expresarlo matricialmente como
!
!
Γ111
ϕuu · ϕu
gij ·
=
,
Γ211
ϕuu · ϕv
99
2. Teorema fundamental de las superficies
y resolviendo por Cramer obtenemos
!
Γ111
Γ211
= gij
−1
ϕuu · ϕu
·
ϕuu · ϕv
!
.
Procediendo de modo análogo con las otras dos fórmulas de Gauss obtenemos
!
!
!
!
Γ112
Γ122
ϕuv · ϕu
ϕvv · ϕu
−1
−1
= gij
,
·
= gij
.
·
Γ212
ϕuv · ϕv
Γ222
ϕvv · ϕv
Según todo lo anterior, para ver que los sı́mbolos de Christoffel de S sólo dependen de
su primera forma fundamental, debemos comprobar que las seis funciones ϕuu · ϕu , ϕuu · ϕv ,
ϕuv · ϕu , ϕuv · ϕv , ϕvv · ϕu , ϕvv · ϕv sólo dependen de la primera forma fundamental:
(g11 )u = ∂u ϕu · ϕu = ϕuu · ϕu + ϕu · ϕuu = 2 ϕuu · ϕu
(g11 )v = ∂v ϕu · ϕu = · · · = 2 ϕuv · ϕu
(g22 )u = 2 ϕuv ·ϕv ⇒
ϕuv · ϕv =
1
2
⇒
⇒
ϕuu · ϕu =
ϕuv · ϕu =
(g22 )v = 2 ϕvv ·ϕv ⇒
(g22 )u ,
1
2
1
2
(g11 )u ,
(g11 )v ,
ϕvv · ϕv =
1
2
(g22 )v ,
(g12 )u = ∂u ϕu · ϕv = ϕuu · ϕv + ϕu · ϕuv
= ϕuu · ϕv +
(g12 )v = · · · = ϕvv · ϕu +
2.
1
(g11 )v
2
1
(g22 )u
2
⇒
⇒
ϕuu · ϕv = (g12 )u − 12 (g11 )v ,
ϕvv · ϕu = (g12 )v − 12 (g22 )u .
Teorema fundamental de las superficies
Dadas funciones diferenciables κ, τ : I → R, con I intervalo abierto de la recta real, podemos
ver las fórmulas de Frenet

T0 =
κN


0
N = −κT + τ B


B0 =
−τ N
como un sistema de (nueve) ecuaciones diferenciales ordinarias con incógnitas T = (T1 , T2 , T3 ),
N = (N1 , N2 , N3 ), B = (B1 , B2 , B3 ). El teorema fundamental de las curvas afirma que cuando
κ(t) > 0 para todo t ∈ I, dicho sistema tiene soluciones que son el triedro de Frenet de alguna
curva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco; como consecuencia se obtiene además
que κ y τ son la curvatura y la torsión de σ. Podemos expresar lo anterior diciendo que “ las
fórmulas de Frenet son integrables cuando la función κ es siempre positiva ”.
Ahora, dadas funciones diferenciables g11 , g12 , g22 , L11 , L12 , L22 definidas sobre un abierto
2 > 0, g
U de R2 tales que g11 g22 − g12
11 > 0 (para que la matriz simétrica (gij ) sea definida
positiva), consideramos sobre U las funciones Γkij , βij obtenidas a partir de gij , Lij como
100
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
hemos descrito en la anterior sección, y obtenemos que las fórmulas de Gauss-Weingarten
definen un sistema de (dieciocho) ecuaciones en derivadas parciales,

Fu = Γ111 F + Γ211 G + L11 H 




Gu = Fv = Γ112 F + Γ212 G + L12 H 



1
2
Gv = Γ22 F + Γ22 G + L22 H
,





Hu = β11 F + β12 G




1
2
Hv = β2 F + β2 G
(2.1)
con incógnitas F = (F1 , F2 , F3 ), G = (G1 , G2 , G3 ), H = (H1 , H2 , H3 ).
Diremos que el sistema de Gauss-Weingarten (2.1) es integrable cuando existen soluciones
F, G, H de clase C 1 ; en ese caso se cumple Fv = Gu y por lo tanto es fácil encontrar una
aplicación ϕ = ϕ(u, v) que cumple ϕu = F y ϕv = G. Si la solución se ha determinado fijando
unas condiciones iniciales convenientes (por ejemplo, que para cierto (u0 , v0 ) ∈ U , H(u0 , v0 )
sea un vector unitario ortogonal a F (u0 , v0 ) y G(u0 , v0 )), entonces para la superficie S que
define la parametrización ϕ = ϕ(u, v) tenemos que H es un vector unitario normal sobre todo
S, y por tanto el sistema de ecuaciones
(2.1)
se convierte en las fórmulas de Gauss-Weingarten
de S ; en particular, las funciones gij , Lij de partida cumplen que (gij ) es la primera forma
fundamental de S y (Lij ) es la segunda forma fundamental de S.
El problema clásico de integrabilidad de las fórmulas de Gauss-Weingarten se expresa abreviadamente del siguiente modo: dadas una métrica simétrica definida positiva g y una métrica
simétrica φ2 , ¿existe alguna superficie de R3 cuya primera forma fundamental sea g y cuya
segunda forma fundamental sea φ2 ?
En general la respuesta es negativa, a no ser que se cumplan ciertas “ condiciones de compatibilidad ” que resultan de la siguiente observación: si ϕ = ϕ(u, v) es la parametrización de
una superficie para la que queremos asegurar que los coeficientes {Lij } de su segunda forma
fundamental sean de clase C 1 , entonces ϕ debe ser de clase C 3 , en cuyo caso ϕu y ϕv serán de
clase C 2 y por lo tanto sus derivadas cruzadas coincidirán, (ϕu )uv = (ϕu )vu y (ϕv )uv = (ϕv )vu ,
es decir
(ϕuu )v = (ϕuv )u ,
(ϕvv )u = (ϕuv )v .
(2.2)
Utilizando las fórmulas de Gauss podemos expresar las ecuaciones (2.2) como
Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N v = Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N u ,
Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N u = Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N v .
Si primero derivamos respecto de u y v, luego sustituimos ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv en función de
ϕu , ϕv , N utilizando las fórmulas de Gauss-Weingarten, y por último igualamos coordenadas
teniendo en cuenta que {ϕu , ϕv , N } forman base, entonces llegamos a seis igualdades que se
reducen a las tres siguientes:

(L11 )v − (L12 )u = L11 Γ112 + L12 Γ212 − Γ111 − L22 Γ211 
,
(2.3)
(L12 )v − (L22 )u = L11 Γ122 + L12 Γ222 − Γ112 − L22 Γ212 
2. Teorema fundamental de las superficies
1
1 Γ1 + Γ2 Γ1 − Γ1 2 − Γ2 Γ1
Lij = g11 Γ1
−
Γ
+
Γ
22 u
12 v
22 11
22 12
12
12 22
+ g12 Γ222 u − Γ212 v + Γ122 Γ211 − Γ112 Γ212 .
101
(2.4)
Las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) relacionan los coeficientes de la primera forma
fundamental con los coeficientes de la segunda forma fundamental; las (2.3) se conocen como
ecuaciones de Codazzi-Mainardi, y (2.4) se llama ecuación de Gauss.
Por tanto, si queremos que unas métricas dadas (gij ) y (L
las formas fundamentales
ij ) sean de alguna superficie, entonces es necesario que las funciones gij , Lij cumplan las ecuaciones
de Codazzi-Mainardi y la ecuación de Gauss. El “ teorema fundamental de las superficies ”
afirma que el cumplimiento de dichas ecuaciones es también una condición suficiente; por este
motivo, las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) se conocen también como “ condiciones
de integrabilidad ” de las fórmulas de Gauss-Weingarten.
2.1 (Teorema fundamental de las superficies) Sea U un abierto de R2 sobre el que hay
definidas funciones g11 , g12 , g22 de clase C 2 y funciones L11 , L12 , L22 de clase C 1 tales que:
2 > 0;
(i) g11 > 0, g11 g22 − g12
(ii) g11 , g12 , g22 , L11 , L12 , L22 cumplen las ecuaciones de Codazzi-Mainardi (2.3) y la
ecuación de Gauss (2.4).
Entonces, para cada (u0 , v0 ) ∈ U existe una parametrización regular ϕ = ϕ(u, v) de clase
definida en un entorno abierto de (u0 , v0 ) dentro de U para la cual (gij ) es la primera forma fundamental y (Lij ) es la segunda forma fundamental. Además, la superficie que define la
parametrización ϕ = ϕ(u, v) es única salvo su posición en el espacio (esto es, salvo un movimiento directo).
C3
La demostración del “ teorema fundamental de las superficies ” se obtiene como consecuencia
de los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ciertos sistemas de ecuaciones en
derivadas parciales, y es por eso que no la haremos. (Recuérdese que para probar el “ teorema
fundamental de las curvass ” se aplicaba la teorı́a de ecuaciones diferenciales ordinarias.)
Una consecuencia de la ecuación de Gauss es el siguiente resultado muy importante:
2.2 (Teorema egregio de Gauss) La curvatura de Gauss de una superficie de clase C 3 de
R3 depende solamente de su primera forma fundamental.
Demostración. Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrización regular de clase C 3 de una superficie S, y
sean g11 = ϕu · ϕu , . . . , L22 = ϕvv · N las funciones coeficientes
de la primera y segunda formas
fundamentales de S donde N = (ϕu × ϕv )/|ϕu × ϕv | . Entonces la curvatura de Gauss KG de
S cumple la igualdad
Lij L11 L22 − L212
KG = =
2 .
g11 g22 − g12
gij
Para terminar la demostración basta tener en cuenta que según la ecuación de Gauss (2.4) el
numerador de la igualdad anterior puede expresarse como función de las funciones {gij } (y sus
derivadas).
102
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
2.3 (Geometrı́a intrı́nseca) Consideremos una parametrización regular ϕ : U → R3 ,
ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una superficie S de R3 . Recordemos que por definición suponemos que el abierto U es conexo, de modo que la superficie S también es conexa. Por lo tanto
todo par de puntos suyos se pueden unir por una curva que yace sobre S : dados P0 , P1 ∈ S,
existe una curva σ : I → S tal que σ(t0 ) = P0 y σ(t1 ) = P1 para ciertos t0 , t1 ∈ I , (esta
afirmación se deja como ejercicio).
Sabemos que la primera forma fundamental de S determina las longitudes de las curvas que
están sobre S, por lo que la primera forma fundamental define la siguiente “ distancia ”: dados
P, Q ∈ S,
d(P, Q) := “ı́nfimo de las longitudes de los arcos de curva sobre S que van de P a Q ”.
Es inmediato comprobar que la aplicación d : S × S → R definida es una distancia en el sentido
de la topologı́a.
No es fácil, pero puede probarse que si se conoce la distancia d sobre S, entonces puede
construirse a partir de ella la primera forma fundamental g de la superficie.
La geometrı́a intrı́nseca de S es el estudio de las propiedades de la superficie que permanecen
invariantes cuando se deforma S sin estirarla ni romperla, es decir, conservando las distancias
entre sus puntos. Según lo dicho en el párrafo anterior, las “ propiedades intrı́nsecas ” de S son
aquellas que dependen únicamente de su primera forma fundamental g. Un ser bidimensional
que habitara la superficie S ajeno al espacio R3 del que S forma parte, podrı́a determinar
todas las propiedades intrı́nsecas de la superficie sin más que saber medir las distancias entre
los puntos de S (esto es, las longitudes de los arcos de curvas sobre S): áreas de regiones, el
ángulo formado por dos direcciones en un punto, la curvatura de Gauss (teorema egregio), el
tipo de un punto (elı́ptico, hiperbólico ó parabólico/plano).
La segunda forma fundamental φ2 no es una propiedad intrı́nseca de la superficie porque no
está determinada por la primera forma fundamental g, si bien está lejos de ser independiente
de g porque se deben cumplir las ecuaciones de Gauss y de Codazzi-Mainardi. Para entender el
papel de la segunda forma fundamental hay que tener en cuenta que al deformar S sin alterar
las distancias entre sus puntos, podemos obtener otra superficie de “ aspecto ” o “ forma ” muy
diferente. Por ejemplo, una pequeña región de un cilindro circular puede “ desplegarse ” para
dar lugar a una región plana; ambas superficies tienen la misma primera forma fundamental a
pesar de tener formas distintas; la diferencia entre ellas viene dada por la diferencia entre sus
segundas formas fundamentales. Ası́ pues, la segunda forma fundamental determina el modo
en que la superficie se sumerge en R3 .
3.
Curvatura normal y curvatura geodésica
Fijemos una parametrización regular ϕ : U → R3 , ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una superficie
S = Im ϕ de R3 . Tenemos la base {ϕu , ϕv } de campos tangentes a S y el vector unitario
N = (ϕu × ϕv )/|ϕu × ϕv | normal a S. También tenemos, respecto de dicha base, la matriz (gij )
de la primera forma fundamental g y la matriz (Lij ) de la segunda forma fundamental φ2 .
Definición 3.1 Sea σ : I → R3 una curva regular que yace sobre S ; esto es, σ(t) =
(u,v)
ϕ u(t), v(t) con I −−−→ U diferenciable tal que u0 (t), v 0 (t) 6= (0, 0) para todo t ∈ I. El
3. Curvatura normal y curvatura geodésica
103
vector tangente unitario a la curva es T = σ 0 /|σ 0 |. Se define la curvatura normal de la curva σ
sobre la superficie S como la función
Kn := φ2 (T, T ) ;
es decir, dado t ∈ I, en el punto σ(t) la curvatura normal es
Kn (t) := φ2,σ(t) (Tt , Tt ) .
Nótese que Kn puede tomar valores negativos.
3.2 Recordemos que Kn (t) es (salvo el signo) la curvatura en el punto σ(t) de la sección plana
de la superficie S en σ(t) según la dirección tangente a la curva σ en dicho punto (véase la
interpretación geométrica V.6.19). Por lo tanto es claro que la curvatura normal de σ en un
punto depende solamente de la dirección tangente a la curva en el punto. Es decir, se cumple:
(Teorema de Meusnier) Si dos curvas sobre S son tangentes en un punto P , entonces tienen en
P la misma curvatura normal.
3.3 Veamos la expresión de Kn en coordenadas. Como σ(t) = ϕ u(t), v(t) tenemos σ 0 =
u0 ϕu + v 0 ϕv es decir, las coordenadas de σ 0 en la base {ϕu , ϕv } son (u0 , v 0 ). Por lo tanto
!
0
u
0 0
0 2
0 2
+
2L
u
v
+
L
v
,
=
L
u
φ2 (σ 0 , σ 0 ) = u0 v 0 · Lij ·
12
22
11
v0
!
0
0 2
2
2
u
σ = g(σ 0 , σ 0 ) = u0 v 0 · gij ·
= g11 u0 + 2g12 u0 v 0 + g22 v 0 ,
0
v
0
σ
σ0
1
φ2 (σ 0 , σ 0 )
0
0
Kn = φ2 (T, T ) = φ2
,
=
φ
(σ
,
σ
)
=
;
2
|σ 0 | |σ 0 |
|σ 0 |2
g(σ 0 , σ 0 )
por lo tanto
2
2
L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0
Kn =
(3.1)
2
2 .
g11 u0 + 2g12 u0 v 0 + g22 v 0
Definiciones 3.4 Sean un punto P ∈ S y un vector no nulo DP ∈ TP S. Se dice que DP es una
dirección asintótica de la superficie S en el punto P si φ2,P (DP , DP ) = 0 (esto es, si el vector
DP es “ isótropo ” para la métrica φ2,P ). Equivalentemente, DP es una dirección asintótica si
la curvatura en P de la sección plana de S en P según la dirección DP es nula.
Se dice que la curva σ = σ(t) es una lı́nea asintótica de la superficie S si el vector tangente
en cada punto de la curva es una dirección asintótica de la superficie en ese punto. Equivalentemente, σ = σ(t) es una lı́nea asintótica si su curvatura normal es constantemente nula.
3.5 De la expresión (3.1) obtenida para la curvatura normal se sigue que la condición necesaria
y suficiente para que σ(t) = ϕ u(t), v(t) sea una lı́nea asintótica es que su vector tangente
σ 0 = (u0 , v 0 ) cumpla
2
2
L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0 = 0 .
(3.2)
De otro modo, las lı́neas asintóticas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las
soluciones (u, v) de la ecuación diferencial (3.2).
104
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
Definición 3.6 Veamos la curva σ = σ(t) como curva en R3 (independiente de la superficie
S). Un campo a soporte en la curva consiste en dar un vector de R3 en cada punto de la curva.
Un tal campo se expresará en la forma D = (f1 , f2 , f3 ) con fi = fi (t), i = 1, 2, 3, de modo que
para cada t ∈ I, D(t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) es un vector de R3 en el punto σ(t). Supondremos
en lo que sigue que los campos a soporte en σ son diferenciables, esto es, que las funciones
f1 , f2 , f3 son diferenciables.
Como ejemplo de campo a soporte en σ tenemos: el vector tangente unitario T , el vector
normal principal N y el vector binormal B (los dos últimos definidos donde la curvatura de σ
no se anula). Un campo a soporte a σ puede ser tangente a σ (como T ), o puede ser no tangente
a σ (como N o B).
3.7 Igual que derivamos covariantemente campos a soporte en la superficie S respecto de campos tangentes a S, podemos también derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto
de campos tangentes a σ. Basta tener en cuenta que la derivada covariante se definı́a en cada
punto P respecto de un vector e en ese punto: para calcular e∇P D se elegı́a cualquier curva
α = α(t) que cumpliera α(t0 ) = P y α0 (t0 ) = e para algún valor t0 del parámetro, y entonces
e∇P D = (f1 ◦α)0 (t0 ), (f2 ◦α)0 (t0 ), (f3 ◦α)0 (t0 ) ,
D = (f1 , f2 , f3 ) .
Cuando D es un campo en R3 la curva α no tiene más restricciones; cuando D es un campo
sobre la superficie S la curva α debe yacer sobre S. Ahora, para un campo a soporte en σ la
curva α deberá estar “ dentro ” de la curva σ.
Sea entonces D = (f1 , f2 , f3 ) un campo a soporte en σ. Si en el punto P = σ(t0 ) consideramos el vector e = σ 0 (t0 ), entonces para calcular la derivada covariante e∇P D bastará tomar
α = σ, en cuyo caso será (fi ◦α)(t) = (fi ◦σ)(t) = fi (t), i = 1, 2, 3, y obtenemos
σ 0 (t0 )∇P D = f10 (t), f20 (t), f30 (t) .
Haciendo abstracción del punto P = σ(t0 ) tenemos
σ 0 ∇ D = f10 , f20 , f30 = D0 ,
es decir, derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto del vector tangente σ 0 es igual
a derivar respecto del parámetro t.
Cualquier otro campo tangente a la curva σ será de la forma D̄ = hσ 0 para alguna función
diferenciable h = h(t), y por lo tanto será (basta comprobarlo punto a punto):
D̄∇ D = hσ 0
∇
D = h σ 0 ∇ D = hD0 = hf10 , hf20 , hf30 .
Es fácil ver que esta manera de derivar covariantemente campos a soporte en la curva respecto de campos tangentes a la curva cumple las mismas propiedades que la derivada covariante
sobre una superficie (véanse V.5.23 y V.5.24). Con esta notación, las fórmulas de Frenet de la
curva σ se escriben como:

T ∇T =
κN


∇
T N = −κT + τ B
.


∇
T B =
−τ N
105
3. Curvatura normal y curvatura geodésica
3.8 Volvamos de nuevo a ver la curva σ = σ(t) sobre la superficie S fijada al comienzo de
∇ 0 la sección. Ya sabemos que el vector σ 00 = σ 0
σ no es, en general tangente a la curva, e
incluso puede no ser tangente a la superficie.
Dados campos tangentes D1 , D2 a la superficie S, D1∇ D2 es un campo de vectores sobre S
que tendrá su componente tangente a S y su componente normal a S. La parte tangente a S la
denotaremos D1∇ D2 . La parte normal debe ser de la forma hN para cierta función h = h(u, v).
Ası́, D1∇ D2 y hN son campos a soporte en S tales que
D1∇ D2 = D1∇ D2 + hN ,
D1∇ D2 · N = 0 .
Por lo tanto
φ2 (D1 , D2 ) = D1∇ D2 · N = D1∇ D2 + hN · N = D1∇ D2 · N + h(N · N ) = h ,
y obtenemos la fórmula
D1∇ D2 = D1∇ D2 + φ2 (D1 , D2 ) N .
(3.3)
En particular, para el vector σ 0 tangente a la curva tenemos
σ 00 = σ 0
∇
σ 0 + φ2 (σ 0 , σ 0 ) N .
(3.4)
3.9 Interpretemos geométricamente la fórmula (3.4). Si entendemos σ = σ(t) como la “ trayectoria de un móvil en el tiempo t ”, entonces σ 0 y σ 00 son, respectivamente, los vectores velocidad
y aceleración del móvil, y se dice que σ = σ(t) es una “ trayectoria inercial ” si su aceleración
es constantemente nula: si σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) es tal que σ 00 = (σ100 , σ200 , σ300 ) = (0, 0, 0), entonces
integrando se obtiene fácilmente que existen escalares a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ R tales que
σ(t) = (a1 t + b1 , a2 t + b2 , a3 t + b3 ) = t(a1 , a2 , a3 ) + (b1 , b2 , b3 ) ,
es decir, σ = σ(t) es (un segmento de) la recta de R3 que pasa por el punto (b1 , b2 , b3 ) con
la dirección del vector (a1 , a2 , a3 ). Como ya sabı́amos, las trayectorias inerciales de R3 son las
rectas. Pero nótese que son las rectas “ parametrizadas afı́nmente ”, no vale parametrizarlas de
cualquier manera: σ(t) = (t3 + t, 0, 0) = (t3 + t)(1, 0, 0) es una parametrización regular de la
recta y = 0 = z, pero no es una trayectoria inercial porque su aceleración σ 00 = (6t, 0, 0) no es
idénticamente nula.
Ahora, si la curva está sobre S, para un ser bidimensional que habitara la superficie serı́a
∇ 0 σ = σ(t) una trayectoria cuya aceleración es la parte tangencial σ 0
σ del vector σ 00 (la
parte normal φ2 (σ 0 , σ 0 ) N es ajena a un tal habitante); es decir, la aceleración de la trayectoria
∇ 0 σ = σ(t) sobre S que “ verı́a un habitante de la superficie ” es σ 0
σ . Calculemos esta
última aceleración y veamos que es una propiedad intrı́nseca de la superficie. Como viene siendo
habitual, utilizaremos el triedro móvil {ϕu , ϕv , N } sobre S y las fórmulas de Gauss-Weingarten:
σ(t) = ϕ u(t), v(t) ,
σ 0 = u0 ϕu + v 0 ϕv ,
106
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
σ 00 = u0 ϕu + v 0 ϕv
0
= u00 ϕu + u0 u0 ϕuu + v 0 ϕuv + v 00 ϕv + v 0 u0 ϕuv + v 0 ϕvv
i
h
i
2 h
= u00 ϕu + u0 Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N + u0 v 0 Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N
h
i
i
2 h
+ v 00 ϕv + v 0 u0 Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N + v 0 Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N
h
h
2
2 i
2
2 i
= u00 + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 ϕu + v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 ϕv
h
2
2 i
+ L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0
N;
por lo tanto la componente de σ 00 que es tangente a S es
∇ 0 h 00
2
2 i
σ0
σ = u + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 ϕu
h
2
2 i
+ v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 ϕv .
(3.5)
∇ 0 σ en la base {ϕu , ϕv } dependen solamente
Como puede verse, las coordenadas del vector σ 0
de los sı́mbolos de Christoffel de S, es decir, de la primera forma fundamental de la superficie.
Definición 3.10 Con la notación de los puntos anteriores, diremos que la curva σ = σ(t) es
∇ 0 una geodésica de la superficie S si se cumple σ 0
σ = 0, es decir, si el vector σ 00 es normal
a S a lo largo de toda la curva. Las geodésicas de S son las trayectorias inerciales propias de
la superficie.
3.11 De la fórmula (3.5) se sigue que la condición necesaria y suficiente para que σ(t) =
ϕ u(t), v(t) sea una geodésica es que se cumplan

2
2
u00 + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 = 0 
.
2
2
v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 = 0 
(3.6)
De otro modo, las geodésicas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones
(u, v) del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (3.6).
3.12 Aunque ya lo hemos dicho, insistimos porque es importante: las geodésicas de S son
curvas parametrizadas, es decir, puede ocurrir que σ = σ(t) sea una geodésica de S, pero que
después de hacer un cambio de parámetro t = t(s) obtengamos una nueva parametrización
σ(s) = σ(t(s)) de la misma curva que ya no sea geodésica de la superficie.
Sin embargo, también es importante conocer “ cuáles son las geodésicas ” de la superficie S
en el siguiente sentido: ¿cuáles curvas de S admiten una parametrización con la que resultan
ser geodésica? Por ejemplo, si S es un plano de R3 , entonces las únicas geodésicas de S son
sus rectas. En efecto, el plano S tendrá un vector normal unitario constante N0 , y existirá un
escalar λ ∈ R tal que la ecuación de S es X · N0 = λ; si σ = σ(t) es una curva que está sobre
el plano cumplirá σ · N0 = λ, y derivando dos veces tenemos σ 00 · N0 = 0; si σ es geodésica de
107
3. Curvatura normal y curvatura geodésica
S, entonces σ 00 es proporcional a N0 y por lo tanto debe ser σ 00 = 0, es decir, existen vectores
e0 , v0 ∈ R3 tales que σ(t) = tv0 + e0 .
Otro ejemplo: las geodésicas de una esfera son sus cı́rculos máximos (lo veremos un poco
más adelante).
El siguiente resultado simplifica el problema de obtener las geodésicas de la superficie S.
Lema 3.13 Sea σ = σ(t) una geodésica de S. Se cumplen:
(i) El módulo del vector tangente σ 0 es constante.
dσ
(ii) Si σ = σ(s) es otra parametrización de la curva dada cuyo vector tangente
tiene
ds
módulo constante, entonces σ = σ(s) también es geodésica de S.
Demostración. El apartado (i) es sencillo: si el vector σ 00 es proporcional al vector normal
unitario N a la superficie, entonces σ 0 y σ 00 son ortogonales y por lo tanto
0
σ 0 · σ 0 = σ 00 · σ 0 + σ 0 · σ 00 = 0 ,
2
es decir, la función σ 0 = σ 0 · σ 0 es constante.
Probemos (ii). Sea t = t(s) un cambio de parámetro y consideremos la nueva parametrizadσ
tiene módulo constante, veamos
ción σ(s) = σ(t(s)) para la curva. Supuesto que el vector
que
d2 σ
ds2
es proporcional a σ 00 (en ese caso
d2 σ
ds2
ds
serı́a normal a la superficie, porque σ 00 lo es, y
dσ por tanto σ = σ(s) serı́a geodésica de S). Sean λ, µ ∈ R constantes tales que |σ 0 | = λ y = µ;
ds
tenemos
dσ dt dt dσ
dσ dt
dt 0
=
=
σ
⇒
µ = = σ 0 = λ ,
ds
dt ds
ds
ds
ds
ds
dt
ds
dt
es constante:
= α = ±µ/λ. Entonces obtenemos
ds
0
d dσ
d
dσ 0
dσ dt
d2 σ
0
=
=
ασ = α
=α
= α2 σ 00 ,
ds2
ds ds
ds
ds
dt ds
y por lo tanto la función
que es lo que querı́amos demostrar.
Corolario 3.14 Una curva sobre S es una geodésica (i.e., tiene una parametrización con la
que es una geodésica) si y sólo si al parametrizarla por su longitud de arco es geodésica.
Ejemplo 3.15 Veamos que las geodésicas de una esfera S de R3 son sus cı́rculos máximos
(= circunferencias sobre S que tienen su centro en el centro de S).
Consideremos una geodésica σ = σ(t) sobre S ; según el anterior corolario podemos suponer
que está parametrizada por su longitud de arco. Sabemos que por ser una curva esférica tiene
curvatura no nula en todo punto, y por tanto está definido su triedro de Frenet {T, N̄ , B} a
lo largo de toda la curva, siendo en este caso σ 0 = T y σ 00 = κN̄ . Como σ 00 ∈ hN i por ser
geodésica, la condición σ 00 = κN̄ implica que la recta normal principal a σ en un punto σ(t)
tiene la dirección normal a la esfera en dicho punto; por las propiedades de la esfera, lo anterior
significa que todas las rectas normales principales de la curva pasan por el centro de la esfera.
Por lo tanto σ = σ(t) es un arco de circunferencia cuyo centro es el centro de S (véase el
problema III.5.2).
108
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
3.16 Terminaremos esta sección dando otra definición equivalente de geodésica. Sea σ = σ(t)
una parametrización natural de una curva que yace sobre la superficie S. Según la fórmula (3.3)
que hemos probado en la página 105, para el vector tangente unitario T = σ 0 se cumple
T ∇ T = T ∇ T + φ2 (T, T )N = T ∇ T + Kn N ,
y como los vectores T ∇ T y N son ortogonales podemos aplicar el teorema de Pitágoras para
obtener
∇ 2
T T = T ∇ T 2 + Kn2 .
La función T ∇ T = σ 00 | = κ es la curvatura de σ como curva de R3 (es independiente de que
se considere σ dentro de la superficie S). La función T ∇ T se denota Kg y se llama curvatura
geodésica (ó curvatura tangencial) de la curva σ (como curva sobre la superficie S); Kg es la
curvatura de σ que verı́a un habitante de la superficie. Tenemos la fórmula
κ2 = Kg2 + Kn2 .
Por definición, σ es un geodésica de S cuando el vector T ∇ T es idénticamente nulo, es decir,
“ una curva sobre una superficie es una geodésica cuando su curvatura geodésica es idénticamente nula ”.
4.
Superficies de curvatura constante
4.1 Las superficies de curvatura constante nula son las llamadas “ superficies desarrollables ”.
Como ejemplo hemos visto los cilindros, los conos y las desarrollables tangenciales. Puede
probarse que cualquier superficie desarrollable es localmente como uno de los tres casos mencionados.
Como ejemplo de superficie de curvatura constante positiva tenemos la esfera. Se cumple el
siguiente resultado:
4.2 (Teorema de Liebmann) Las únicas superficies compactas (conexas) de R3 de curvatura constante positiva son las esferas.
Más adelante veremos cómo construir superficies de R3 de curvatura constante positiva que
no son parte de una esfera (véase el punto 4.8); no serán compactas.
Hemos mencionado dos ejemplos de superficies de curvatura constante que tienen además
la propiedad de que todos sus puntos son umbı́licos: el plano y la esfera. Tenemos:
Teorema 4.3 Sea S una superficie (conexa) de R3 . Si todos los puntos de S son umbı́licos,
entonces S es un abierto de un plano ó es un abierto de una esfera.
Todos los resultados enunciados hasta ahora en esta sección tienen demostraciones que
podrı́amos hacer con las herramientas con las que contamos. Sin embargo no los demostraremos
por falta de tiempo.
109
4. Superficies de curvatura constante
4.4 (Teorema de Hilbert) No existe en R3 ninguna superficie cerrada de curvatura constante negativa.
La demostración del anterior teorema es difı́cil y no está a nuestro alcance. Un resultado
más débil que sı́ podrı́amos probar nosotros es el siguiente:
Teorema 4.5 Toda superficie compacta de R3 tiene curvatura positiva en alguno de sus
puntos. Como consecuencia, no existe en R3 ninguna superficie compacta de curvatura constante negativa.
4.6 Veamos cómo construir superficies de revolución de curvatura constante (véase el problema
IV.5.4). Dada en el semiplano {y = 0, x > 0} la curva regular σ(t) = (f (t), 0, h(t)) (con
f, h : I → R funciones de clase C m definidas en un intervalo abierto I, siendo f (t) > 0 para
todo t ∈ I), haciéndola girar alrededor del eje z obtenemos la superficie de revolución S (de
clase C m ) parametrizada como
ϕ : I × R −→ R3
(t, θ) 7−→
f (t) cos θ , f (t) sen θ , h(t) .
En la resolución del problema V.7.10 se obtiene que la curvatura de Gauss de S es
h0 f 0 h00 − f 00 h0
KG =
2
2 2 .
f f 0 + h0
Vamos a considerar curvas que son la gráfica de una función z = h(x), es decir, σ(t) = (t, 0, h(t))
con t > 0, en cuyo caso tenemos
KG =
h0 h00
t 1 + h0
2 2 .
(4.1)
Supongamos que queremos obtener una función z = h(x) tal que la superficie de revolución
S definida por ella tenga curvatura de Gauss constantemente igual a un número real KG fijado;
entonces hay que encontrar una solución de la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
(4.1); si imponemos a dicha ecuación condiciones iniciales h(t0 ) = a0 y h0 (t0 ) = b0 , entonces la
teorı́a de ecuaciones diferenciales nos asegura que existe una única solución.
z
6
a0
r
Q
Q
Q
Qr
Q recta de pendiente
Q
Q igual a b0
Q
Q
t0
- x
Es decir, fijados un punto y una recta que pasa
por él, existe una única gráfica que pasa por
ese punto, cuya recta tangente en el punto es la
recta fijada, y tal que la superficie de revolución
que genera tiene curvatura constante igual al
valor KG prefijado.
4.7 Utilizando los cálculos del punto anterior, podemos preguntarnos cómo son las superficies
de revolución obtenidas a partir de la gráfica de una función z = h(x) que son desarrollables.
Si KG = 0, entonces h0 h00 = 0 y por tanto h00 = 0, es decir, h(x) = ax+b, de modo que la gráfica
es una recta y la superficie de revolución es un cono. (El cilindro también es una superficie de
revolución desarrollable, pero la recta x =cte no es la gráfica de una función.)
110
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
4.8 Veamos, como consecuencia de lo dicho en el punto 4.6, que existen superficies de revolución de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera. Fijemos números reales
t0 y R tales que t0 > R > 0, y sea KG = 1/R2 > 0.
z
Q
Q
Si la superficie de revolución S obtenida con es6
Q
Qr
tos datos fuera parte de una esfera S̄, entonces S̄
a0
Q
Q
tendrı́a su centro en el eje z, y por tanto su radio
Q
Q
R̄ serı́a mayor o igual que la distancia del punto
(t0 , a0 ) ∈ S ⊂ S̄ a dicho eje, esto es, R̄ ≥ t0 > R.
r
- x
t0 > R
Pero entonces tendrı́amos
curvatura de Gauss de S = curvatura de Gauss de S̄
= 1/R̄2 < 1/R2 = KG = curvatura de Gauss de S ,
lo cual es absurdo. Por lo tanto S es una superficie de revolución de curvatura constante positiva
igual a 1/R2 que no es parte de una esfera. Según el teorema de Liebmann 4.2, la superficie S
no puede ser compacta.
Terminaremos dando un ejemplo de superficie de curvatura constante negativa, la seudoesfera, que es la superficie de revolución generada por la curva plana llamada tractriz.
4.9 (Tractriz) En el plano de las coordenadas (x, z), consideremos un carrito que está sobre
la parte positiva del eje x a una distancia R > 0 del origen, y supongamos que en el origen
hay un niño que tiene agarrada una cuerda no elástica de longitud R que está atada al carrito.
La tractriz es la curva que describe el carrito cuando el niño comienza a andar en la dirección
positiva del eje z sin soltar la cuerda.
z
Calculemos la función z = h(x) cuya gráfica es la tractriz. Fijemos un valor x0 en el intervalo abierto I = (0, R).
6
Consideremos el punto P0 = (x0 , h(x0 )) de la tractriz, y
Q0 •
sea Q0 el punto corte de la tangente a la tractriz en P0
con el eje z. La ecuación de la recta tangente a la gráfica
de la función z = h(x) en el punto P0 es
6
z − h(x0 ) = h0 (x0 ) x − x0 ,
h(x0 )
• P0
de modo que con un cálculo sencillo
obtenemos la igual
0
6
dad Q0 = 0 , h(x0 ) − x0 h (x0 ) . Obsérvese que en cada
x
momento la cuerda que une al niño con el carrito es tan•
•
x0
R
gente a la trayectoria (cuando el carrito está en el punto
P0 el niño se encuentra en el punto Q0 ), y que la distancia
entre el carrito y el niño es constantemente igual a R (la distancia de P0 a Q0 es R). Por lo
tanto tenemos
2
2
R2 = d(P0 , Q0 ) = x20 + x20 h0 (x0 ) .
2
Haciendo abstracción del valor x0 ∈ I obtenemos la igualdad R2 = x2 + x2 h0 , y como es
claro que la pendiente de la función z = h(x) es negativa, concluimos que h cumple la ecuación
111
5. Problemas
diferencial
r
h0 = −
p
− R 2 − x2
R2
−1 =
.
x2
x
Integrando obtenemos
Z
h(x) =
x
R
p
R2 − t2
dt + cte ,
t
x ∈ (0, R) ;
(4.2)
como la función h es continua en el intervalo (0, R] si definimos h(R) = 0, concluimos que la
constante que aparece en la igualdad (4.2) debe ser nula.
4.10 (Seudoesfera) Sea h = h(t), 0 < t < R, la función que se ha obtenido en el punto
anterior, y cuya gráfica es la tractriz. La seudoesfera es la superficie de revolución que se
genera al girar alrededor del eje z la curva σ(t) = (t, 0, h(t)) (véase el punto 4.6).
Para calcular la curvatura KG de la seudoesfera utilizaremos la fórmula (4.1):
p
h0 h00
− R2 − t2
R2
1
0
⇒
KG =
h =
, h00 = p
2 2 = − 2 < 0 .
t
R
t 1 + h0
t2 R2 − t2
Por analogı́a (recordemos que una esfera de radio R tiene curvatura constante positiva igual a
1/R2 ), se dice que R es el seudoradio de la seudoesfera.
5.
Problemas
Sea C una curva sobre una superficie S de R3 .
(a) Si C es una recta, entonces C es lı́nea asintótica de S y también es geodésica de S.
(b) Si C es lı́nea asintótica y es geodésica de S, entonces C es una recta.
(c) La condición necesaria y suficiente para que C sea lı́nea asintótica de S es que en cada
punto de C de curvatura no nula coincidan el plano osculador a C y el plano tangente a S.
(d) La condición necesaria y suficiente para que C sea geodésica de S es que en cada punto
de C de curvatura no nula el plano osculador a C sea perpendicular al plano tangente a S.
5.1
5.2
Sean S1 y S2 superficies de R3 que son tangentes a lo largo de una curva C.
(a) Si C es lı́nea asintótica de una de las superficies, entonces también lo es de la otra.
(b) Si C es geodésica de una de las superficies, entonces también lo es de la otra.
112
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
5.3 Pruébese que la condición necesaria y suficiente para que la curvatura media km :=
3
1
2 (k1 + k2 ) de una superficie S de R se anule en un punto P ∈ S, es que exista una base
ortogonal de TP S formada por vectores isótropos 1 . Además, si km (P ) = 0 y KG (P ) 6= 0,
entonces hay exactamente dos direcciones asintóticas en TP S, que son otogonales.
5.4 Sean C1 y C2 curvas que yacen sobre una superficie S de R3 y que se cortan ortogonalmente en un punto P ∈ S. Pruébese que la suma de las curvaturas normales de C1 y C2 en
P es constante (no depende de las curvas C1 y C2 ). Claramente, dicha constante debe ser la
suma de las curvaturas principales de S en P (i.e., el doble de la curvatura media).
5.5 Sea S una superficie de R3 con curvatura de Gauss no nula en todo punto y con curvatura
media nula en todo punto (en particular todo punto de S es hiperbólico). Pruébese que por
cada punto de S pasan dos, y sólo dos, curvas asintóticas, que además son ortogonales.
Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrización de una superficie S de R3 .
(a) Pruébese: las curvas paramétricas son lı́neas de curvatura ⇔ g12 = 0 = L12 en los
puntos no umbı́licos.
(b) Pruébese: las curvas paramétricas son lı́neas asintóticas ⇔ L11 = 0 = L22 .
(c) ¿Qué debe ocurrir para que las curvas paramétricas sean geodésicas?
5.6
5.7
5.8
Sea S el cilindro circular de radio r > 0 centrado en el eje z, cuya ecuación es x2 +y 2 = r2 .
(a) Estúdiesen las lı́neas asintóticas de S.
(b) Estúdiesen las geodésicas de S.
Considérese en R3 la superficie S parametrizada del siguiente modo:
ϕ : U −→ R3
(u, v) 7−→ (u cos v, u sen v, v 2 ) ,
siendo U = R2 − {(0, 0)}.
(a) Estúdiesen las lı́neas asintóticas de S.
(b) ¿Son geodésicas las curvas paramétricas?
2
5.9 Sea S la superficie de R3 dada por la ecuación z = y 2 − x . Pruébese que el lugar
geométrico de los puntos parabólicos de S es una curva que es lı́nea asintótica de S.
5.10 Teorema de Beltrami-Enneper: Sea C una lı́nea asintótica de una superficie S de
R3 . En los puntos de C donde está definida su torsión (donde la curvatura de C no se anula)
se cumple
p
τ = ± −KG .
5.11 Teorema de Meusnier: Sean P un punto de una superficie S de R3 y sea DP ∈ TP S
una dirección no asintótica. Si se considera el haz de planos determinado por la recta P + hDP i
(que es una recta tangente a S), entonces los cı́rculos osculadores de la intersección de S con
dichos planos están sobre una esfera.
1
Ası́ como el ser ortogonales se refiere siempre a la métrica euclı́dea g (la primera forma fundamental de S),
el ser isótropo se referirá a la métrica simétrica φ2 (la segunda forma fundamental de S).
113
5. Problemas
5.12 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitario
a la superficie. La curva es una geodésica de S si y sólo si se cumple [σ 0 , σ 00 , N ] = 0 en todos
los puntos de la curva.
5.13 Considérese una función diferenciable F sobre R3 de clase suficientemente alta y denotemos J = F (R3 ), que será un intervalo de R. Supóngase que el campo de vectores grad F
sobre R3 no tiene puntos singulares, en cuyo caso tenemos en R3 la familia de superficies
{Sα ≡ F (x1 , x2 , x3 ) = α}α∈J .
Pruébese que las geodésicas de dicha familia de superficies están dadas por las ecuaciones
diferenciales
0
x x00 Fx1 3
1
1
X
0
00 F
x
x
x0i Fxi = 0 ,
2
x2 = 0 .
2
i=1
x0 x00 Fx 3
3
3
Es decir, una curva σ : I → R3 , σ(t) = (σ1 (t), σ2 (t), σ3 (t)), es geodésica de Sα para algún
α ∈ J, si y sólo si para todo t ∈ I se cumplen
0
σ (t) σ 00 (t) Fx1 (σ(t)) 3
1
1
X
0
σi0 (t)Fxi σ1 (t), σ2 (t), σ3 (t) = 0 ,
σ2 (t) σ200 (t) Fx2 (σ(t)) = 0.
i=1
σ 0 (t) σ 00 (t) Fx (σ(t)) 3
3
3
5.14 Obténganse, aplicando el problema 5.13, las geodésicas de una esfera de R3 centrada en
el origen.
5.15 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitario
a la superficie. La curva σ es lı́nea asintótica de S si y sólo si se cumple σ 0 · N 0 = 0 sobre toda
la curva.
5.16 Con la notación fijada en el problema 5.13, pruébense:
(a) Las lı́neas asintóticas de la familia de superficies {Sα }α∈J están dadas por las ecuaciones
3
X
x0i Fxi = 0 ,
i=1
3
X
x0i x0j Fxi xj = 0 .
i,j=1
(b) Las lı́neas asintóticas de la familia de superficies {Sα }α∈J están dadas por las ecuaciones
3
X
i=1
x0i Fxi = 0 ,
3
X
x00i Fxi = 0 .
i=1
x4
y4
−
. Pruébese que las lı́neas
a4
b4
asintóticas de S son las curvas en que la superficie es cortada por las familias de cilindros
2
2
x
y2
x
y2
+ 2 =λ
,
− 2 =µ
.
a2
b
a2
b
λ
µ
5.17
Considérese en R3 la superficie S de ecuación z =
114
Capı́tulo VI. Teorı́a de las superficies
TIRANDO DEL TREN
SURGE UNA GEOMETRÍA
La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muy
especial que se dibuja mecánicamente al moverse una rueda. Hoy te
traemos otra importantísima curva que también se genera de un modo
mecánico. Nació de la imaginación de Huygens en 1692, quien le puso
de nombre tractriz o tractrix. Después, Leibniz y los Bernoulli siguieron estudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Beltrami encontró una aplicación insospechada de ella en la seudoesfera.
por Lolita Brain
ASÍ SE GENERA LA TRACTRIZ
U
n modo mecánico y sencillo de generar la tractriz
es como sigue: si alguien
tira de un tren de juguete al
que lleva sujeto por una
cadena tensa y comienza a
caminar por el borde de
una acera rectilínea, el trenecito de juguete se desplazará tal y como ves en el
diagrama. El juguete dibujará una tractriz.
AULA
DE EL
MUNDO
2
1
8
E
sta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, según el
movimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. La
recta en rojo se denomina asíntota de la tractriz, ya que la curva se
aproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren de
juguete, la asíntota sería la acera por la que se desplaza la persona
que tira de él. Esta curva se hizo famosa por el problema propuesto
por Leibniz: ¿Cuál será la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobre
una mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza el
otro de sus extremos por una recta?
4
3
TÚ TAMBIÉN PUEDES HACERLO
S
i quieres dibujar mecánicamente una tractriz, sólo necesitas cinta adhesiva, una chincheta con cabeza grande, un bolígrafo, una tira de cartón con
dos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel (imagen 1). Coloca la hoja de papel en la que se dibujará la tractriz sobre una
mesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujétala a la mesa con
cinta adhesiva. Coloca la tira de cartón perpendicularmente sobre el papel.
Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolígrafo en el otro
(imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitir
que se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolígrafo, déjalo deslizar suavemente según mueves la chincheta (imagen 3). Conforme deslizas la chincheta, ésta arrastrará la tira de papel y el bolígrafo dibujará en la hoja una tractriz (imagen 4).
LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA
L
a catenaria y la tractriz
están íntimamente ligadas.
Se dice que la tractriz es la
evoluta de la catenaria: si en
cada punto de la tractriz trazas su tangente y una recta
perpendicular a ella, la llamada normal, la curva que
envuelve esas normales es
una catenaria. Al revés, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P del
vértice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria.
LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI
D
esde que Lobachevski demostrara que la Geometría Euclídea, en la que la suma de los ángulos de
un triángulo es de 180 , no era la única posible,
sino que perfectamente podía existir la Geometría
Hiperbólica en la que los
tres ángulos de un triángulo suman menos de 180 ,
los matemáticos se pusieron a buscar modelos reales en los que la nueva
geometría ‘funcionara’. No
fue un camino fácil. El italiano Beltrami encontró, en
1868, que la seudoesfera
era un espacio para la geometría hiperbólica. Más
tarde, Klein encontró otro
EUGENIO BELTRAMI
modelo.
(1835-1900)
o
o
S
i hacemos girar una tractriz
alrededor de su asíntota,
obtenemos una superficie
de revolución que tiene curvatura negativa (se curva
hacia adentro) en todos
sus puntos. Es la
seudoesfera.
AL CORTAR UNA CADENA
S
i colgamos una cadena por sus
extremos, la forma que adopta
es de una catenaria. Cortando la
cadena por el punto inferior, su
punto medio, el extremo de cada
brazo de la misma dibujará precisamente una tractriz. Ello se
produce porque la tractriz es
la evoluta de la catenaria. La
asíntota de la tractriz es por
tanto la máxima altura que la
cadena no alcanza cuando
se corta.
lolitabrain@lolitabrain.com