Geometrı́a de Curvas y Superficies. 2o Matemáticas. Departamento de Matemáticas, UAM. Curso 2015-16. Hoja 8: Curvatura geodésica 1. Damos al plano R2xy el siguiente campo de formas cuadráticas: Q ≡ (dx)2 − 2 x dxdy + (1 + x2 ) (dy)2 . (a) Comprueba que Q es una métrica de Riemann. (b) Dada la curva α(t) ≡ (t, 0), comprueba que la dirección conormal a α en el punto α(t) (respecto de Q) es la del vector (t, 1). Comprueba que la aplicación ϕ(t, λ) ≡ ( t + λ t , λ ) cumple las condiciones: ϕ(t, 0) ≡ α(t) , Q α0 (t) , ϕλ (t, 0) ≡ 0; . Utiliza ϕ para calcular el vector curvatura geodésica kg (t) ≡ kg,α,Q (t). Haz un dibujo conjunto de α y el campo kg (t). (c) Dada la curva β(t) ≡ ( tan t , − log cos t ), −π/2 < t < π/2, halla sus direcciones conormales (respecto de Q) y aprovecha el resultado para dar una aplicación ψ(t, λ) que cumpla: ψ(t, 0) ≡ β(t) , Q β 0 (t) , ψλ (t, 0) ≡ 0 . Utiliza ψ para calcular el vector curvatura geodésica kg,β,Q (t). 2. Damos al plano R2xy el siguiente campo de formas cuadráticas, que depende del parámetro c: Q ≡ 2 + (cx + y)2 (dx)2 + 2 dxdy + (dy)2 . (a) Comprueba que para todo c el campo Q es una métrica de Riemann. (b) Dada la curva α(t) ≡ (t, −t), comprueba que la aplicación ϕ(t, λ) ≡ (t, λ − t) cumple las condiciones: ϕ(t, 0) ≡ α(t) y Q α0 (t), ϕλ (t, 0) ≡ 0. Utiliza ϕ para calcular el vector curvatura geodésica de α (respecto de Q). Determina el valor o valores que hay que dar a c para que α sea una lı́nea geodésica de Q. 3. Sea S una superficie y α ⊂ S una geodésica (para la primera forma fundamental). Demuestra que si α es plana y birregular como curva espacial entonces: (1) el plano afı́n que contiene a α corta perpendicularmente a S en cada punto de α, (2) α es un lı́nea de curvatura de S. Halla todas las geodésicas planas en superficies de revolución, distinguiendo dos casos: que sean birregulares o que no lo sean. 1 4. Sean S una superficie y α ⊂ S una geodésica (para la primera forma fundamental) tal que, como curva espacial, es birregular. Demuestra que se puede elegir la normal unitaria N de S de modo que coincida con nα en los puntos de α. Demuestra que {tα , bα } es una base de Tp S para cada p ∈ α. Calcula la matriz del endomorfismo de Weingarten W en esa base (Indicación: recuerda que la traza de W es −2H). Demuestra las siguientes identidades: kα ≡ II(tα ) , τα ≡ −II(tα , bα ) . 5. (hélices generalizadas). Sea γ(u) ≡ x(u), y(u) una curva plana parametrizada por longitud de arco. Consideramos el cilindro S formado por la rectas verticales que cortan a γ, que podemos parametrizar por Φ(u, v) ≡ x(u) , y(u) , v . Demuestra que las lı́neas geodésicas de este cilindro (para la primera forma fundamental) son las generatrices y las curvas dadas por αc,d (t) ≡ γ(t) , c t + d con c, d constantes cualesquiera. Para una curva espacial birregular α, demuestra que las condiciones siguientes son equivalentes: (a) Existe un cilindro en el que α es geodésica. (b) Existe una dirección fija en R3 con la que la tangente unitaria tα forma ángulo constante. (c) La tangente unitaria tα traza una circunferencia, o parte de ella. (d) El cociente τα /kα es constante. (Indicación: parametrizando por arco, y rotando la configuración para que la dirección fija de la condición (b) sea vertical, tenemos tα (s) ≡ a cos θ(s) , a sen θ(s) , b donde a, b son constantes con a2 + b2 = 1 y θ(s) es cierta función.) 2