HABILIDADES LOGICO MATEMATICAS para educacion derecho

HABILIDADES LOGICO
MATEMATICAS PARA
EDUCACION DERECHO
PSICOLOGIA
2013
1
INDICE
Presentación…………………………………………………………………………………..3
PRIMERA UNIDAD……………………………………………………………………………4
Sesión 1……………………………………………………………………………………..…5-16
Sesión 2………………………………………………………………………......................17-24
Sesión 3…………………………………………………………………………...................29-36
Sesión 4…………………………………………………………………………………….…37-54
Sesión 5………………….……………………………………………………………………55-69
Sesión 6: Práctica de repaso de la unidad……………………………………………...70-72
SEGUNDA UNIDAD…………………………………………………………………………73
Sesión 7……………………………………………………………………………………….74-107
Sesión 8……………………………………………………………………………………….108-118
Sesión 9……………………………………………………………………………………….119-132
Sesión 10……………………………………………………………………………………..133-136
Sesión 11: Práctica de Repaso de la Unidad………………………………………….137-139
TERCERA UNIDAD……………………………………………………………………….. 140
Sesión 12…………………………………………………………………………………….141-149
Sesión 13………………………………………………………………………………...…..150-157
Sesión 14………………………………………………………………………………........158-160
Sesión 15…………………………………………………………………………………….161-162
Sesión 16: Práctica de Repaso de la Unidad………………………………………….163-165
Bibliografía………………………………………………………………………………….166
2
PRESENTACIÓN
El presente módulo de Habilidades Lógico Matemáticas tiene como finalidad proporcionar
los fundamentos matemáticos para estudiantes de ciencias empresariales, ingenierías y
ciencias sociales, para que los estudiantes adquieran soltura en el manejo de estos
conceptos, que son herramientas comunes en los cursos que llevaran en ciclos superiores.
El objetivo de este material es
que la transmisión delos conocimientos básicos de
Habilidades Lógico Matemáticasdebe hacerse a través de situaciones aplicadasy
contextualizadas a las Ciencias empresariales, ingenierías y ciencias sociales, aumentando
el interés y la motivaciónpara así de esta manera comprender la necesidad de adquirir
dichos conocimientos.
En este material, cada concepto matemático es explicado y ejemplificado a través
desituaciones contextualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrará a
lolargo de su vida académica y profesional.
El módulo
contiene conceptos y ejemplos de lógica proposicional, teoría de conjuntos,
proporcionalidad, ecuaciones e inecuaciones, funciones reales, así como aplicación de los
conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos teniendo como soporte el
software matemático GEOGEBRA
para la visualización geométrica de conceptos en
concordancia con el enfoque pedagógico de Van Hiele.Cada tema contiene aplicaciones a
sus respectivas carreras, y una gran variedad de ejercicios y aplicaciones resueltas, al final
de cada tema contiene una lista de ejercicios propuestos al estudiante que tiene la misión
de analizar ejemplos concretos de la teoría revisada.
3
PRIMERA UNIDAD
I. COMPETENCIA: Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear
problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con
responsabilidad y actitud proactiva.
II. CAPACIDADES
1. Analiza y aplica los principios lógicos en su vida cotidiana.
2. Interpretar leyes y principios de lógica proposicional.
3. Discrimina inferencias y falacias en su quehacer cotidiano a partir del conocimiento de las
reglas y leyes lógicas.
4. construye y reduce circuitos lógicos.
5. Comprende la naturaleza de la lógica cuantificacional y la aplica en el análisis de casos y la
resolución de problemas.
6. Interpreta leyes y principios de Teoría de conjuntos
7.- Deduce el concepto el concepto de regla de tres y porcentajes.
SESIÓN 01
TEMÁTICA:
DEFINICIÓN Y OBJETO DE LA LÓGICA,CLASES DE PROPOSICIONES, CONECTIVOS LÓGICOS Y
TABLAS DE VERDAD.
SESIÓN 02
TEMÁTICA:
EQUIVALENCIA E IMPLICACIONES NOTABLES.
SESIÓN 03
TEMÁTICA:
CIRCUITOS Y CUANTIFICADORES LÓGICOS
SESIÓN 04
TEMÁTICA:
TEORIA DE CONJUNTOS,OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS, PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS.
SESIÓN 05
TEMÁTICA:
RAZONES Y PROPORCIONES, MAGNITUDES PROPORCIONALES, REGLA DE TRES Y
PORCENTAJES.
SESIÓN 06
TEMÁTICA: EVALUACIÓN DE UNIDAD.
4
SESIÓN 01: Presentación y consenso del silabo. Prueba diagnóstica. Lógica, clases
de proposiciones, conectivos lógicos y Tablas de verdad.
LÓGICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIÓN
Lógica clásica
La lógica como ciencia empieza de la mano de Aristóteles (s IV a. C.), el cual decía que la
lógica es la ciencia de las ideas y de los procesos de la mente y que la lógica es una
introducción al saber general, porque constituye como un instrumento de todas las ciencias.
Posteriormente los estoicos ampliaron el campo de la lógica teniendo en cuenta otras
formas de razonamiento. Ellos llaman a la lógica dialéctica, la cual formaba parte de un
trívium formado por la gramática, la retórica y la dialéctica. Desde el siglo XVIII Kant y Hegel
tratan también el concepto de lógica.
Lógica moderna o simbólica
Comienza en el siglo XIX y en sus orígenes es obra de matemáticos que advirtieron la
estrecha relación ente las dos disciplinas formales: la lógica y la matemática. Esta lógica
usa signos similares a los matemáticos para simbolizar esquemas, conjunciones,
negaciones, partículas condicionales…
Sus autores fueron Ramón Llull, Leibniz, que pensaba que se podía crear un lenguaje
simbólico perfecto. G. Boole y A. De Morgan intentaron expresar, mediante un lenguaje
matemático, expresar la forma de los razonamientos válidos.
Lo más importante de la lógica simbólica es sus múltiples símbolos especiales que le
permiten liberarse de los lenguajes naturales y hacen que se acerque al lenguaje
matemático.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Aristóteles
Filósofo griego, considerado el más influyente en la filosofía occidental.
En la lógica, Aristóteles desarrolló reglas para el razonamiento encadenado, llamadas reglas
de validez, que dicen que no se producen nunca falsas conclusiones si la reflexión parte de
premisas verdaderas. Empezó con silogismos, y su ejemplo más famoso es el de:
“todos los humanos son mortales”
“todos los griegos son humanos”, luego
“todos los griegos son mortales”
5
El distinguía entre dialéctica y analítica. Para él la dialéctica solo comprueba las opiniones
por su consistencia lógica, y la analítica trabaja de forma deductiva a partir de principios que
descansan sobre la experiencia y una observación precisa.
LÓGICA PROPOSICIONAL
DEFINICION 0.1 (Enunciado).Es toda oración o frase que expresealguna idea, a través de
afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.
DEFINICION 0.2 (Enunciado Abierto). Es aquel enunciado que contiene variables o letras,
pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso
DEFINICION 0.3 (ProposiciónLógica). Una proposición es un enunciado cuya propiedad
fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez.
Ejercicios: De las siguientes expresiones, indicarcuáles son proposiciones lógicas, justificar
1. 4+9=20
2. x es el presidente del Perú.
3. 23 es un número primo.
4. Todo número entero es positivo.
5. ¿Qué edad tienes?
6. 123636369 es un número divisible por 3.
7. !Cierra la puerta!
8. 3x + 5 = 9
Para poder entender mejor, presentamos el siguiente cuadro con algunos casos cuando las
expresiones son proposiciones:
Son proposiciones
No son proposiciones















Enunciados aseverativos
Leyes científicas
Fórmulas matemáticas
Formulas lógicas
Enunciados cerrados
Personajes o hechos literarios
Supersticiones
Dudas, suplicas, deseos, órdenes.
Refranes, proverbios
Enunciados abiertos
Creencias religiosas
Enunciados interrogativos
Apreciaciones personales
Personajes ficticios
Absurdos
Ejercicio 1. Determina cuáles de las siguientes frases son proposiciones:
a) ¿Puedes bajar al garaje?
b) La casa de Javier es muy bonita y soleada.
c) Si el perro ladra entonces molestará a los vecinos.
d) ¡Pero quédate quieto que me mareas!
6
e) ¿Me puedes ayudar a salir del coche?
f) Buenas noches
g) 2 + 2 = 5
DEFINICION 0.4 (Valor de verdad).Si p es una proposición, su valor
V (p) = V si el valor de p es verdadero y
V (p) = F si el valor de p es falso.
Clases de proposiciones
Ahora conoceremos las clases de proposiciones:
A) PROPOSICIONES ATÓMICAS O SIMPLES.
Son aquellas que tienen un sujeto y un predicado. Son las proposiciones que carecen del
término de enlace.
EJEMPLOS:
Chiclayo es la capital de la amistad.
El ángulo llano mide 180°.
B) PROPOSICIONES MOLECULARES O COMPUESTAS.
Resultan de unir dos o más proposiciones atómicas mediante un término de enlace
EJEMPLOS:
Las vitaminas y los minerales son esenciales para los seres humanos.
La proposición molecular ha sido construida por dos proposiciones atómicas y un término de
enlace, que en este caso es la “y”
OTROS EJEMPLOS:
120 es divisible por 3 y 5
Si Juan va al cine, es porque tiene dinero
María es soltera o bien casada
DEFINICION 0.7 (ConectivosLógicos).Los conectivos lógicos son símbolos que sirven
para relacionar o para juntar proposiciones atómicas (simples), y formar proposiciones
moleculares (compuestas).
7
En otros términos son signos que representanpalabras y que son usados para relacionar
proposiciones. Tenemos:
NEGACION: ( )
Dada una proposición p verdadera, su negación es p es Falsa; y recíprocamente.
Ejemplo:
p: “El pollo ha aumentado el 15% en Lambayeque “
p: “El pollo no ha aumentado el 15% en Lambayeque”
p
V
F
p
F
V
CONJUNCIÓN:Es aquel conectivo que une dos proposiciones,
obligatoriamente a ambas. Se utiliza “y” como conectivo de conjunción.
incluyéndolas
La conjunción "y" se abrevia o representa con el símbolo "∧"
Consideremos la proposición
"dos es par y tres es impar
La cual está compuesta por las proposiciones simples "dos es par y "tres es impar",
conectadas por la palabra "y", que constituye el conectivo conjunción.
Si p y q son dos proposiciones, usaremos (p ∧q) para denotar la proposición "p y q".
Valores de verdad de la conjunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
Disyunción:Es aquel conectivo que une dos proposiciones ofreciendo una alternativa entre
una proposición o la otra, así como también ofrece la posibilidad que sean ambas.
La disyunción "o" se abrevia o representa por el símbolo "∨"
8
Consideremos la proposición
"dos es mayor que siete o siete es mayor que dos".
La proposición está compuesta por las proposiciones simples "dos es mayor que siete" y "
siete es mayor que dos", conectadas por la palabra "o", que constituye el conectivo de
disyunción.
Si p y q son dos proposiciones, "p o q" se representa por (p ∨q).
Valores de verdad de la disyunción:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
V
V
V
F
Disyunción Excluyente:Es la disyunción, pero su valor de verdad acepta una sola
proposición como verdadera.
No pueden ocurrir las dos proposiciones al mismo tiempo.
Ejemplo:
Me caso con Rosita o con Doris
Hoy a las 3 voy al Parque Arauco o al Alto Las Condes.
• Su notación es p
q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p q
F
V
V
F
Implicación o condicional:Es aquél conectivo en el que se establece una condición para
que se cumpla la otra proposición. Esta normalmente se establece como: “Si se cumple p,
entonces se cumple q”
Consideremos la proposición
"si dos es par entonces tres es impar".
La proposición está compuesta por las dos proposiciones simples "dos es par" y "tres es
impar", conectadas por las palabras "si..., entonces...", que constituyen el conectivo
implicación.
9
La implicancia o condición se representa por el símbolo (p → q) que representa "si p
entonces q".
Valores de verdad de la implicancia:
p
V
V
F
F
q
p
V
F
V
V
V
F
V
F
q
Bicondicional o doble implicancia:Es aquel conectivo de la forma “se cumple p si y
solamente si se cumple q”. Esto significa que también se cumple la situación inversa, es
decir que como se cumple q, también se cumple p.
Consideremos la proposición
"dos es mayor que siete si y sólo si siete es menor que dos".
La proposición está compuesta por las proposiciones simples "dos es mayor que siete" y "
siete es menor que dos", conectadas por las palabras "si y sólo si", que constituyen el
conectivo bicondicional.
Denotamos por (p ↔ q) a la proposición "p si y sólo si q".
Valores de verdad de la bicondicional:
p
V
V
F
F
q
p
V
F
F
V
V
F
V
F
q
Resumen de las Tablas de verdad
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
q
V
F
F
F
p
q
V
V
V
F
p →q
V
F
V
V
p↔q
V
F
F
V
p∆q
F
V
V
F
10
RESUMEN DE LOS PRINCIPALES CONECTIVOS LÓGICOS
CONECTIVA LÓGICA
OPERADO
R LÓGICO
EXPRESION EQUIVALENTE
No, jamás, nunca, tampoco (para P. Atómicas)
NEGACIÓN
No es cierto que, No se da el caso que, No ocurre
que, Es absurdo que, Es falso que, No es verdad
~
que, Es imposible que, Es inadmisible que, No es
posible que.
(Para P. Moleculares que afectan en su conjunto).
CONJUNCIÓN
Y ; e; pero; sin embargo; además; aunque; no
obstante; a pesar de; a la vez; aun; también; tanto;
igualmente
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
O; u; y/o; salvo que; excepto
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
o... o ... ; o bien ... o bien ...
CONDICIONAL
O
IMPLICACIÓN
BICONDICIONAL
que
;•
V
Δ
Si..., entonces...; Si... implica...; Si... por
consiguiente...; Si... luego...; Si... de manera que...;
Si... por lo tanto...; Si... porque...; Si..., dado que...; →
Si…puesto que…; Si…ya que…; Si…cada vez
que….
... si y sólo si...;... es equivalente...;... siempre que y
sólo cuando...;... se define como...;... si de la ↔ ; ≡
forma...;... es idéntico...;
DEFINICION 0.8 (Signos de agrupación).Los signos de agrupación (), [], {} se usan en
lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicosmáscomplejos. Otra finalidad de estos
signos es darles mayor o menor jerarquía alos operadores
Ejercicios: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. El día tiene 24 horas y una hora 3600 segundos
2. 10 es múltiplo de 3 y 30 es divisor de 600
3. (5²>33) ↔ (5-9=-4 Λ -2²= (-2)²)
4. (00=1 →
)∆(
↔
)
11
) Λ (-10=1)
5. (
DEFINICION 0.9 (FórmulaLógica).Es una combinación de variables proposicionales y
operadores lógicos .Se evalúa mediante tablas de verdad. Lasfórmulaslógicas o esquemas
moleculares, seevalúan mediante tablas de Valores de verdad, elnúmero de valores de
verdad queda determinado por 2n, donde n es el número de proposiciones.
Si al evaluar una fórmulalógica resulta que todos los valores de verdad de suoperador
principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA. Si estos valores son falsos,
es una CONTRADICCIÓN .Y si es una combinación entre valores verdaderos y falsos,
entonces se tieneuna CONTINGENCIA.
Ejercicios: Establecer la tautología, lacontradicción y la contingencia de lassiguientes
proposiciones:
1.
2.
3.
4.
5.
(p→ q) → [(p ~ q)→ (p Λ q)]
(~ p → ~ q) Λ (p → q)
[(~p Λ q)→(r Λ ~ r)] Λ ~ q
(p→ r)→[(p q) Λ ~ q]
(p ↔ q)Λ ~(p ∆ r)
ESQUEMAS MOLECULARES:Es la combinación de variables y conectivos lógicos
debidamente jerarquizados, se simbolizan mediante
variables que son las letras
mayúsculas a partir de A, B, C,…
Ejemplos:
A=p
B = (p
q)
(q
[r ↔ (q
r)
s)]
C = ~ (p ~ q)
[(p r) ↔ (q
s)]
A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado
con conectores lógicos.
Ejercicios Resueltos:
1. Usando símbolos matemáticos conocidos y símbolos para los conectivos, podemos
expresar las siguientes proposiciones:
(a) " Si dos es par entonces tres es impar (2 es par → 3 es impar).
(b) "No es verdad que dos es par o impar". (2 es par ∨2 es impar).
(c) "Si no es verdad que cinco es menor que siete entonces cinco es mayor que siete o
cinco es igual que siete”.
12
2. Usando además los siguientes símbolos:
Podemos expresar:
(a) " Si dos es par entonces tres es impar".
(p→q).
(b) "No es verdad que dos es par o tres es impar".
(p ∨q).
(c) "Si no es verdad que cinco es menor que siete entonces cinco es mayor que siete o
cinco es igual que siete".
( r→ (s ∨t))
3. Siempre que salga el sol entonces iremos a la playa, sin embargo sale el sol.
Por lo tanto iremos a la playa.
Tenemos las proposiciones:
p: “Sale el sol”
q: “Iremos a la playa”
Se simboliza: (p
q)
p
q
4. La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos pero los analistas en
economía buscan soluciones, a pesar de que la crisis mundial no afecta a los países de
bajos recursos.
Tenemos las proposiciones:
p: “La crisis mundial afecta a los países de bajos recursos económicos”
q: “Los analistas en economía buscan soluciones”
p: “La crisis mundial no afecta a los países de bajos recursos económicos”
Se simboliza:
(p q)
p
13
Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica.
Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin
dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”
Donde:
p: “Pago la luz”
q: “Me cortarán la corriente eléctrica”
r: “Me quedaré sin dinero”
s: “Pediré prestado”
t: “Pagar la deuda”
w: “soy desorganizado”
Entonces:
(p → q)
[p → (r s)]
[(r s) → t] ↔ w
Cálculo de valores de verdad de fórmulas lógicas
Utilizando los conectivos lógicos estudiados, se pueden combinar cualquier número finito de
fórmulas lógicas para obtener el valor de verdad de otras expresiones más complejas.
Tener en cuenta que el número de combinaciones de valores de verdad de una proposición,
está supeditado al número de variables o proposiciones simples que intervienen. Para esto
basta aplicar la fórmula:
, donde “n” indica el número de variables que hay en la
proposición compuesta.
Haciendo uso de este hecho veamos los valores de verdad de las proposiciones dadas en
los ejemplos anteriores.
EJEMPLO: Se simboliza: (p
q)
p
q
La tabla de verdad para el esquema molecular, está dado por:
p
q
(p
q)
p
q
V V
V
V
V
V
V
V F
F
F
V V
F
F V
V
F
F V
V
F F
V
F
F V
F
14
Luego el razonamiento es válido y se conoce con el nombre de TAUTOLOGIA.
EJEMPLO: Se simboliza:
(p q)
p
La tabla de verdad para el esquema molecular, está dado por:
p
q
(p
q)
p
V V
V
F F
V F
F
F F
F V
F
F V
F F
F
F V
Luego el razonamiento es no válido y se conoce con el nombre de FALACIA.
EJEMPLO: Se simboliza
(p → q)
[p → (r s)]
[(r s) → t] ↔ w
Y como vemos hay 6 proposiciones y determinar la validez a través de tablas de verdad
sería muy tedioso, para evitar este tedioso trabajo haremos uso de la INFERENCIA sobre
la cual retornaremos más adelante.
Tautologías, contradicciones y contingencias:
Una expresión proposicional se llama Tautología, si los valores de su
tabla de verdad todos son verdaderos
Una expresión proposicional se llama Contradicción, si los valores de su
tabla de verdad, todos son falsos.
Una expresión proposicional se llama Contingencia, si los valores de su
tabla de verdad hay valores verdaderos y falsos
Ejercicio: Determinar si el siguiente esquema es tautológico, consistente o contradictorio.
[~ (p
q)
(~ q
~ p)] p
Definición de Equivalencia Lógica: Decimos que dos expresiones lógicas son
equivalentes si y sólo si tienen siempre los mismos valores de verdad. Es decir, A es
lógicamente equivalente a B, si la compuesta A B es una tautología.
La equivalencia, la simbolizamos por “ ” o también por “
”
Ejemplos:
a) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes:
p
q
p
q
15
Solución:
p
q
p
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
q
p
q
Por tanto se observa que los dos esquemas son equivalentes, es decir:
p
q
p
q
b) Demostrar si los siguientes esquemas moleculares son equivalentes:
p
q
(p q)
Solución: Se tiene la siguiente tabla:
p
q
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
p
q
(p
q)
Por lo tanto los dos esquemas son equivalentes, es decir: p
q
(p
q)
16
Sesión 2: Leyes de la equivalencia lógica. Inferencias y Leyes de la inferencia
Leyes de la Equivalencia Lógica
Estas leyes tienen como conectivo principal una bicondicional lo cual nos indica que los
enunciados enlazados son lógicamente equivalentes. Las leyes de equivalencia más
conocidas son:
A). Ley de la Doble Negación:
( p)
p
B). Ley de Idempotencia de la Conjunción y la Disyunción:
p
p
p
p
p
p
p
q
q
p
p
q
q
p
C. Leyes Conmutativas:
p
q
q
p
(p
q)
r
p
(q
r)
(p
q)
r
p
(q
r)
D). Leyes Asociativas:
(p
q)
r
p
(q
r)
E). Leyes Distributivas:
p (q
r)
(p
q)
(p
r)
p
(q
r)
(p
q)
(p
r)
p
(q
r)
(p
q)
(p
r)
p
(q
r)
(p
q)
(p
r)
F). Leyes de Identidad:
p V
p
p
F
p
p F
F
p
V
V
G). Leyes de D`Morgan:
(p
q)
( p
q)
(p
q)
( p
q)
17
H). Leyes de la Absorción:
p
(p
q)
p
p
( p
q)
p
(p
q)
p
p ( p
q)
p q
p
q
p
p
q
I). Leyes del Condicional:
(p
q)
q
p
q
J). Leyes del Bicondicional:
p
q
(p
q)
(q
p
q
(p
q)
( p
p)
q)
(p
q)
K). Leyes de Contraposición:
p
q
q
p
p
q
q
p
(p
q)
r
p
p
V
p
p
F
q
(p
L). Leyes de Exportación:
p
(q
r)
M). Ley del Tercio Excluido:
N). Ley de la Contradicción:
O). Reducción al Absurdo:
p
q)
F
Observación:
Estas leyes pueden ser empleadas para verificar la equivalencia entre esquemas
moleculares o también para simplificar un esquema molecular relativamente complejo a uno
más pequeño o reducido. Y para simplificar es necesario transformar los conectivos a
disyunción o conjunción, ya que se hace más fácil trabajar.
18
Ejemplos:
a) Simplificar:
(p
q)
( q
p)]
p
Tenemos:
( p
q)
( q p)]
p
q)
( q p)] p
(
{p
q
( q
(p
q)
p
p
(p
p)
p
Condicional
Morgan
p
Doble negación
Absorción
q)
Conmutativa
p
Luego:
(p
Absorción
q)
( q
p)]
p
p
b) Simplificar el esquema: (p
q)
( p
p
q)
q)
Tenemos:
(p
q)
( p
(p
q)
( p
( p
q)
(
( p
q)
(p
(p
q)
(p
q)
Por lo tanto: (p
(p
q)]
(
q)]
(p
p
q)]
q)]
q)
Bicondicional y condicional
q)
(p
Morgan
q)
Morgan
(p
q)
Doble negación
( p
q)
Conmutativa
Absorción
q)
( p
q)
(p
q)
19
INFERENCIA
Regla de la Inferencia: Diremos que la proposición se infiere de las proposiciones
si es verdad, cuando todas las
lo sean: es decir
cuando:
Es decir que el razonamiento
Sea verdadero.
A las
se les llama PREMISAS y a
se le llama CONCLUSION.
Para probar la validez o invalidez de los argumentos se hace a través de las tablas de
verdad o empleando en método abreviado que consiste en suponer la conjunción de
premisas verdaderas y la conclusión falsa.
Ejemplo: Probar si el siguiente argumento es válido: ~p
(p q)
q
Demostración:
Tenemos:
~p
(p q)
V
q
F
Es decir:
q es falso, V(q) = F
~p (p q) = V, entonces: ~p es verdadera y (p q) es verdadera por definición de la
conjunción.
Si ~p es verdadera, entonces p es falsa por la ley de la negación, V(p) = F
Como: (p q) = V
V (p) = F y V (q) = F al reemplazar estor valores en (p q) = V se llega a una
contradicción y por esta razón se dice que el argumento es válido.
Leyes de Implicación
20
Son aquellas proposiciones compuestas donde un antecedente implica
tautológicamente a un consecuente. Leyes de las implicaciones lógicas más comunes son:
A. Ley modus PonendoPonens: Se presenta de las formas siguientes:
p
q
o también:
(p
q)
p
q
p
q
Si se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del
consecuente.
Ejemplo:
Si en verano hay concurrencia a las playas, entonces hay equipo de salvavidas. En verano
hay concurrencia a las playas. Luego:Hay equipo de salvavidas.
B. Ley Modus Tollendo Tollens: Se representa por:
p
q
o también:
(p
q)
~q
~p
~q
~p
Si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en la negación del
antecedente.
Ejemplo:
Tú eres un excelente Ingeniero Tele informático si trabajas como gerente en Telefónica. Tú
no eres un excelente administrador. Por lo tanto: No es cierto que trabajes como gerente
en Telefónica.
C. Ley del Silogismo Disyuntivo: Se representa por:
p
q
o también:
(p
q)
~p
q
~p
q
Si se niega uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la formación de
la otra premisa.
21
Ejemplo:
La UCV se encuentra ubicada en el norte del Perú o en todo caso al sur de Chile. La UCV
no se encuentra al sur de Chile .Por lo tanto: La UCV se encuentra ubicada en el norte del
Perú.
D. Ley del Silogismo Hipotético: Se representa por:
p
q
q
r
p
r
o también:
(p
q)
(q
Si p
q es verdadero y q r es verdadera, entonces p
que el condicional es transitivo.
r)
p
r
r es verdadero. Esta ley indica
Ejemplo:
La crisis financiera mundial está afectando las economías de los países industrializados es
suficiente para que haya despidos de personal en las grandes empresas productoras de
artefactos eléctricos. Estados Unidos tendrá una economía estable si hay despidos de
personal en las grandes empresas productoras de artefactos eléctricos. Por consiguiente:
Estados Unidos tendrá una economía estable en vista que La crisis financiera
mundial está afectando las economías de los países industrializados.
E.Ley de la Conjunción: Se representa por:
p
o también:
p: q
p
q
q
p
q
Ejemplo:
La UPAO está en el departamento de La Libertad.
La UCV está en el departamento de Lambayeque.
Por lo tanto: La UPAO está en el departamento de La Libertad sin embargo La UCV está
en el departamento de Lambayeque.
F. Ley de la Adición: Se representa por:
p
o también:
p
p
q
________
p
q
22
Ejemplo:
Hago mucho deporte.
Por consiguiente: Hago mucho deporte o estoy cansado
G. Ley de la Simplificación: Se representa por:
p
q
o también:
p
q
p
_______
p
De una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus componentes.
Ejemplo:
La Tierra es plana, pero la Luna no es verde.
Por lo tanto: La Tierra es plana.
H. Ley del Dilema Constructivo: Se representa por:
p
q
r
s
p
r
q
s
o también:
(p
q)
(r
s)
(p
r)
q
s
Si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los dos antecedentes disyuntivamente,
se puede concluir en la afirmación disyuntiva de los consecuentes.
Ejemplo:
Si Paola estudia entonces ingresará a la UCV. Si Paola trabaja entonces ganará dinero
suficiente para ser feliz. Pero, Paola estudia o trabaja. Luego: Paola ingresará a la UCV o
ganará dinero suficiente para ser feliz. Luego: Paola no estudia o no trabaja.
J. Ley del Absurdo: Se representa por:
p
(q
~q)
o también:
p
(q
~q)
o también:
~p
(q
~q)
~p
~p
~p
(q
~q)
p
p
23
Ejemplo:
Si Carlos de España es el rey, entonces es el que gobierna pero sin embargo no gobierna.
Luego: Carlos de España no es el rey.
Ejercicios
Determina las conclusiones correctas de las proposiciones siguientes:
a) Como Barack Obama tiene ascendencia Keniana es evidente que es afroamericano.
Barack
Obama
tiene
ascendencia
Keniana.
Por
lo
tanto:
…………………………………………………………………………………………………………
…
b) Salvo que no diga la verdad, soy honesto. Más si fuese el caso que dejé de ser honesto.
Concluiríamos:
…………………………………………………………………………………………….
c) Si Gilberto es compositor exitoso obtiene grandes regalías. Al obtener grandes regalías
tiene
mucho
dinero.
En
consecuencia:
……………………………………………………………………………………………..
d) Si Dios existe, no es cierto que el mal exista. Pero existe el mal en el mundo. Luego:
…………………………………………………………………………………………………
24
Ejercicios de Reforzamiento
1. En la tabla siguiente, identifica cuales son proposiciones, y las que sean asignarle
su valor de verdad:
P: Proposición
V/F: Verdadero/Falso
NP: No es proposición
Nº
EXPRESIONES/ORACIONES
1
La carrera profesional de contabilidad se organiza en
siete ciclos
2
¡Oh que hermosa es Melissa!
3
La constitución política es la ley de leyes
4
El filósofo Aristóteles nació en Grecia
5
Las plantas sin agua no pueden vivir
6
Cinco más tres es mayor que seis
7
¡Por fin terminé mi tarea!
8
Dime con quién andas y te diré quién eres
9
El socialismo y el comunismo son modelos económicos
10
Los profesores y los médicos son profesionales
11
2X + 20 = 20
12
Los leones son herbívoros
13
600 mil traducido en inglés es Sixtytundredthousand
14
Picsi es un distrito de la provincia Chiclayo
15
3X + 5 = 3 – 4x , si X = -3
16
La cordillera del Cóndor es peruano
17
¿Perderé mi empleo?
18
El agua hierve a 100° C
19
Nuestro héroe nacional Miguel Grau Seminario nació en
Piura
20
El cuadrado de todo número par también es par
P/N
P
V/F
25
2. Simbolice cada una de las siguientes proposiciones:
a. La producción minera crece, si y sólo si los salarios son altos y hay inversión de
capitales. Ocurre que la producción minera no crece. Luego, o los salarios no son
altos o no hay inversión de capitales.
b. Si el aeroplano tiene suficiente gasolina entonces llegara al mediodía.
c. El primer productor de cobre en Sudamérica no limita con Ecuador.
d. Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero.
e. No es el caso que Brasil o México pertenezcan al Pacto Andino.
f. Ni Ecuador ni Bolivia son productores de algodón.
g. Se hubiera impedido el asalto al banco si la alarma hubiera sonado oportunamente.
h. Julissa conseguirá un ascenso como administradora a menos que pierda la entrevista
con el gerente.
i. Cuando el cielo no está nublado, silba el viento y los pajarillos cantan.
j. Tendremos muchas flores en el jardín, si la estación es propicia y las semillas no
están malogradas.
k. Cuando la luna brillaba una noche en primavera, Gustavo escribió un poema, sin
embargo el poema de Gustavo no es romántico.
l. No es el caso que haya control de precios o los combustibles se encarezcan.
m. Subirá el precio del pan porque subió el precio de la gasolina, en vista de que si subió
el precio de la gasolina, el gobierno no puede controlar la inflación.
n. Aunque el dólar no suba de precio, la moneda peruana se devalúa; sin embargo,
aunque la moneda peruana no se devalúa, los artículos de primera necesidad suben
de precio.
o. Tanto la democracia popular como la economía liberal, conducen a un gobierno
capitalista, a menos que se prohíban las importaciones.
p. Aprobaron en el congreso una ley sobre aranceles luego de que intervino el Ministro
de Economía, en vista de que si no se aprobaba una ley sobre aranceles, no se
podían reajustar los impuestos a la exportación.
q. Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche
en mi casa, entonces no ahorro.
r. “El día está lluvioso y el auto es nuevo”
s. “El triángulo es equilátero sí y sólo sí es equiángulo”
t. Si los ríos aumentan de caudal, o hay lluvias en la sierra o hay deshielos en la
cordillera.
u. No es el caso que no haya lluvias en la sierra o no haya deshielos en la cordillera,
puesto que los ríos aumentan de caudal.
v. No es el caso que los felinos sean fáciles de cazar o las carabinas no sean armas de
largo alcance.
w. La producción minera crece, si y sólo si los salarios son altos y hay inversión de
capitales. Ocurre que la producción minera no crece. Luego, o los salarios no son
altos o no hay inversión de capitales.
26
3. Construye la tabla de verdad para cada una de los siguientes esquemas
moleculares, y determina si es: tautología, contradicción o contingencia.
a) (p V q) ↔ (q ↔ p)
b) [p Λ (q V r)] ↔ [(p Λ q) V (p Λ r)]
c) [p → (q V r)] ↔ [(p → q) V (p → r)]
d) (p q)
(p q)
(p
q) (q
e)
p
(q
r)
f) (p q)
( p
g)
(p
q)
h) ~[~(p
(p
q (p
q)
r)
(p
p)
q)
r
q)
q)
~ q]
p
4. A continuación se presenta una serie de ejercicios en la cual se especifica lo
siguiente:
a) Si p es una proposición falsa, determinar el valor de verdad de:
(p
r) r
( q p)
(p q)
b) Si (p
a) p
q
b) r s
c) r
s
d) (p q)
s)
(r
s)
c) Si (p
a) (r p)
b) r s
c) r
q
( s
q))
(q s)
(q
s) es Falsa. Determine los valores de verdad de:
r
(r
q) es verdadera. Determine los valores de verdad de:
d) Determinar el valor de verdad de la proposición molecular [(p q)
p]
(r
p)
sabiendo que p es verdadera, q y r falsas. Hallar su valor de verdad.
e) Demostrar que en cada uno de los casos siguientes si los esquemas
moleculares son equivalentes:
1. P: ~(p
[p
q) (q
(p
~r) es equivalente a:
~ r)] ~q
2. [(~ p
q)
(~ q
r)]
3. ~(p
q)
(~p
q)
(p
r)
27
4. ~ [(p
5. ~ [ ~(p
q)
q)
r]
[~(p
r)
~(q
(~q)]
(p
q)
r)]
f) Simplificar cada una de las siguientes Proposiciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
g) Determina la conclusión de las afirmaciones y demuestra si son válidos o no.
1. Si digo siempre la verdad, los demás confían en mí. Y si los demás confían en mí, me
siento seguro e independiente. Cuando me siento seguro e independiente, soy capaz
de afrontar cualquier problema.Como yo digo siempre la verdad. Luego:
…………………………………………………………………………………………………
2. Si fueras un mandarín de la China, vivirías con lujo y no tendrías que trabajar. Y si
vivieses de esa manera, te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo o alimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio.Como no es el caso que te
distraigas con tales cosas. Por lo tanto:
…………………………………………………………………………………………………
3. El crimen se cometió de noche en la más absoluta oscuridad o el principal
sospechoso es ciego.Pero, el principal sospechoso no es ciego o miente al declarar
que no vio nada.Pero, no miente o el detector de mentiras "Zopilotz" está estropeado.El caso es que el citado detector es infalible (no puede estar estropeado
jamás).por lo tanto:
……………………………………………………………………………………………………
4. Todo estaría permitido, si las leyes no existen. Si las leyes no existen, no habrían
normas morales. Es así que hay normas morales. Por lo tanto:
……………………………………………………………………………………………………
5. No es verdad que estudies y trabajas. Si quieres conseguir dinero entonces trabajas.
Luego: …………………………………………………………………………………………
28
SESIÓN 3: Circuitos lógicos y cuantificadores lógicos.
Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan
posiciones lógicas.
Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo
Conexión en serie
Una conexión en serie se asocia con la conjunción:
Una conexión en paralelo se asocia con la disyunción:
PRÁCTICA DE CIRCUITOS LÓGICOS
1. Determinar la menor expresión que representa la circuito dado:
29
2. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas moleculares:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados:
4.A un electricista se le da el diagrama del circuito siguiente:
El quiere hacer una instalación lo más económica posible y que sea equivalente al original.
Si cada interruptor cuesta $ 1.20 y no teniendo en cuenta el alambre, cuánto le costó la
instalación y cuánto se ahorró.
5. Demostrar que son equivalentes los circuitos A, B y C.
6. Demostrar que los circuitos son equivalentes a p
q.
30
7. Construir el circuito más simple correspondiente al circuito:
8. Hallar el resultado de conectar en paralelo los siguientes circuitos:
9. El costo de cada llave en la instalación del circuito siguiente es de $ 15. ¿En cuánto se
reducirá el costo de instalación si se reemplaza dicho circuito por el más simple
10. Construir el circuito lógico más simple equivalente al circuito:
31
Cuantificadores Lógicos
Frecuentemente las proposiciones abiertas se utilizan con ciertas expresiones llamadas
cuantificadores, con los cuales se determina el valor de verdad de la proposición resultante.
Los siguientes serán los cuantificadores que usaremos:
1. Cuantificador universal, para todo x, representado simbólicamente por ∀x.
2. Cuantificador existencial, para algún x, representado simbólicamente por ∃x.
3. Cuantificador de existencia y unicidad, existe un único x, representado simbólicamente
por ∃!x.
Observación 1. La frase “para cada x” se usa en el mismo sentido que la frase “para todo x”.
Observación 2. Si una propiedad es compartida por todos los elementos de un conjunto B,
escribiremos:
“Todo x en B tiene la propiedad P”, Simbólicamente, ∀x ∈ C, P (x)
Observación 3. Si una propiedad es compartida por uno o varios elementos de un conjunto
C, escribiremos:
“Algún x en C tiene la propiedad P”, Simbólicamente, ∃x ∈ C, P (x)
Ejemplo 1.
Es una proposición verdadera.
Ejemplo 2. Para todo x existe algún y tal que x + y = 0, simbólicamente esta proposición es
Esta proposición es verdadera, ya que dado x arbitrario tomamos y = −x.
Observación 3. Hay que tener cuidado con expresiones del tipo (∀x) (∃y) y (∃y) (∀x) las
cuales no tienen el mismo significado. Por ejemplo si H representa los seres humanos,
podríamos decir:
Para todo x ∈ H existe y ∈ H tal que y es la madre de x. Simbólicamente se representa por
(∀x ∈ H) (∃y ∈ H)(y = m(x))
Ahora estudiemos la proposición
Existe y ∈ H tal que para todo x ∈ H, y es la madre x. Simbólicamente se representa por
(∃y ∈ H) (∀x ∈ H) (y = m(x))
Observemos que la primera proposición es cierta mientras que la segunda es falsa.
Observación 4. La negación de la proposición “Todo x en B tiene la propiedad P”,
Simbólicamente∼ (∀x ∈ C, P (x)), es “Existe algún x en B que no tiene la propiedad P”,
32
Simbólicamente, ∃x ∈ C, ∼ P (x).
Observación 5. La negación de la proposición “Existe x en C tiene la propiedad P”,
Simbólicamente∼ (∃x ∈ C, P (x)), es “Para todo x en C, x que no tiene la propiedad P”,
Simbólicamente, ∀x ∈ C, ∼ P (x).
Por ejemplo, las negaciones de las siguientes proposiciones son:
Todos los hombres son mortales. Su negación es Algún hombre es inmortal.
Algún hombre es inmortal Su negación es Todos los hombres son mortales.
Práctica de Cuantificadores
1. Dado el conjunto universal U = {x / x es un número. dígito} y las funciones
proposicionales:
a) p (x): x 9
b) q (x): x > 9
c) r (x): x < 7
Encontrar el conjunto de verdad correspondiente a cada función proposicional.
¿Se puede encontrar proposiciones falsas para algún valor del Universal?
Cuantificar cada función para que resulte una proposición V.
i.
ii.
iii.
2. Escriba en forma simbólica las siguientes estructuras lógicas, usando cuantificadores
e identificando las funciones proposicionales que intervienen.
i.
Algunos comerciantes expenden bebidas alcohólicas después de las 23 hs
ii.
Algunas fábricas no pueden competir con las importadoras o siempre arrojan
pérdidas.
iii.
Ningún comestible ha bajado de precio y alguno no se consigue.
iv.
No todos los estudiantes tienen un método de estudio. Por lo tanto algunos
estudiantes no obtienen buenos resultados.
3. Si
, establecer el valor de verdad o falsedad de
cada una de las siguientes proposiciones:
a)
c)
b)
d)
4. Sea
enunciado:
a)
b)
el conjunto universo. Determine el valor de verdad de cada
33
c)
d)
5. Determine el valor de verdad de las proposiciones en
a.
b.
c.
34
PRÁCTICA DE REPASO
1. Indicar cuales de los siguientes enunciados son proposiciones:
¡Viva el Perú!
Él estátrabajando en la RENIEC.
¿Cuál es el nombre del ministro de Educación?
Machu Picchu es una de las siete maravillas del mundo.
xes el presidente del Perú.
Trujillo es la ciudad de las flores.
x + y <9
Existe un premio Nobel en matemática.
La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
2. Utilizando variables y conectivos simbolizar en forma lógica las siguientes
proposiciones:
Si no estudio con empeño entonces desaprobaré la asignatura.
Katy ésta fatigada puesto que dio cinco vueltas al estadio.
Los soldados vencieron en el campo de batalla, pero no ganaron laguerra. Luego si no
vencieron en la batalla, no ganaron la guerra.
O la matemáticas es una ciencia formal y la lógicatambién, o mimemoria está fallando.
Carlos va a trabajar en auto, o en bicicleta y tren.
Si el clima es malo o muchos están enfermos, la fiesta no se hará.
Carmen estudia los poliedros y Luis no es economista.
3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
La independencia del Perú fue en 1821 y fue proclamada por Don José de San Martín.
Ricardo Palma nació en Lima además su obra cumbre fue Diamantes y Perlas".
O dos es múltiplo de veinte o quince es múltiplo de 150.
Los números racionales se pueden expresar como fracción
El estudiante de Medicina tiene que estudiar mucho o el estudiantede Ingeniería estudia
poco.
Si Julia estudia Medicina, entonces Julia estudia anatomía
No es cierto que el Razonamiento es importante para la medicinay la Anatomía es
importante para el estudiante de Medicina
4. Establezca el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(9<3) Λ (52 =10)
35
[(-1)2]>1 (23=8)
ϵR→(-1)2 =1
(15>7)↔(3<5)
5. Determinar mediante tablas de verdad cuáles de las siguientes proposiciones son
tautologías, contradicción o contingencia
a)
b)
c)
d)
~[(p Λ q) (p
~ q)]↔(p ~ q)
~(p → q)↔~[(~q)→(~p)]
[(~p Λ q)→ ~ r]↔[r Λ~(p ~ q)]
[(p Λ ~ q) Λ(~ p ↔ r)]→ (p ~ q)
6. Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:
a) (p Λ ~ q)→ (p → q)
b) [(~q ∆ p)Λ p]→(p q)
c) (~p ~ q) ↔~ r
d) [r (p Λ q)]→[ (~p ~ q) Λ ~ r]
7. Si se sabe que el esquema
(~ p Λ q) → (~ s r)
Es falso:
a) Hallar el valor de verdad de p; q; r; s
b) Hallar el valor de verdad de:
8. Si el esquema molecular
es falso.
Deduce el valor de verdad de las expresiones lógicas:
a)
b)
9. Si la proposición
Cuál es el valor de verdad de:
es verdadera
10. Dadas las proposiciones:
p: El 15 por ciento de 200 es 150.
q: Los tres cuartos de los tres quintos de 200 es 60
r: 50 por ciento es equivalente a la mitad de una cantidad .Determinar el valor de verdad de :
11. Establecer si los siguientes esquemas moleculares son tautologías, contradicciones o
contingencias.
36
Sesión 4: Teoría de conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría
de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las
matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta
tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en
los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de
conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la
comprensión de nuevos conceptos.
El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la
más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más
paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó
en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las
matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier
suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.
La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un
matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las
matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo
más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición
general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas,
pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas.
Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los
elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la
negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo.
LuitzBrouwer
Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no
estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba,
la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las
matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para
37
evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente.
Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead.
David Hilbert
La cuarta respuesta a la paradoja fue de Ernst Zermelo en 1908 con la axiomatización de la
teoría de conjuntos.
La mejor prueba de que la teoría de conjuntos no ha logrado unificar a las matemáticas es
que éstas se han ramificado en áreas muy diferenciadas, como la aritmética, el álgebra, la
trigonometría y geometría; también se han separados distintos campos como el cálculo, la
topología, la teoría de conjuntos, la teoría de los números y la estadística.
38
TEORIA DE CONJUNTOS
Definición 1 (Idea Intuitiva de conjunto). De manera intuitiva diremosque un conjunto es
una colección bien definida de objetos. A cada uno deestos objetos le denominamos
elemento del conjunto. Un conjunto se denotapor una letra mayúscula, sus elementos se
encierran entre llaves y se separanpor comas cuando el conjunto esta expresado por
extensión.
Determinación de conjuntos
1. Por extensión
Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de elementosla escribimos entre
llaves.
Ejemplos:
2. Por comprensión
Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos que están en el conjunto.
Ejemplos:
C ={x/x es un día de la semana}
Relación de pertenencia
Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice que este elementopertenece al
conjunto y se denota por( )
Elemento
Ejemplo:
A = {a, b, c}
conjunto
a A: “a pertenece al conjunto A”
: “m no pertenece a A”
Ejemplo:
Sea U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, el conjunto universal de referencia y sean A ={1,2} yB= {2, 4,
6, 8,10}. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) 1 ∈A
f) 1∈A ∨1∈B
b) 9 ∈A
g) 4∈A ∧4∈U
c) 9 ∈B
h) 3∈A → 8∈U
d) 9 ∉B
i) 3∉A → 8∈U
e) 2 ∉A
j) 4∈A ∨5∉U
39
Subconjunto
Es aquel que forma parte de otro. Se denota por( )y se lee: es subconjunto de lo está
contenido en. Un conjuntoA es subconjunto deB si y sólo si cadaelemento de A también es
elemento de B y se denota por:
A B “A esta incluido en B”
El conjunto vacíoes subconjunto de todo conjunto A.
La inclusión se da cuando todos y cada uno de los elementos de A pertenecen a B;
pudiendo o no tener más elementos aparte de estos.
A
B
[x
Ax
B]
* “Tener en cuenta que se trata de una relación entre conjuntos”.
B
Veamos gráficamente:
A
A
B
(Conjunto)
(Conjunto)
Ejemplos: Sean:
i) A = {x/x es un arequipeño} B = {y/y es un peruano}
A B: “A esta incluido en B”
ii) M = {2, 4, 6} N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
N
M: “N incluye o contiene a M”
iii) P = {a, b, c, d}Q= {f, g, h i, j}
P
Q: “P no está incluido en Q”
Q
P: “Q no está incluido en P”
Propiedades:
i) A
A
ii) Sí: A
iii)
ByB
C
A
C
A
Igualdad de Conjuntos
Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos y seescribe
A = B.
Ejemplo:
40
Sea A={1,2,3,4} y B={3,1,4,2}, entonces A=B, es decir {1,2,3,4}={3,1,4,2}, pues cada uno de
los elementos de A pertenecen a B y cada uno de los elementos de B pertenecen a A.
Obsérvese, por tanto, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos.
Diagrama de Ven Euler
Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el caso de la teoría de conjuntos
se usan diagramas de Ven-Euler. Se usan generalmente círculospara graficar los conjuntos
y un rectángulo para el conjunto universal.
Ej.: Si A = {2, 4, 7,9}
A
2
4
7
9
Es un diagrama de Venn-Euler
Cardinal de un conjunto
Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se denota por n(A)
Ejemplo:
Sea A = {x/x es una estación del año}
A = {primavera, verano, otoño, invierno}
n(A) = 4
RELACIONES CON CARDINALES
Para dos conjuntos cualesquiera A y B
–
.
–
.
–
.
.
.
Conjuntos especiales
1. Conjunto Universal (U)
Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos trabajando en un
problema particular. Se denota por: UEs muyimportante dejar claro cuál es el conjunto
universal, ya que eso determinará nuestro marco de referencia.
Observación: No existe un conjunto universal absoluto.
Ejemplo: Dados
A = {2, 6, 10, 12}
B ={x+3/ x es impar
0 < x < 10}
Podrían ser conjuntos universales:
41
U = {x/x
N
x < 13} U = {0, 2, 4, 6, …, 20}
2. Conjunto Vacío
Es aquel que carece de elementos. Se denota por Ø, { }
Ejemplo:
D= {x/x
N Λ x+5 =0}
D = Ø = {}
3. Conjuntos Disjuntos
Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común.
4. Conjunto Unitario
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo
A = {x/x
N
6 < x < 8}
A = {7}
5. Conjunto Potencia
El conjunto potencia de un conjunto A, es elconjunto formado por todos los subconjuntos de
A. Se denota por P(A)y el número de elementos de P(A) = 2n, donde n es el número
deelementos de A.
Ejemplo.: Sea A = {a, b, c} entonces los subconjuntos de A son:
OJO:
El conjunto vació
Entonces
es subconjunto de todo conjunto
Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:
6. Conjunto Finito
Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.
Ejemplos:
7. Conjunto Infinito
Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por ejemploel conjunto de números
reales.
42
Ejemplos:
Conjuntos Numéricos
Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se
encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números. De particular interés,
en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se denota por: .
Números reales, ℝ
Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar
por puntos de una línea recta. Como en la fig. 1, se elige un punto llamado origen, para
representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta así
de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales,
es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real viene
representado por un punto único. Llamado a esta recta la recta real, podrán emplearse uno
por otro los conceptos de punto y de número.
Los números a la derecha de 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números
positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados número negativos. el 0 mismo
no es ni positivo ni negativo.
Enteros,
Los enteros son los números reales
Se denotan los enteros por ℤ; así que se escribe
Propiedad importante de los enteros es que son “cerrados” respecto de las operaciones de
adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos
enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no
43
es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la operación
división.
Numeres Racionales,
Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros.
se denota el conjunto de los números racionales por , así que,
Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo,
ℤ es un subconjunto de
; por tanto,
.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición,
multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir,
que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es un
número racional nuevamente.
Números Naturales, ℕ
Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números
naturales por ℕ; así que:
Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba
primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores y
sistemas de números:
Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación
solamente, la diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un
número natural. Los números primos son los naturales , excluido el 1, que solo son
divisibles por 1 y por mismo.
He aquí los primos números primos:
Números irracionales,
Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los
números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales
en los
números reales ℝ; por eso se denotan los números irracionales por . Ejemplos de números
irracionales son
44
Representación Gráfica De Los Conjuntos Numéricos
PRÁCTICA DE CONJUNTOS
1. Expresar por extensión los siguientes conjuntos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
2. Dado el conjunto A= {2, 6, 7} determinar V ó F según convenga.
2
A
7 A
{6} A
45
{2, 7}
A
3. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:
A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10}
B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7}
C ={ x² + 3x + 2/x N, x < 4}
D ={(x4 + 2) / x Z, 2 < x < 5}
E ={ 4x² - 3/x Z, -5 , x < -1}
4. Dado el conjunto:
corresponda.
A = {5, {5}, 7, {5, 1}} Indicar verdadero (V) o falso (F) según
{5} A
{5, 7} A
{5, 1} A
{7} A
5. . ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de A? .Si A ={0, {1}, 1}
6. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7} ,B ={a +b , 10} y el conjunto unitario:
C ={a² - 1, 8}
Si A es primo Hallar A × B
7. Determinar por extensión los siguientes conjuntos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
-
8. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos.
a)
b)
c)
d)
9. Dado el conjunto:
y las proposiciones:








Indique el número de proposiciones verdaderas:
10. Coloque verdadero (V) o falso (F) dado el siguiente conjunto:
I.
IV.
46
V.
VI.
II.
III.
11. Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y AUB tiene 32 subconjuntos.
¿Cuántos subconjuntos tiene A B?
12. Si un conjunto tiene 2047 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho
subconjunto?
13. ¿Cuántos subconjuntos tiene la potencia del conjunto A, tal que:
?
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. Unión o Reunión (U): Dados 2 conjuntos A y B, se llama unión al conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos a la vez.
Notación: A U B = {x/x
Avx
B} .
Gráficamente:
B
A
A
B
C
A U B
B U C
C
A U C
Propiedades: Los más importantes son:
1) A U B = B U A
(conmutativa)
2) A U A = A (Idenpotente)
3) A U Ø = A
4) A U U = U;
U: universo
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A U B ={1, 2, 3, 4, 6, 7,. 8}
A = {1, 2, 3, 6} ,B = {2, 4, 6, 7, 8}
B U C ={2, 4, 6, 7, 8,}
y C = {4, 7, 8}
y
A U C = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
2. Intersección ( ∩ ): Dados los conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por
los elementos comunes a A y B
47
Notación:
A ∩B ={x/x
A
x
B}
.
Gráficamente
B
A
C
U
A
B
C
B
U
B
C
U
A
A
C
Propiedades:
i) A ∩ B = B ∩ A
ii) A ∩ A = A
iii) A ∩Ø = Ø
iv) A ∩ U = A; U: universo
Ejemplo: Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6}
B = {2, 4, 6, 7, 8}
A ∩B = {2, 6}
A
C = {4, 7, 8}
∩ C = {}
B ∩ C = {4, 7, 8}
3. Diferencia (-): Dados 2 conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto
formado por todos los elementos de A y que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a A.
Notación:
A - B = {x/x
A
x
B} .
Gráficamente:
B
-
A
B
C
B
C
-
B
A
C
A
-
A
C
Propiedades:
i) A - A = Ø
48
ii) A - Ø = A
iii) Ø - A = Ø
iv) A - B≠ B - A ; A≠ B
Ejemplos: Sean los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 7, 8}
A - B = {1, 3}
C = {4, 7, 8}
B - C = {2, 6}
A - C = {1, 2, 3, 6}
4. Diferencia Simétrica:
Dado dos conjuntos Ay B, la diferencia simétrica de A y B se definecomo:
A ∆ B = (A-B) U (B-A)
A ∆ B = (A U B)-(A ∩ B)
5. Complemento de un conjunto (C(A), A„):
Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del
conjunto A, a todos los elementos que estén fuera de A, pero dentro del universo.
Notación:
A„ ={x/x
U
x
Gráficamente:
A} .
U
A
A
Propiedades:
i) (A„) „= A
ii) Ø„= U
iii) U„= Ø
iv) A U A„= U
v) A ∩ A„= Ø
Ejemplo: Sean:
49
U = {1, 2, 3, ..., 7, 8}
A = {1, 3, 4, 7, 8} entonces A„= {2, 5, 6}
Nota: “Leyes de Morgan”
(A U B) „= A„∩ B„ .
(A ∩ B) „= A„U B„
Ejercicio resuelto
Sean los conjuntos:
A = {7; 8; 2; 3}
B = {2; 3; 9}
U = {2; 3; 4; 7; 8; 9}
Calcular:
I) A ∪ B
II) –
V)
VIII)
IV) –
VII)
III)
VI)
Resolución
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
A ∪ B = {2, 3, 7, 8, 9}
A ∩ B = {2, 3}
A – B = {7, 8}
B – A = {9}
A B = {7, 8, 9}
A' = {4, 9}
B' = {4, 7, 8}
(A B)´= {2, 3, 4}
50
Práctica de Teoría de Conjuntos
1. Ubicar las zonas Sombreadas
B
A
B
B
C
A
2
Dados los conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5,..., 10}
B = {5, 6, 8, 10}
C = {2, 3, 4, 5, 6}
D = {1, 2, 5, 8}
Hallar: (A ∩ B„) U (B U C)„
3. Sí: A = {x/x
N, 5 < x < 10}
B = {x/x
4. Sí: M = {x/x Z, -6 < x < -1} ,N = {-x/x
Hallar A ∩ B
n, 2 < x < 9}
Z, 2 < x < 8} , Q = {x/x
Hallar (M ∩ Q) – (N ∩ Q)
Z, x < 10}
A
B
5. ¿Qué operación representa la zona sombreada?
C
6. Si se sabe que A
B, además:
n(A ∩ B) = 6 ,n(B ∩ C) =20 , n(B) =28 ,
n(A - B) 13 , n(A U B) = 60
Hallar n(A); n [C-B]
7. Si: U = {x/x
A = {1, 3, 4, 5}
N, x < 10}, es universo;
B = {3, 5, 7, 9}
c = {x²/x
U}
Hallar: (A„∩ C)-B
8 .Dados los conjuntos A= {a, e, d}, B= {e, f, g} y C= {l, e, j, k}.
Hallar:
9. Consideremos los conjuntos siguientes:
.
Hallar:
a)
b)
10. Dados los conjuntos A= {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 4, 6, 8} y
51
Calcular:
a)
b)
d)
c)
11. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {1, 4, 6, 8} y
. Calcular:
a)
d)
b)
12. Si
c)
e)
,
Hallar:
a)
b)
c)
d)
13. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de
diciembre. Si 7 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta. ¿Cuántas mañanas
comió ambas cosas?
14. De 100 personas que leen por lo
menos 2 ó 3 diarios, notamos que 55 leen el
comercio y expreso, 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra. ¿Cuántas
personas leen los 3 diarios?
15. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. ¿Cuántos juegan
ambas cosas a la vez? Si cada alguno de estos juega por lo menos alguno de estos.
16. En la sección de 3 “B” hay 23 alumnos, de los cuales 10 gustan del curso de sociales y
16 gustan del curso de inglés, si todos gustan de al menos uno. ¿Cuántos gustan a la vez
de los 2?
17. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no
tienen ninguno de los 2 artefactos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora?
18. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 sólo van al cine, 18van al cine o al
teatro, pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambossitios?
19. De un grupo de 62 atletas, 25 lanzan bala; 36 lanzan jabalina y 30lanzan disco; 3 lanzan
los tres; 10 lanzan jabalina y disco; 15 disco ybala, 7 lanzan bala y jabalina. ¿Cuántos no
lanzan jabalina ni disco?
20. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradorescon conocimientos
de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés, 21 francés y 17
alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11 francés y alemán y 9
inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al concurso?
21. De un grupo de 30 televidentes encuestados, se sabe que a 14 de ellosno les gusta ver
el fútbol; a 11 no les gusta ver noticieros y a 6 no lesgusta ver ni el fútbol ni los noticieros.
¿A cuántos televidentes les gustaver fútbol y noticieros?
22. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol
y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes,2 practican fútbol y básquet pero no tenis,
52
1 practica básquet y tenispero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos alumnos practican
sólo 1 deporte?
23. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50
dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir elproducto B. Si 15 personas
manifestaron no consumir ninguno de ellos. ¿Cuántos consumen los dos productos?
24. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente información: 15personas que no
estudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3personas que estudian y trabajan.
¿Cuántas personas realizan una solaactividad?
25. En una reunión hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente información: los
que toman son el triple de los que fuman, los quefuman y toman son 40 y los que no fuman
ni toman son 12. ¿Cuántos solamente toman?
26. En un conjunto de 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan yotras que ni
estudian ni trabajan. Si hay 15 personas que no estudian nitrabajan, 10 personas que
estudian; 3 personas que estudian y trabajan. ¿Cuántas personas sólo estudian? ¿Cuántas
personas sólo realizan unaactividad?
27. Si A es un conjunto que tiene 8k elementos, B es un conjunto con 5kelementos, los dos
conjuntos tienen en común 2k ¡ 1 elementos y sesabe que n(A [ B) = 56. Determine n(B ¡ A)
28. De un grupo de 80 alumnos, 65 aprobaron Comunicación y 40 Matemática. Cuántos
alumnos aprobaron sólo un curso?
29. De un grupo de 40 postulantes, 20 no dominan matemáticas, 15 no dominan biología y 7
no dominan matemática ni biología. ¿Cuántos dominan ambas materias?
30. En una fiesta hay 197 personas, 85 no bailan; 68 no fuman, el número de personas que
bailan y fuman es el doble del número de personas que no bailan y no fuman. ¿Cuántas
personas bailan o fuman en dicho momento?
31. De 64 alumnos que estudian idiomas; los que estudian sólo inglés es el triple de los que
estudian inglés y francés; los que estudian sólo francés son la mitad de los que estudian
inglés y 4 no estudian ni inglés ni francés. ¿Cuántos estudian sólo inglés?
32. En un aula de 50 alumnos, aprueban matemática 30, física 30, castellano 35,
matemática y física 18, física y castellano 19, matemática y castellano 20 y 10 alumnos
aprueban los tres cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los tres cursos?
33. De un grupo de postulantes a un puesto de trabajo, que fueron sometidos
evaluaciones, los resultados fueron:

10 aprobaron conocimientos y expedientes

7 aprobaron conocimientos y entrevista personal

9 aprobaron entrevista personal y expedientes

17 aprobaron conocimientos

19 aprobaron expedientes

18 aprobaron entrevista personal
tres
53

4 aprobaron las 3 evaluaciones
¿Cuántos postulantes fueron evaluados? Y ¿Cuántos aprobaron sólo una evaluación?
34. En un club deportivo; a la quinta parte de los socios no les gusta el vóley ni el fútbol, a
los 2/3 les gusta el vóley, a los 7/15 les gusta el fútbol. ¿A qué parte de los socios les gusta
el fútbol y el vóley?
35. En un fiesta de 90 invitados, 2/5 eran mujeres, 2/5 eran invitados extranjeros y 1/18 eran
mujeres no extranjeras. ¿Cuántos eran extranjeros?
36. Del total de mujeres de una oficina, 2/3 son trigueñas, 1/5 tienen una amplia experiencia
laboral y 1/6 son trigueñas con amplia experiencia laboral. ¿Qué fracción no son ni
trigueñas, ni tienen amplia experiencia laboral?
37. Al preguntarles a un grupo de lectores acerca de sus preferencias por dos diarios
locales, se obtuvo que: ½ leen la industria; 7/12 leen el norteño; 1/6 leen ambos diarios y 35
leen otro periódicos. ¿A cuántos lectores se entrevistó?
38. De 64 personas de un hotel 42 son amables, 17 son serviciales y 24 son prudentes. Si 5
personas tienen las 3 cualidades. ¿Cuántas de ellas tienen solo 2 de dichas cualidades?
39. De 120 personas se sabe que: 72 estudian el curso A, 64 estudian el curso B, 36
estudian el curso C y 12 estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian sólo 2
cursos?
40. De un grupo de 32 artistas, se sabe que 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El
número de artistas que no cantan ni bailan es:
41 De 200 personas que participaron de un congreso, se observó que habían 64
chiclayanos, 86 trujillanos y 90 ingenieros, de estos últimos 30 eran chiclayanos y 36
trujillanos. ¿Cuántas personas no eran chiclayanas, trujillanas, ni ingenieros?
42 De los residentes de un edificio se ha observado que 30 de ellos trabajan y 55 son
mujeres de las cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones, 32 trabajan o estudian
y 21 no trabajan ni estudian. ¿Cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 33 varones no
trabajan?
54
SESIÓN 5: Razones y proporciones, magnitudes proporcionales, regla de tres y
porcentajes.
Proporcionalidad
INTRODUCCIÓN
La proporción es una relación matemática que vincula las partes entre sí y las partes con el
todo. Por medio de la proporción los artistas organizan sus composiciones, otorgándoles
unidad y belleza.
En Occidente han predominado los cánones de proporción que derivan del arte de la
Antigüedad Grecorromana. Sin embargo, estos cánones no son universales puesto que, en
distintas civilizaciones y en distintos períodos, se han empleado diferentes sistemas para
proporcionar tanto la figura humana como los grandes monumentos arquitectónicos.
La proporción en la figura humana. En Occidente, la proporción de la figura humana ha
variado a lo largo de la historia. Por ejemplo, en el Antiguo Egipto el canon de la figura
humana se establecía a partir de un módulo o unidad ajeno al cuerpo humano. Toda parte
de la figura se dibujaba tomando como referencia este módulo. De esta manera, desde el
Imperio Antiguo hasta la Baja Época el canon imperante para la altura del cuerpo femenino
o
masculino era igual a 18 veces el módulo. A partir del siglo VII a.C. este canon se modificó,
y la altura del cuerpo humano pasó a ser igual a 21 veces el módulo En la Grecia Antigua
se empleó, como unida de referencia, la altura de la cabeza humana. De este modo, en el
siglo V a.C., Policleto estableció, para la figura humana, una altura de 7 y 1/2 cabezas. El
modelo por excelencia de este canon es su Doríforo (siglo V a.C.). Posteriormente, en el
siglo IV a.C., Lisipo modificó este canon, dando a sus esculturas una altura de 8 cabezas.
Estos cánones clásicos permanecieron casi invariables durante la Antigüedad
Grecorromana. Sin embargo, desde fines de la Antigüedad, fueron progresivamente
abandonados, a medida que el interés en la representación naturalista de la figura humana
fue decayendo. Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones
del cuerpo humano. Según se puede apreciar en los cuadernos de Villard de Honnecourt
(fines del siglo XIII), las figuras humanas y animales se trazaban a partir de formas
geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado.
Entretanto, en el Imperio Bizantino, el dibujo de los íconos se basaba en un sistema de tres
círculos concéntricos. Para el rostro de frente el centro de los círculos se situaba
aproximadamente en la intersección de la línea de los ojos y la nariz, o en el centro de la
frente. Estas relaciones permitían trazar tanto los rasgos del rostro como el contorno de la
cabeza y la aureola. Por otro lado, para el rostro en escorzo el centro de los círculos se
situaba en algún punto entre la pupila del ojo y la ceja. En todos los casos, los radios de los
círculos estaban vinculados entre sí, aproximadamente, por la relación r, 2r, 3r
En el Renacimiento se adoptaron nuevamente los cánones de la Antigüedad grecorromana.
La proporción del cuerpo humano fue considerada como la expresión sensible de la
armonía, y la teoría de las proporciones humanas despertó enorme interés entre los artistas
de la época. Tanto Leonardo Da Vinci como Alberto Durero realizaron numerosos estudios
antropométricos con la finalidad de tabular las medidas del cuerpo humano, considerado
como idealmente bello. El canon de belleza clásico del Renacimiento-basado, a su vez, en
el canon de la Antigüedad Grecorromana- siguió predominando durante los siglos
55
subsiguientes entre las normas enseñadas en las academias de arte.Sin embargo, no todos
los artistas se han ajustado a estas normas. Algunos de ellos, como el Greco, han seguido
pautas propias para proporcionar la figura humana. En particular, los artistas del siglo XX
han representado el cuerpo humano con una enorme libertad, recurriendo, incluso, a la
deformación como modo de expresar sus emociones.
Proporcionalidad
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón o Relación.Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas
(sustracción y división)
Clases de razones o relaciones.Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de
la diferencia. El valor de la razón aritmética me indica el exceso de una cantidad sobre la
otra.
Notación:
*a
*b
antecedent e
con sec uente
*r
valor de la razón
a; b; r
Z
Ejemplo:
La edad de Juan es 42 años y la edad de Ana es 14 años, hallemos la razón aritmética de
sus edades.
Solución:
Interpretación
La edad de Juan excede a la edad de Ana en 28 años.
La edad de Ana es excedida por la edad de Juan en 28 años.
La edad de Juan es mayor en 28 años a la edad de María.
Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio
de la división. El valor de la razón geométrica me indica cuantas veces cada una de las
cantidades contienen a cierta unidad de referencia.
56
Notación:
*a
*b
antecedent e
con sec uente
*r
valor de la razón
a; b; r
Z
Ejemplo:
Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades del ejemplo 1.
Solución:
Interpretación:
La razón geométrica de las edades de Juan y Ana es 3.
Las edades de Juan y Ana están en la relación de 3 a1.
Las edades de Juan y Ana son como 3 es a 1.
La edad de Juan es tres veces la edad de Ana.
La edad de Juan es el triple de la edad de Ana.
La edad de Ana es la tercera parte de la edad de Juan.
Las edades de Juan y Ana son proporcionales a 3 y 1.
La edad Juan es dos veces más que la edad de Ana.
Ejercicios
Dos números están en la relación de 9 a 4, y su razón aritmética es 340. Dar como
respuesta la suma de cifras del número mayor.
Dos números están en la relación de 2 a 3, si se añade 165 a uno y 150 al otro se hacen
iguales. Hallar el mayor.
Las camisas se vendían a 60 soles cada una y ahora a 648 soles la docena. ¿Cuál es la
razón entre el precio antiguo y el actual?
El número de soles de Pilar y Sandra están en la relación de 2 a 3; el de Sandra y Henry
como 3 es a 4. Sabiendo que los tres juntos tienen 2700 soles.
57
¿Cuánto de dinero tiene Sandra?
PROPORCIÓN
Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la
razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser:
aritmética, geométrica.
Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
–
–
.
.
.
Clases de Proporción Aritmética
Discreta: Cuando todos los términos Continua: Cuando
son diferentes entre sí donde:
medios son iguales:
–
– .
d: 4ta diferencial
. –
b
.
los
términos
–
a
c
2
b: medi a d i ferenci al o medi a a ri tméti ca
c: 3era. di fer enci al
Ejercicios
Hallar la media diferencial de 100 y 60.
Hallar la tercera diferencial de 17 y 12.
Hallar la cuarta diferencial de 32; 14 y 26.
58
Proporción Geométrica
.
a
b
c
.
d
b, c : Medi os
a, d : Extremos
Clases de Proporción Geométrica
Discreta:
Cuando
todos
los Continua: Cuando los términos medios
términos son diferentes entre sí son iguales:
donde:
d: 4ta Proporcional
b
ac
b : media Proporcional o media geométrica
c : 3era. Proporcional
Ejercicios
Hallar la media proporcional de 256 y 225.
Hallar la tercera proporcional de 81 y 27.
Hallar la cuarta proporcional de 180; 15 y 36.
Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).Serie Aritmética:
S.R.E.A Continua: Forma General: a – b = b – c = c – d = d – e =…= r
S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f =…= r
Serie Geométrica:
S.R.E.D. Continua: Forma General: a
b
c
b
S.R.E.G. Discreta: Forma General: a
b
c
d
c
d
d
e
e
f


k
k
59
Ejercicios
En una serie de razones geométricas equivalentes los antecedentes son: 3; 5; 8 y 13. El
producto de los consecuentes es 126360. Hallar la suma de los consecuentes.
En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es
125 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad.
Las edades de tres personas son proporcionales a: 5; 8 y 9. Dentro de 6 años la suma de
sus edades será 172 años. ¿Cuántos años tendrá el mayor dentro de 10 años?
Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada 2
blancas hay 3 rojas y por cada 5 rojas hay 8 azules. Si la cantidad de azules excede a los
rojos en 108. ¿en cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas?
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una
característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría
medir: su peso, estatura, presión arterial,.....etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud.
MAGNITUD
CANTIDAD
Longitud
2km
Tiempo
7 días
# de obreros
12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor
correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar
de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Ejemplo Ilustrativo:
Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de
costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
60
(Costo total) DP (# de libros)
Se observó:
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o
disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en
ese orden) en la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente
de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.
OJO:
DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2
MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL
EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,
NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)
SI:
. “A” DP “B”
valor de A
valor de B
IMPORTANTE:
k
cons tan te .
LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA
POR EL ORIGEN DE COORDENADAS
Interpretación Geométrica
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO EL ORIGEN
DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES
CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORES
CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A
a1
a2
a3
.......
an
MAGNITUD B
b1
b2
b3
……
bn
SE VERIFICA:
a1
b1
a2
b2
a3
b3
...
an
bn
k
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
61
Ejercicios
1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A
= 34
2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese
150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon?
3. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que
pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores
contratados, se tendrá:
(# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 =
60
Constante
En general:
Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor
de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción
respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de
cada par de sus valores correspondientes sea una constante.
. A I.P.B
(valor de A)(valor de B) = cte.
62
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA
EQUILÁTERA.
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA
PAR
DE
VALORES
CORRESPONDIENTES
RESULTA
UNA
CONSTANTE.
LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:
. Fx
Aplicaciones comunes:
(N° de obreros)
DP
(N° de obreros)
IP
(eficiencia)
(N° de obreros)
IP
(N° de días)
(N° de obreros)
IP
(horas diarias)
(Velocidades)
(obra)
IP
(N° de obreros)
DP
(N° de dientes)
IP
m .
x
M : CONSTANTE
área del rec tan gulo
bajo la curva
SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”
VALORES CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A
a1
a2
MAGNITUD B
b1
B2
a3
(Tiempo)
SE VERIFICA:
(Dificultad)
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an .bn = k
.......
an
……
bn
(N° de vueltas)
Ejercicios aplicativos:
1. La magnitud A es I.P a B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar
b cuando A es igual a 4
2. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los
alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene?
3. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b
63
REGLA DE TRES
Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una
magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación
de proporcionalidad.
REGLA DE TRES SIMPLE
Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos:
Regla de Tres Simple Directamente proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor
desconocido de la magnitud B.
. x b1 .
a2
a1
.
Ejemplo:
Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Qué sucede con la
cuadrilla?
Resolución:
44
xxhh
. .
11
x =4 h
x=4h
Ejercicios aplicativos:
1. Para cosechar un campo cuadrado de 18m. de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días
se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27m. de lado?
2. Un recipiente lleno de esencia de perfume cuesta S/.12; pero cuando se retira 6 litros,
sólo cuesta S/.10. ¿Cuántos litros contenía el recipiente lleno?
3. Un burro atado a una cuerda de 3 metros de longitud tarda 5 días en comer todo el pasto
que está a su alcance. Cierto día, su dueño lo amarra a una cuerda más grande y se
demora 20 días en comer todo el pasto que está a su alcance. Hallar la longitud de la nueva
cuerda.
64
Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor
desconocido de la magnitud B.
. x b1 .
a1
a2
.
Ejemplo:
Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15
obreros?
Resolución:
x
20 .
30
15
x =
días
40
Ejercicios
1. En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene raciones para 21 días. ¿Cuántos
leones tendrá que vender el circo si quiere que las raciones duren 28 días?
2. Ángel es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si ángel hace una
obra en 45 días, ¿En cuántos días harán la obra los 3 juntos?
3. Un comerciante compro 33 kg de hierba a razón de $ 6.2 el kg. ¿Cuántos kg de hierba
de $ 6.6 podría haber comprado con esa misma suma de dinero?
TANTO POR CUANTO:
El a por b de una cantidad N; es otra cantidad de la misma especie; tal que sea a la primera
como a es b.
x
N
a
b
X
a
(N)
b
Ejemplos:
Si tenemos:
1 por 10 significa 1 por cada 10 el cual es: 1/10
3 por 7 significa 3 por cada 7 el cual es: 3/7
Ahora si le sacamos o lo aplicamos el tanto por cuanto a una cantidad:
65
a por b de
N
a
(N)
b
Tanto Por ciento:
Es una o varias centésimas partes de una cantidad cualquiera.
Formula General:
Donde:
X%N=P
X = Tanto por ciento.
N = Unidad referencial.
P = Porcentaje.
Ejemplos:
El 50% de S/. 60 es:
50
60
100
30
El 80% de 25m es = 20m
El 10% de 100 = 10
OjO: Siempre se cumple que:
N = 100%. N
a%N
b%N=(a
b) % N
a % del b % de N es:
a
b
c
x
x
N
100 100 100
a % del b % de N es:
axb
%N
100
Ejemplo: 20% del 40% de N.
Es igual a:
20 x 40
%N
100
8%N
Toda cantidad referencial, respecto a la cual se va a calcular un porcentaje; se considera
como el (100%)
66
Ejercicios
1. El 4 por 3 del 5 por 12 de 189 es:
2. En una reunión hay 30 mujeres y 45 hombres ¿Qué porcentaje del total son hombres?
3. 9 es 15% de:
4. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número, es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?
5. En una reunión el 40% de personas son mayores de edad. Si se retiran la mitad de éstos,
¿Cuál es el nuevo porcentaje de menores de edad?
6. Una finca tiene 480 hectáreas. El 35% de su mitad está sembrado de caña y el resto de la
finca con frutas menores. ¿Cuántas hectáreas están sembradas con frutas menores?
7. En la familia reyes el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adultas, y
el 15% de ellas es igual al 20% de los niños. ¿Qué porcentaje del total representan los
niños?
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:
Ejemplo 1
¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una
cantidad?
Resolución:
Sea “N” la cantidad inicial:
N
(90% N)
- 10%
70%(90% N) = 63%N(Queda)
-30%
Descuento = 100% - 63% 37%
Otra forma:
(–)
(–)
10% y 30% de N
90%. 70%N = 63%N
Du = 100% - 63% = 37%
67
Ejemplo 2
¿A qué aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una
cantidad?
Resolución:
(+) (+) (+)
10%; 20% y 50%
110 120
.150%
.
100 100
= 198%
Aumento único = 198% - 100% = 98%
Ejercicios
1. ¿A qué descuento único equivale los descuentos sucesivos del 10% y 20%?
2. ¿A qué descuento único equivale el descuento sucesivo del 20%, 30% y 50%?
3. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos de 10% y 20%?
4. Si
aumenta en 20%. ¿En qué % aumenta
?
ASUNTOS COMERCIALES
Para las transacciones comerciales los términos que se utiliza son los siguientes:
Pv
Precio de venta
G
Ganancia
Pc
Precio de costo
P
Perdida
GB
Ganancia Bruta
GN
Ganancia Neta
Observación .:
PL = P F = P M
Precio de lista, Precio fijado;
Precio de mercado.
Ahora veamos los distintos casos que ocurren en una transacción comercial:
Cuando Existe Ganancia
68
Pv
Pc
Pv
Pc
Ganancia
GB
Cuando se Originan Gastos
GB
GN
Gastos Adicionales
Pv
Pc
Cuando Existen Perdida
Perdida
Importante:
Todo porcentaje de ganancia o pérdida que no refiera a la unidad de venta o alguna otra
unidad; se asumirá que es sobre el precio de costo.
Todo descuento se hace sobre el precio de oferta o precio de lista; a no ser que el problema
refiera a otra unidad.
Ejemplo:Se vende una artefacto en $ 660, ganado el 20%, ¿Cuál es la ganancia?
Solución: Sabemos que cuando hay ganancia ocurre lo siguiente con la venta.
Ejercicios
1. Se vende un artículo en S/.80 ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo?
2. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/.180 habiéndose hecho un
descuento del 20%?
3. Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del
precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor.
4. Se vende un artículo en 150 soles con una ganancia del 25% sobre el costo. Si se ganó
tanto como se descontó. ¿Cuál fue el precio fijado para la venta al público?
69
SESIÓN 6: Evaluación de la unidad
Práctica de Repaso de la Unidad
1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la
suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes?
2. Dada la proporción:
a
b
c
d
;
a + b = 15
c + d = 25
b + d = 16
Hallar el valor de “a”
3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14
para que constituyan una proporción geométrica
4. El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $
40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea?
5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad
del hijo sea los 4/7 de la edad del padre?
6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son
proporcional a 3/5. Hallar el mayor
7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de
marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado?
8. Si:
a
m
b
n
n
p
1
,
2
además.
b + p = 15
m + n = 14, calcular: a .b .n
9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas
después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el
número de niñas al comienzo.
10. En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número
de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el
número total de patas de dichos animales es 900?
11. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor
de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de
los 2 números
70
12. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia
es:
13. En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 4 es a
9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los
consecuentes
14. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los
números 11, 3 y 560. hallar uno de los números
15. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de
los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción
es 2601
16. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la
tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números
17. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como
10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?
18. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales:
a
5
b
7
c
10
Hallar la suma de los antecedentes
Si 3a + 2b – c = 76
19. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4
términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción
20. Una ciudad está dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3.
si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos
bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad?
21. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de
dichos números?
22. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y
la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios.
23. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor
de los dos números.
24. Si:
a
2
b
8
c
7
y a + b = 20.
Hallar: a. c + b
25. Si se cumple:
a
3
b
c
24
d
e
f
2
Además:
71
(*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + d
Calcular: b + d + f
26. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los
números 4; 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números?
27. A una fiesta asistieron 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 3
hombres. Si se retiraron 20 parejas. ¿Cuál es la razón entre el número de mujeres y el
número de hombres que se quedan en la fiesta?
28. La razón geométrica de dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al
mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números?
29. Los antecedentes de varias razones geométricas iguales son 2; 3; 4 y 5; el producto del
primer antecedente y los últimos consecuentes es 41160, la suma de los consecuentes
es:
30. El producto de los 4 términos de una proporción discreta es 15876. Si el primero de
estos términos es 7, calcular el producto de los términos medios.
31. En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de
los dos últimos términos es 25. Calcular el menor de los términos medios si la suma de
los consecuentes es 27.
32. Si
a
b
b
c
k con a; b y c Enteros positivos y a 2b c 50 .
Hallar el valor de b.
33. En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 64 y la diferencia
entre los extremos es 48. Hallar la suma de los extremos.
34. Si se sabe que:
a
b
7
y
11
a + b = 108; Hallar: b2 – a2
35. Calcular la media proporcional de la media diferencial de 10 y 14, y la tercera
proporcional de 3 y 9.
36. La media diferencial de una proporción es 24. Hallar la razón de la proporción si el
primer extremo es el doble del segundo.
72
SEGUNDA UNIDAD
I. COMPETENCIA: Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y plantear
problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolución, desenvolviéndose con
responsabilidad y actitud proactiva.
II. CAPACIDADES
1. Formula y resuelve ecuaciones e inecuaciones.
2. resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionados al producto cartesiano y las
relaciones así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.
3. Analiza que relaciones pueden ser funciones.
4. Identifica el dominio y rango de la funciones.
5. Utiliza el software GEOGEBRA para minimizar el tiempo empleado en graficar funciones.
6. Plantear modelos en términos de funciones matemáticas, de algunas situaciones reales.
SESIÓN 07
TEMÁTICA:
ECUACIONES E INECUACIONES CON Y SIN VALOR ABSOLUTO. APLICACIONES DE ECUACIONES E
INECUACIONES.
SESIÓN 08
TEMÁTICA:
RELACIONES BINARIAS.
SESIÓN 09
TEMÁTICA:
FUNCIÓN. DEFINICIÓN, FUNCIONES ESPECIALES Y TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN.
SESIÓN 10
TEMÁTICA:
MODELOS FUNCIONALES
SESIÓN 11
TEMÁTICA:
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
73
SESIÓN 7: EcuacioneseInecuaciones
INTRODUCCIÓN
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de
resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones
indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían
cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy
enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y
Babilonia, aunque el libro “Las Aritméticas de Diofante” es de bastante más nivel y presenta
muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua
sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró a su vez, acogida en el mundo islámico,
en donde se le llamo “Ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra árabe al – jabru, que
significa “reducción”, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático Al –
Jwarizmi escribió uno de los primeros libro árabes de álgebra, una presentación sistemática
de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales
del siglo IX, el matemático egipcio AbuKamil enuncio y demostró las leyes fundamentales e
identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z
que cumplen:
x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; xz = y2
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando
abreviaturas solo ocasionalmente: sin embargo; en la Edad Media, los matemáticos árabes
fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra
fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este álgebra incluía
multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del
teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Khyyam mostró como
expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los segmentos obtenidos por
intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una fórmula para las
raíces. La traducción al latín del álgebra de Al – Jwarizmi fue publicada en el XII. A
principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una
aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica: x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había
viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizo el método arábigo de
aproximaciones sucesivas.
74
ECUACIONES I
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN:
Una ecuación es una relación de igualdad que establece ente dos expresiones matemáticas
que pueden tomar un mismo valor para un determinado conjunto de valores asignados a
sus variables.
A(x; y; z;…; w) = B(x; y; z;…; w)
A ; y ; z ; .... ; w) B( x ; y ; z ; .... ; w)
( x

0
F( x ; y ; z ; ........;w) 0 ........ Forma General
Ejemplo:
x3 – xx – 2 =0
x
x 3
x2
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Es aquel valor que, asignado a la variable de la ecuación, hace que la igualdad se cumpla.
Ejemplo:
Si: x = 3
2
x
2
1
x
9
9
3 es solución
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.) DE UNA ECUACIÓN:
Es la reunión de todos los valores que verifican una ecuación:
Ejemplos:
Sea: x3 = x
x=1
13 = 1 ………
(V)
75
x=0
03 = 0 ………
x = -1
(-1)3 = -1
(V)
………
(V)
C.S. = {-1 ; 0 ; 1}
Sea: x2 = 1
Sea:
1
x
C.S. = {-1 ; 1}
C.S. =
0
={}
Observación:
Resolver una ecuación significa hallar su C.S.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A SU ESTRUCTURA
1. ALGEBRAICAS
ECUACIÓN:
a) x5 + 2x4 – 6x + 2 = 0
b)
c)
1
x
+ x + 3 + x–2 = 0
2
x
2
2 x
1
3
…….. Polinomial
…….. Fraccionaria
= 0 …….. Irracional
2. NO ALGEBRAICAS O TRASCENDENTES
ECUACIÓN:
a)
b)
c)
d)
2x + 1 = 0
…….. Exponencial
log(x + 3) – 1 = 0 …….. Logarítmica
Sen(Cos x) + 2
= 0 …….. Trigonométrica
2
3
1 + x + x + x +…. + = 0….
Etc.
76
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS AL NÚMERO DE SOLUCIONES
DETERMINADA
COMPATIBLES
INDETERMINADA
ECUACIONES
INCOMPATIBLES
(C.S. =
)
3. ECUACIONES COMPATIBLES
Cuando existe solución:
a) Determinada:
El número de soluciones es finito.
Ejemplos:
(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
C.S. = {1; 2 , 3}
b) Indeterminada:
El número de soluciones es infinito
Ejemplos:
Ox = 0
C.S. = R
x+y=2
x 1 0 2
y 1 2 0
3 .......
5 .......
C.S.= {(1 ; 1) ; (0 ; 2) ; (-3 ; 5)……}
4. ECUACIONES INCOMPATIBLES, INCONSISTENTES O ABSURDAS
Cuando no existe solución:
Ejemplos:
Ox = 6
X
2
C.S. =
1
X
1
2
X
2
C.S. =
77
SOLUCIÓN DE ECUACIONES
Para resolver cualquier tipo de ecuación debe tener presente las siguientes reglas:
1. Si a ambos miembros de una ecuación le sumamos o restamos una misma cantidad
algebraica entera (o una constante), la nueva ecuación será equivalente a la primera.
Pero cuando la expresión algebraica que se sume o reste es fraccionaria, la nueva
ecuación será equivalente solo si al reemplazar cada una de las soluciones de la primera
ecuación, la segunda siempre existe.
2. Si a ambos miembros de una ecuación se le multiplica o divide por un mismo número, la
nueva ecuación resultante será equivalente a la primera.
3. Al multiplicar ambos miembros de una ecuación por otra expresión, la nueva ecuación no
es equivalente a la primera; sin embargo, admite todas sus soluciones, introduce nuevas
raíces a la ecuación resultante, que no son raíces de la primera.
4. Al elevar ambos miembros de una ecuación a una misma potencia (o al extraer la raíz
del mismo índice), nos dará una nueva ecuación que no es equivalente a la primera,
pero en sus soluciones están incluidas las soluciones de la primera ecuación.
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
ax
Donde:
b
a, b: Parámetros
x
: variable
1. Compatible Determinada
a
0
Ejemplo: 5x = 0
2. Compatible Indeterminada
a
0
b
0
0
b
0
Ejemplo: 0x = 0
3. Incompatible
a
Ejemplo: 0x = 5
Ejercicio: Analizar la siguiente ecuación:
(a – 3)(b + 2)x = (a – 3)(b + 4)
Ec. Determinada:
a
3
Ec. Indeterminada
a=3
b
–2
78
Ec. Incompatible
b = -2
a
3
Ejemplo: Hallar “a” para que la ecuación sea incompatible:
Para que sea incompatible:
a3 – 6a2 + 11a – 6 = 0
6a – a2 – 8
(a – 1)(a – 2)(a – 3)x = (–a + 2)(a – 4)
6a –a2 – 8
(a = 1 v a = 2 v a = 3)
a=1
v
a=3
ECUACIONES FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO:
Son aquellas que tienen por denominador una expresión Polinómica, no radical en uno o
ambos miembros.
Ejemplos:
2
3x 1
3
3x 1
;x
3
x2
8x
7
3x
6
9
Método de Solución:
1. Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
2. Se multiplica ambos miembros de la ecuación el m.c.m. obteniéndose como resultado
una ecuación entera.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. se verifica si la solución hallaba no hace que la ecuación se vuelva indeterminada.
Ejemplo: Resolver:
4
7
4
2x
3
0
Solución:
m.c.m. (7 ; 2x – 3) = 7(2x – 3)
Multiplicamos la ecuación original por el m.c.m.:
7(2x – 3)
4
7
4
2x 3
0
79
Efectuando
:
4(2x – 3) + 7(4) = 0
Reduciendo
:
8x – 12 + 28 = 0
Transponiendo
:
8x = -16
Dividiendo entre 8 :
x = -2
Reemplazamos este
valor en la ecuación
Original
4
7
:
4
4
7
7
4
2( 2)
3
0
0
Como el valor -2 lleva a la ecuación original a la indeterminación entonces su solución.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Recordando ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y
letras llamadas incógnitas, cuyo valor hay que averiguar. Para resolver las ecuaciones si
tienen más de una incógnita, se necesitan tantas como incógnitas haya y a ese conjunto de
ecuaciones se le llama sistema.
Ejemplo:
2x + 3y = 7
5x – 2y = 8
Como
tiene
dos
incógnitas
necesitamos dos ecuaciones
Métodos para resolver sistemas
Hay tres métodos: Reducción, sustitución e igualación
Reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos:
1. Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos ecuaciones
el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente
que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la ecuación de abajo por el
coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de arriba.
80
2. Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida.
3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.
4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones
del sistema.
Nota importante: si la primera incógnita te da fracción puedes resolver la segunda incógnita
otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la incógnita contraria a la
vez anterior.
Ejercicios: Resuelva
a) 5x – 2y = 4
6x – 3y = 3
b) 3x + 4y =15
6x + 5y = 21
c) 7x – 3y = 29
8x + 4y = 48
d) 5x – 3y = 7
7x + 2y = 16
Sustitución: Pasos:
1. Se despeja una incógnita en una ecuación.
2. Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación.
3. Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer
paso.
Ejemplo:
3x – 2y = 12
x + 5y = 38
Primero: Despejamos la x en la primera ecuación
x=
12 2 y
3
Segundo: Sustituimos este valor en la segunda ecuación
12 2 y
+ 5y = 38 Resolvemos la ecuación
3
12 + 2y + 15y = 114
81
17y = 114 – 12
17y = 102
y=
102
17
6
Tercero: Sustituimos la y de la expresión del primer paso por 6 y averiguamos el valor
de la x.
x=
12 2·6
3
12 12
3
24
3
8
x = 8, y = 6
Igualación:
Pasos:
1. Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones.
2. Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se
resuelve la ecuación que resulta.
3. Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero.
Ejemplo:
4x + 2y = 2
3x + 5y = -9
1. Despejamos la x o la y
2 4x
y=
2
y=
9 3x
5
2. Igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación:
2 4x
9 3x
2
5
5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x )
10 – 20x = - 18 – 6x
-20x + 6x = - 18 –10
82
-14x = - 28
x=
28
14
2
3. Cogemos una de las expresiones del primer paso.
2 4 x 2 4·2 2 8
6
y
3
2
2
2
2
x=2, y = -3
Ejercicios. Resuelve por igualación:
1.
5x – 2y = 4
6x – 3y = 3
2.
3x + 4y =15
6x + 5y = 21
3.
7x – 3y = 29
8x + 4y = 48
4.
5x – 3y = 7
7x + 2y = 16
5.
8x + 2y = 10
9x – 3y = 6
Ejercicios
1.
Dos números suman 37 y su diferencia es 13. calcula esos números.
2.
Dos números suman 54 y su diferencia es 6. calcula esos números.
3.
Quince amigos celebran una fiesta de cumpleaños, hay 3 chicas más que chicos.
Calcula su número utilizando un sistema de ecuaciones.
4.
Olga ha mirado su cartera y tiene billetes de 5 € y de 10 €; en total suman 100 €. Si el
número de billetes es 13 ¿cuántos billetes tiene de clase?
5.
Un grupo de alumnos, por 5 entradas de patio y 3 de anfiteatro, ha pagado 90 €. Otro
grupo ha pagado 56 € por 3 entradas de patio y 2 de anfiteatro. Calcula los precios
de cada localidad.
6.
María compra 2 bollos y 3 botellas de leche y gasta 4 € y Luisa compra 4 bollos y 2
botellas de leche por 4 €.¿Cuánto vale cada cosa?
83
Práctica de Ecuaciones Lineales
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 5(2x – 1) – 4(5x – 2) = 19 – 2(x + 12)
2. 7(2x – 5) – (4x – 11) = 9(x – 6) + 29
3. 23x + 17(x – 3) = 8(1 – 5x) – 59
4.
5.
x 1
2
x 3
3
x
x
a
b
x 3
4
b
x 4
5
2
a
6. 7(2x – 1 )(x + 3) + 5x + 47 = 14(x + 1)2
7.
x
5
x 6
15
8.
x
55
9.
10
x 3
10.
2x
2x
11.
x 1
x 1
12.
4(1 x )
1 2x
13.
a
3x 11
66
3
3
x
a
2( x 5)
25
33 x
44
7
0
3
x
2
2x
2x
x 1
x 1
x
3
3
5
12
4x 2
9
16
x
2
1
8
5
b
x
b
2(a b)
ab
84
14.
x
x
y
y
15.
7x
5x
16.
x 6y 27
7x 3y 9
x
17.
18.
4y
2y
3
13
19
y
3
x
4
4
y
2
5
x 1
2
x 1
3
y 1
3
y 1
2
y
x
8
x
3
13
36
2
3
y
5
6
y
x
4
x
0
4
2
x
19.
7
3
y
10
3
4y
z
6
20. 2x 5y 7z
3x
2y
z
9
2
21. Traduce al lenguaje simbólico las siguientes proposiciones:
a) Cualquier par de números, tal que su diferencia sea igual al duplo del segundo:
b) Cualquier número cuya quinta parte sea mayor que 3 y menor o igual que 10.
c) Cualquier par de números tal que el duplo del primero sea igual a la tercera parte del
segundo
d) Cualquier número cuyo triplo aumentado en dos unidades sea mayor o igual que 6
e) Cualquier par de números tal que el primero sea igual al segundo aumentado en dos
unidades
f) Cualquier número cuyo triple disminuido en dos unidades sea menor o igual que cinco
g) Cualquier par de números, tal que la suma de la quinta parte del primero y el duplo del
segundo es menor que dos décimos
22. Pedro y Luis juegan al fútbol. Entre los dos han marcado 18 goles. ¿Cuántos goles ha
marcado cada uno, si sabemos que Pedro ha marcado 4 goles más que Luis?
85
23. Luis y Ana tienen entre los dos 25 canicas. Luis tiene 7 canicas menos que Ana.
¿Cuántas canicas tienen cada uno?
24. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la suma de las edades es 60, ¿cuántos
años tiene cada una?
25. Tenemos tres cajas rojas que son iguales y pesan lo mismo. Tenemos otra caja azul que
pesa el doble que una caja roja. Las cuatro cajas juntas pesan 920 kg. ¿Cuánto pesa la caja
azul?
26. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. Hállalos.
27. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado sería tres
veces el menor. Encontrar los números.
28. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84
29. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 121.Hallar los
números.
30. La diferencia de dos números es 3 y la diferencia de sus cuadrados es 27. Hallar los
números
31. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años másél tendría el doble de la
edad de su hijo. Encontrar sus edades.
32. Encontrar un número tal que la suma de su sexta parte y su novena parte sea 15.
33. Existe un número cuya quinta parte es menor que su cuarta parte en3. Encontrarlo.
34. Dos quintos del dinero que tiene A es igual a lo que tiene B y los siete novenos de B es
igual a lo que tiene C y entre los tres tienen 770,00 dólares. ¿Cuánto tiene cada uno?
35. El ancho de una habitación es dos tercios de su largo. Si el ancho tuviera 3 metros más
y el largo tres metros menos la habitación sería cuadrada. Hallar sus dimensiones.
36. En la panadería Eliseo pagó S/. 5 por 6 barras de pan y 3 encimadas. Si Felicita pagó
S/. 1 por una barra de pan y una encimada ¿Cuál es el precio de la barra de pan y de la
encimada?
37. El hotel MANHATAN tiene 50 habitaciones entre dobles y sencillas, en total hay 50
habitaciones y 87 camas ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
38. En una tienda de un anticuario, hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos
se necesitan 31 velas ¿Cuántos candelabros hay de cada tipo?
39. Una evaluación realizada en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos
por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada respuesta no contestada o mal
contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en la evaluación ¿Cuántas cuestiones ha
contestado correctamente?
86
40. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si
introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5
conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
41. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos
luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8
patas)
42. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros.
¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
43. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30
cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5
puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno
obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?
44. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2
bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos,
¿Cuántos chicos y chicas están en mi clase?
45. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la
diferencia sea 95
46. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del
número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?
47. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.
48. Una empresa fabrica televisores de 14 pulgadas de pantalla y 29 pulgadas de pantalla,
para fabricar cada televisor es necesario utilizar dos máquinas A y B. Cada televisor de 14
pulgadas requiere 3 horas en la máquina A, 1 hora en la máquina B. Cada televisor de 29
pulgadas requiere 2 horas en la máquina A, 2 horas en la máquina B. La máquina A está
disponible 24 horas diarias, la máquina B 16 horas diarias. Calcule el número de unidades
de cada tipo que deben fabricarse diariamente para que funcione a plena capacidad.
49. Dos clínicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son médicos. Si la tercera parte que
labora en una de las clínicas y los tres séptimo que laboran en la otra clínica son médicos.
¿Cuántos empleados tienen cada clínica?
50.Si el triple de un número, disminuido en 6 es mayor que la mitad del número, aumentado
en 4 y el cuádruplo del número, aumentado en 8 es menor que el triple del número,
aumentado en Encuentre el número.
87
ECUACIONES CUADRÁTICAS
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Conocida también como ecuación cuadrática y que tiene la forma general:
ax 2
bx
c
0 ; a
0
Ejemplos: 2x2 + x + 1 = 0; x2 + 2 = 0
PROPIEDADES
I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES
Sea:
ax2 + bx + c = 0
;
a
0
Se define el discriminante ( ):
b2
4ac
; a, b, c
R
1er CASO
2 raíces reales e iguales
o raíz múltiple (SOLUCION UNICA )
0
Ejemplo: 4x2 – 4x + 1 = 0
= (-4)2 – 4(4)(1) = 0
C.S.
1
2
2do CASO
0
2 raíces reales e dif erentes
Ejemplo: x² – 4x – 12 = 0
C.S. = {6 ; -2}
= 16 – 4(1)(-12) > 0
3er CASO
0
2 raíces complejas, imaginarias y conjugadas
II. OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES
Sea: ax2 + bx +c = 0
;
a
0
x1
x2
b
a
88
SUMA DE RAÍCES:
PRODUCTO DE RAÍCES:
x1 x2
DIFERENCIA DE RAÍCES:
( x1
c
a
x2 ) 2
( x1
x2 ) 2
4 x1 x2
Reconstrucción de la ecuación de 2do grado a partir de sus raíces:
x2
( x 1 x 2 )x

Suma de
Raices
x1x 2

0
Pr oducto
de raices
TEOREMA:
Sean las ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0
………
mx2 + nx + p = 0 …….
(2)
(1)
;
;
m
a
0
0
Estas ecuaciones serán equivalentes, es decir tienen el mismo C.S. si se cumple:
a
b
c
m
n
p
89
PRÁCTICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
* Resolver las siguientes ecuaciones:
01) x2 + 6 = 5x
02) 6x2 + 19x + 10 = 0
03)
1
( x 1)( x
10
2)
3
04) (x – a + 2)(x – a + 3) = 42
05) (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2
06) (x + a)2 – b2 = 0
07) (2x – 1)(2x – 3) = 63
08) (3x – 1)2 + (3x – 2)2 = 9x2
09) 3(3x – 2) = (x + 4)(4 – x)
10) 9x + 1 = 3(x2 – 5) – (x– 3)(x– 2)
11) (z – 16)(z + 2) = 25(z + 2)2
12) 2 – 3y =
13)
2x a
3
1
(y
3
– 4)(y + 4)
x
x a
2x
4a
Encuentre la suma y el producto de la raíces de las siguientes ecuaciones:
14) x2 – 6x – 7 = 0
15) x2 + 7 + 10 = 0
16) 5x2 – 15x + 40 = 0
*
Encuentra la ecuación que dio origen a:
17) x1 + x2 = 5 ; x1x2 = 6
18) x1 + x2 = 11 ; x1x2 = 10
19) x1 – x2 = 5 ; x1x2 = 150
20) x1 + x2 = -1 ; x1 – x2 = 5
21) (x–5)2 – (x– 6)2 = (2x–3)2 – 118
22) 4x2 + 3x = 22
*
Encontrar la suma y el producto de las raíces de:
23) 3x2 – 5x + 4 = 0
24) 2x2 – 6x + 18 = 0
90
TEMA: INECUACIONES
Para entender apropiadamente la teoría de inecuaciones, es necesario estudiar previamente
el tema de desigualdades. A continuación tocaremos algunos conceptos en torno a las
desigualdades.
DESIGUALDADES
Es aquella comparación que se establece entre dos números reales mediante los símbolos
de desigualdad: <,>, , . Luego, si a y b son números reales, entonces a < b, a >b , a b y a
b se llaman desigualdades, y se leen:
a <b : “a menor que b”
a
b : “a menor o igual que b”
a >b : “a mayor que b”
a
b : “a mayor o igual que b”
El siguiente acápite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones
Recta Numérica Real:
Es la forma geométrica que permite ordenas los números reales. Existe una
correspondencia biunívoca entre R y la recta.
a
Pr opiedades
Orden :
a 0 b
Densidad : c R / a
c
b
a, b
+
0
b
R
0 1 1 1
8 4 2
1
DEFINICIONES:
Sea a
1)
2)
3)
4)
R.
“a” es positivo
a>0
“a” es negativo
b<0
a>b
a–b>0
a<b
a–b<0
Ejemplo: -8 > -10
2 < 12
5) a
6) a
b
x
-8 – (-10) = 2 > 0
2 – 12 = -10 < 0
a>b a=b
b
x a x
b
91
: Intersección ( )
: Unión ( )
INTERVALO:
Es un subconjunto de los números reales que generalmente poseen
extremos.
R
I
Cotas
Superiores
Cotas
Inferiores
Extremo
Inferior
Intervalo
Extremo
Superior
CLASIFICACIÓN:
INTERVALO
ACOTADO
NO ACOTADO
ABIERTO
CERRADO
SEMIABIERTO
1) ACOTADOS O FINITOS
a. Intervalo Abierto
A
a; b
a; b
x
R/a
x
b
a
INFIMO
INFIMO:
b
SUPREMO
Es la mayor cota inferior. Si el ínfimo pertenece al intervalo, se llama
MÍNIMO.
SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le
llama MÁXIMO.
b. Intervalo Cerrado
C
a;b
x
R/a
x
b
92
c
a
b
a
c
c
b
MINIMO
MAXIMO
c. Intervalo Semiabierto:
A
a; b
B
a
a; b
a
b
b
SUPREMO
MINIMO
MAXIMO
INFIMO
2) NO ACOTADOS O INFINITOS
A
a;
x
R/ x
a
A
a
B
;b
x
R/ x
b
B
b
C
;
R
C
OPERACIONES CON DESIGUALDADES:
Sean:
1) A = -3 ; 2
; B = -1 ; 6
B
-3
-1 2
6
93
A
B = -3 ; 6
A
B = -1 ; 2
A – B = -3 ; 1
B–A= 2;6
2)
A‟ = CA = - ; -3
2;+
B‟ = CB = - ; -3
6;+
A={x R/x
x
2
B = { x R / -2
x
3}
3}
B
A
A
-2
3
A
B=R
A
B = {-2; 3}
INECUACIONES:
Es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.
e
x3
y
seny
Desigualdad
2
x
Inecuación
y
Conjunto Solución (C.S.)
Ejemplos:
1) 2x + 1 > 7
x> 3
C.S. = 3 ; +
2) Sen (x + 1) + 2 > 4
C.S. =
3) x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + … + (x + 100)2 + 3 > 0
C.S. = R
94
Punto Crítico
En la inecuación:
P( x )
0 ó P( x )
0 ó P( x )
0 ó P( x )
0
P(x): Polinomios
Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:
" " es punto crítico
P( x )
0
Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0
Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En la inecuación polinomial
a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0
1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1.
2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+
xn
Si : P( x )
x3
+
x2
x1
0
ó
C.S.
P( x )
0
Si : P( x )
0
ó
P( x )
......
C.S.
0
ZONA
POSITIVA ( )
ZONA
NEGATIVA ( )
Ejemplos:
Resolver las sgtes. Inecuaciones
1) x2 – 5x + 6
(x – 2)(x – 3)
0
0
95
Puntos críticos: 2 ; 3
+
+
2
3
C.S. = 2; 3
2) (2 – x)(x + 5) < 0
Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0
+
+
-5
C.S. = - ; -5
2
2;+
INECUACIONES POLINOMIALES
1) INECUACION LINEAL
ax b
0 ; a
0
RESOLUCIÓN
ax b
ax b ( b)



0
0 ( b)



0
b
ax
* Si a
0
x
* Si a
0
x
b
b
a
b
a
Ejemplo:
a2x + b < b2x +a
Si: 0< a < b
a–b<0
Solución:
96
( )
(a
( )
b)( a b) x
(a
(a b )
b )x
1
1
x
a
b
2) INECUACION CUADRATICA
P( x )
ax2
bx c
0 ; a
0
Resolución:
1)
0
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Donde:
: discriminante
= b2 – 4ac
Ejemplos:
1. –4x2 – 4x + 1 < 0
=0
(2x – 1)2< 0
C.S. =
2. (2x – 3)2> 0
3. (-2x + 4)2
4. (-5x + 20)2
2)
0
3
2
C.S. = R
0
C.S. = R
0
C.S. = {4}
METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS
Ejemplos:
1) x2 – 13x + 36 < 0
x
-9
x
-4
(x – 4)(x – 9) < 0
C.S. = 4 ; 9
+
+
4
2) x2 – 2x – 2
9
0
97
x2 – 2x – 2 = 0
= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos:
2
x
+
3
1
C.S. = - ; 1
0
2
3
+
1
3)
12
1
3
1+ 3;+
3
APLICAR LOS TEOREMAS
a) Teorema del Trinomio Positivo
Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a 0
<0
b)
a>0
P(x)> 0
x
R
Teorema del Trinomio Negativo
<0 a<0
P(x)< 0
x R
c)
0
a>0
P(x)
0
d)
0
a<0
P(x)
0
x
R
x R
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Resolver:
5x + 2 > x – 6
Solución:
Pasamos “x” al 1er miembro:
5x + 2 – x > – 6
4x + 2 > – 6
Ahora, pasamos “2” al 2do miembro:
4x > – 6 – 2
4x > –8
Pasamos “4” al 2do miembro como
está multiplicando, pasará dividiendo. Así: x
x > -2
x
8
4
-2 ; +
98
3 – x < 5 + 3x
2) Resolver:
Solución:
Pasamos “3x” al 1er miembro:
3 – x – 3x < 5
3 – 4x < 5
Ahora, pasamos “3” al 2do miembro:
–4x < 5 – 3
–4x < 2
Pasamos “4” al 2do miembro
(Como está multiplicando, pasara dividiendo) x
x
2
4
1
2
Cambia el sentido, ya que está dividiendo por una cantidad negativa
1
;
2
x
3) Resolver: x
2
2x
3
2
3x
2
1
3
Solución:
Multiplicamos ambos miembros por “6” (m.c.m. de 3 y 2), tendremos:
6 (x – 2)
6
2x
3
2
< 6
3x
2
1
3
………
(*)
En (*), resolveremos por partes (I) y (II):
6x – 12
(I)
4x – 12 < 9x – 2
(II)
Entonces, tendremos:
Si:
6x – 12
4x – 12
99
6x
4 x 12 4 x 4 x 12
12
2x 12
2x 0
1
1
2x 0
2
2
x 0 ............. (I)
4x – 12 < 9x – 2
Si:
4x
9 x 12 9 x 9 x 2
5 x 12 0 2
5 x 12 12
2 12
5 x 10
1
1
( 5 x ) 10
5
5
10
x
x
5
2 .......... (II)
Interceptando (I) y (II)
x
-2 ; 0
4) Resolver: x2 – 3x – 4 > 0
Solución:
Factorizando se tiene que: (x – 4)(x + 1) > 0
i) x
(x
4)( x 1)
4
0
4
ó
0 x 1
0
ii) x
Sabemos:
Si:
x 1
0
.........(*)
0
a.b>
a>0
b>0
ó
a< 0
De i):
x>4
x > –1
………
x> 4
De ii):
x<4
b<0
(I)
x < –1
x < –1
………
(II)
100
La solución será la unión de (I) y (II):
x
5) Resolver:
- ; -1
4;+
x3 + x2 – 2x > 0
Solución:
Factorizando “x”, tenemos:
x(x2 + x – 2) > 0
Factorizando el trinomio:
x(x + 2)(x – 1) > 0
Los puntos críticos son:
x = 0; x + 2 = 0
x–1=0
x = -2
x=1
Los intervalos serán:
+
-2
+
0
1
Como el sentido indica “>”, tomaremos los intervalo positivos y consideramos los puntos
críticos como “abiertos” (O)
x
6) Resolver:
-2 ; 0
(1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1)
1;+
0
Solución:
Vemos que el factor (1 – x) no contiene a “x” con coeficiente positivo, por eso
multiplicamos por (-1):
(1 – x)(x – 3)(x + 1)(2x – 1)
0
Luego; obtenemos los puntos críticos:
x = 1 ; x = 3 ; x = -1 ; x = 1/2
Los intervalos serán:
101
+
+
-1
x
7) Resolver:
+
½
1
1
;1
2
- ; -1
1
4
(x2 + 4)(x + 3)(x – 1) x
3
3;+
0
Solución:
Simplificamos el factor (x2 + 1); no lo incluimos en la solución; ya que siempre será
positivo para todo x R.
Entonces tenemos:
(x + 3)(x – 1) x
Los puntos críticos serán:
1
4
0
x = -3 ; x = 1 ; x = 1/4
+
1/4
-3
x
+
3 :
1
4
1
1;+
102
PRÁCTICA DE INECUACIONES
01) Si a + 3
02) Si x
0. Calcular el mínimo valor de (a + 5)
3 ; 9 calcular el máximo valor entero de “x”
03) Calcular la suma de los números enteros (x), tal que:2
x
7
04) Resolver la inecuación:x + 8 < 3x + 4
05) Resolver la inecuación:2x + 4 > 5x – 8
06) Resolver la inecuación:3x + 7x – 5 < 5x + 20
07) Dar el intervalo de variación de (6x – 5), si: x
2 ; 8]
08) Dar el intervalo de variación de (-3x + 2), si x
2 ; 8]
09) Dar el intervalo de variación de:
10) Sean:A = {x
R / -2 < x
3
,
x 2
15}B = {x
11) Del problema anterior, hallar A
si x
2;8
R / -5
x < 10}Hallar A
B
B
12) Resolver: –x + 2 < 3x – 9
13) Determinar el mayor valor entero que verifica:
x 17
28
x
28
17
2
14) Resolver:
(x – 2)(x + 3)(x – 4) > 0
15) Resolver:
(x – 4)(3x – 1)(5 – x)
0
16) Resolver:
x2 – 3x – 4 < 0
103
17) Resolver:
x2 – 2x – 2
18) x2 – 6x + 9
0
0
19) Resolver:
(x – 4)2> 0
20) Resolver:
(3x – 1)2 0
21) Calcular la suma de los números enteros (x) tal que:2
x
7
22) Resolver:
5x + 13
16 + 2x
23) Hallar el mayor valor de “x” que verifica:
4x – 56
16 – 2x
24) Si x
2 ; 3 , entonces (x + 5) pertenece al intervalo:
25) Si x
[2; 5]. Calcular el mínimo valor de (x – 3)
26) Si (x + 3)
[3 ; 7]. Calcular el máximo valor de “x”
27) Resolver:
2x 4
8
3
2
2x
7
6
4
28) Si “x” es un número entero y además 5 < x < 7, calcular
29) Si: x
-1 ; 2
3x – 5 >
(x + 3)
2x – 4, por lo tanto x pertenece al intervalo:
30) Resolver:
(x + 1)2 + 3 > 0
31) Si x
[-2 ; 3], hallar: a + b, si a
2–3x
b
104
32) Resolver:
2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
33) Resolver:
(x2 – 3) (x + 1) – (x2 + 3) (x - 1) < 0
34) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x:
x2 + mx + n < 0, es: C.S. =
1; 3
35) Resolver:
x2 + x + 3 > 0
105
Aplicaciones de ecuaciones y desigualdades
Ecuaciones lineales
1. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación un artículo tiene marcada una
rebaja de 20%. si su precio de liquidación es $2, ¿Cuál era su precio original?
2. A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de
cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60¢ por artículo
producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90¢, encuentre cuántos
artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000.
Ecuaciones cuadráticas
1. (Problema de costo)Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia
fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj.
2. (Decisión de producción y de precio)Cada semana, una compañía puede vender
unidades de su producto a un precio de
. A la compañía le cuesta
dólares cada uno, en donde
dólares producir
unidades.
a. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un
ingreso de $17 500?
b. ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una
utilidad semanal de $5500?
Desigualdades lineales
1. (Decisión de producción)Un fabricante puede vender todas las unidades que produce
al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12 000 al mes; y además, le cuesta
$22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la
compañía para obtener utilidades?
2. (Utilidades del fabricante)Un fabricante de artefactos eléctricos puede vender todas
las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana
de $15000 y costos por unidad de $100 en materiales y mano de obra. Determine el
número de artefactos eléctricos que deberá fabricar y vender cada semana, con el
propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000.
106
Desigualdades cuadráticas
1. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo
pueden venderse al mes en el mercado, con
. ¿Cuántas unidades
deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18
000?
2. (Utilidades)Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25
cada una. El costo
(en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por
. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la
semana para obtener alguna utilidad?
3. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 120
clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50¢ en el
precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener
ingresos semanales de al menos $520?
107
SESIÓN 8: Relaciones Binarias
TEMA: RELACIONES
Introducción:
Ya Descartes nos daba, en sus trabajos, una idea de lo que era una función; pero fue
Leibniz quien introdujo este término en matemáticas, para designar cierto tipo de fórmulas; y
posteriormente Euler nos brindaría la notación
y = f (x). Actualmente existe un concepto
mucho más general en el que se incluye a la función: la correspondencia.
Previamente veamos algunos conceptos:
PAR ORDENADO
Un par ordenado está formado por dos elementos a y b y se representara así: (a; b).Donde a se
llama primera componente y b segunda componente. Según la definición estricta, un par
ordenado se define así:
(a ; b) = {{a}; {a ; b}}
Propiedades
1) (a ; b) (b ; a)
2) (a ; b) = (c ; d)
a=c
b=d
Ejemplos:
El par ordenado (1 ; 2) no es igual al par (2 ; 1)
(3 ; b) = (a ; 8)
3=a b=8
PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y B, denotado por A x
B, se define como el conjunto de pares ordenados (a; b), donde a A y b B; así:
A x B = {(a; b) / a A b B}
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {0; 1; 2} y B = {m; n}, entonces:
* A x B = {(x; y) / x
A
y
B}
A x B = {(0 ; m) , (0 ; n) , (1 ; m) , (1 ; n) , (2 ; m) , (2 ; n)}
B x A = {(m ; 0) , (n ; 0) , (m ; 1) , (n ; 1) , (m ; 2) , (n ; 2)}
Podemos observar que el conjunto A x B es diferente al conjunto B x A, es decir:
A x B B x A, el producto cartesiano no es CONMUTATIVO
108
PROPIEDADES:
1. Siendo A y B dos conjuntos diferentes. Entonces: A x B
BxA
2. Sean A y B dos conjuntos finitos, tales que el cardinal de A (número de elementos del
conjunto A) es n(A) y el cardinal de B es n(B), entonces: n(A x B) = n(A) . n(B)
3. El producto cartesiano A x B es un conjunto infinito, si al menos uno de los conjuntos A ó
B e un conjunto infinito.
4. El producto cartesiano A x B es un conjunto vacío, si al menos uno de los conjuntos A ó
B es un conjunto vació; así:
Ax = ; xB=
5. Si A es subconjunto de C y B es subconjunto de D, entonces A x B será subconjunto de
C x D, es decir:
A B B D
AxB CxD
6. A x (B C) = (A x B) (A x C)
A x (B C) = (A x B) (A x C)
A x (B – C) = (A x B) – (A x C)
7. Siendo:
A x A = (B x B)
A x A = (B x C)
8. Siendo: A = B
A x A = (B x B)
A x A = (B x C)
A = B C, se cumple que:
(C x C)
(C x B)
C, se cumple:
(C x C)
(C x B)
NOTA:
El conjunto producto se puede extender para más conjuntos; por ejemplo, para
el caso de tres conjuntos A , B y C, el conjunto producto de estas se denota por A x B x C y
se define así:
A x B x C = {(a;b; c) / a
A
b
B
c
C}
Este conjunto está formado por ternas ordenadas.
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A = {0; 1}, B = {m; n}, C = {p; q}
A x B x C = {(0 ; m ; p) , (0 ; m ; q) , (0 ; n ; p) , (0 ; n ; q) , (1 ; m ; p) ,
p) , (1 ; n ; q)}
(1 ; m ; q) , (1 ; n ;
109
REPRESENTACION GRAFICA DE UN PRODUCTO CARTESIANO
Para poder observar alguna característica para los pares ordenados que conforman un
producto cartesiano (o también para ternas ordenadas), es conveniente realizar una
representación gráfica de este.
Existen muchas formas de realizar dicha representación, y dependen principalmente del número
de elementos que tiene cada conjunto con los que se quiere efectuar el producto cartesiano. A
continuación veremos uno de ellos.
Diagrama Cartesiano o Gráfica Cartesiana
Sean los conjuntos:
A = {x ; y ; z ; w}
y
B = {a ; b ; c}
Para representar el producto cartesiano A x B, tomemos dos líneas coincidentes de un
punto “0”, una horizontal y otra vertical, a las cuales denominamos “eje horizontal” y “ eje
vertical “respectivamente. Sobre la primera ubiquemos a los elementos de A y sobre la
segunda a los de B. luego de trazar líneas paralelas a los ejes por estos elementos, se
determinan puntos de intersección entre ellas, siendo cada uno de estos puntos la
representación de un par ordenado de A x B.
Por ejemplo, P representa el par ordenado (z; b)
B
c
P
b
a
A
x
y
z
w
DEFINICIÓN: Dados dos conjuntos A y B distintos del vacíos una relación de A en B es una
regla de correspondencia que asocia un elemento del conjunto A con un elemento del
conjunto B.
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA REALACIÓN
Diagrama Sagital o de Venn – Euler
En este diagrama se utilizan flechas que salen del conjunto de partida hacia el conjunto de
llegada.
Ejemplo:
Sean: A = {x; y ; z ; w} y B = {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}
Definimos:
R: A
B así:
R= {(x ; 5) , (x ; 9) , (y ; 6) , (y ; 7) , (w ; 7) , (w ; 9)}
110
Entonces, su representación mediante el diagrama sagital será:
Donde:
Dom(R) = {x ; y ; w} y
Ran(R) = {5 ; 6 ; 7 ; 9}
En el grafico podemos comprobar que:
Dom(R) A y Ran(R)
B
Diagrama Cartesiano
Veamos este tipo de diagrama mediante un ejemplo:
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {Liz;José;Hans;John}; B = {300;350;400;450; 500}
Se define la correspondencia: R : A
B, así:
R = {(Liz; 350), (José; 450), (Hans; 400)}
Cuya grafica cartesiana será:
B
500
450
400
350
300
A
Liz José Hans John
De donde:
Dom(R) = {Liz;José; Hans} y
Ran(R) = {350;450; 500}
111
RELACIONES DE A EN A
Definición.- Dado conjunto A no vació, una RELACIÓN R de A en A es aquella
correspondencia definida como:
R:A
A, tal que:R = {(x ; y)
A x A / P(x ; y)}
Donde: P(x ; y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relación.
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {2;3;4; 5}, con el cual:
A2 = A x A ={(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5), (4 ; 2) , (4 ; 3) , (4
; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 2) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}
Son las relaciones definidas en A las siguientes:
R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 3) , (5 ; 2) , (5 ; 3)}
R2 = {(2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 4) ; (3 ; 5) , (4 ; 5)}
R3 = {(x; y) A2 / y = x + 1}
Para R3, de su regla de correspondencia: P(x; y): y = x + 1. Luego del conjunto A2, vemos los
pares ordenados que cumplen con esta regla de correspondencia. Dichos pares son:
(2; 3), (3; 4), (4; 5)
Por lo tanto, también podemos expresar la relación R3 de la siguiente forma:
R3 = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)}
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada la relación: R : A
B, el dominio de R (Dom(R)) se define como el conjunto de las
primeras componente de los pares ordenados que conforman la relación ; y el rango de R
(Ran(R)) como el conjunto de las segundas componente; es decir:
Dom(R) = {x
A / (x ; y)
R}Ran(R) = {y B / (x ; y)
R}
También:
Dom(R) A
Ran(R) A
Ejemplo:
Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:
R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3)}
Dom (R1) = {2; 3}
,
Ran (R2) = {2;3 ; 4 ; 5}
R2 = {(0; 1, (0; 2, (0; 3, (1; 2), (2; 3)}
112
Dom (R1) = {0;1; 2} ,
Ran (R2) = {1;2; 3}
RELACIONES DE R EN R
En el Álgebra, las relaciones de mayor importancia son las que se definen en el conjunto de los
números reales (R), es decir; aquellas relaciones de la forma:
R:R
R ó R RxR
Ejemplos:
Encontrar el dominio y rango de la relación:
S = {(x ; y)
R2 / x2 +y2 16}
De la regla de correspondencia; x2 + y2 16
Tenemos:
2
y

1er . miembro
2
16
x


2do. miembro
Vemos que el 1er término de la desigualdad no es negativa entonces el 2do miembro
tampoco debe serlo, por lo tanto:
16 – x2 0
x2 16
-4
x
4
Luego: Dom(S) = -4 ; 4
También tenemos: x2 16 – y2; análogamente a la parte anterior obtenemos:
16 – y2 0
y2 16
-4
y
4
Entonces: Ran(S) = -4 ; 4
REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACIÓN
A partir de su gráfica, podemos hallar algunas propiedades y para ciertas relaciones incluso
hallar su dominio y rango. Usamos las representaciones gráficas (vistas anteriormente) de
una correspondencia.
Ejemplo:
Sea el conjunto: B = {3, 4; 5; 6; 7}, se define la relación:
R = {(x; y)
B2 / xy 20}
Utilizando el diagrama sagital para relacionar un elemento del conjunto de partida con otro
del conjunto de llegada, tal que su producto sea menor o igual a 20.
113
Dom(
3
4
3
4
5
5
6
6
7
7
Ran(
)
)
De donde:
R = {(3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5) , (3 ; 6) , (4 ; 3) (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (6 ; 3)}
Además: Dom(R) = {3; 4; 5; 6} = Ran(R)
TIPOS DE RELACIONES
Consideremos una relación R en A, es decir, R: A
Entonces se tiene:
A; donde A es un conjunto no vació.
1. Relación Reflexiva
Una relación R es reflexiva, si cumple la siguiente condición:
R es REFLEXIVA
Ejemplo:
{ a A : (a ; a)
R}
Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} en el cual definimos la siguiente relación.
R = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 4) ; (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}
De la cual observamos que:
Para 2 A: (2; 2) R
Para 3 A: (3; 3) R
Para 4 A: (4; 4) R
Para 5 A: (5; 5) R
Por lo tanto, R es reflexiva.
2. Relación Simétrica
Una relación R es simétrica cuando para todos los pares (a ; b)
también pertenece a R, es decir:
R es SIMÉTRICA
{ (a ; b)
R : (b ; a)
R; existe el par (b ; a) que
R}
Ejemplo:
Sea: A = {2;3;4; 5}, definimos la relación:
R = {(2 ; 3) , (2 ; 4), (3 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 3) , (2 ; 2) , (4 ; 4)}
Notación lo siguiente:
Para (2; 3)
R: (3; 2)
R
114
Para (2; 4)
Para (3; 5)
Para (3; 2)
Para (4; 2)
Para (5; 3)
Para (2; 2)
Para (4; 4)
R: (4; 2)
R: (5; 3)
R: (2; 3)
R: (2; 4)
R: (3; 5)
R: (2; 2)
R: (4; 4)
R
R
R
R
R
R
R
Luego la relación R es SIMÉTRICA
3. Relación Transitiva
La relación R se denomina TRANSITIVA cuando los pares (a ; b)
también pertenece a R, así:
R es TRANSITIVA
Ejemplo:
{ (a; b)
(b; c) R: (a; c)
(b ; c)
R, el par (a ; c)
R}
Sea: A = {2;3;4; 5}, se define la relación:
R = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5) , (2 ; 4) , (3 ; 5) , (2 ; 5)}
Tomando todos los pares posibles de la forma (a ; b) y (b ; c), observamos:
Para (2; 3)
Para (2; 3)
Para (3; 4)
(3; 4)
(3; 5)
(4; 5)
R:
R:
R:
(2; 4)
(2; 5)
(3; 5)
R
R
R
Luego, R es una relación TRANSITIVA
4. Relación de Equivalencia
La relación R se dice que es de EQUIVALENCIA si y solo si R es reflexiva, simétrica y
transitiva a la vez.
Ejemplo:
Sea el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, en el cual se define la relación:
R = {(1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)}
De esta relación observamos:
R es reflexiva, pues siendo I = {(1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)} ; I
R es simétrica, porque (a ; b) R : (b ; a) R
R es transitiva, ya que:
Para (1 ; 1)
Para (1 ; 2)
Para (1 ; 2)
Para (2 ; 1)
Para (2 ; 1)
Para (2 ; 2)
(1 ; 2)
(2 ; 1)
(2 ; 2)
(1 ; 1)
(1 ; 2)
(2 ; 1)
R
R
R
R
R
R
:
:
:
:
:
:
(1 ; 2)
(1 ; 1)
(1 ; 2)
(2 ; 1)
(2 ; 2)
(2 ; 1)
R
R
R
R
R
R
R
115
Por lo tanto, R es EQUIVALENCIA
RELACION INVERSA
Sea un conjunto no vacío A y la relación R: A
R = {(x ; y)
A, tal que:
A2 / P(x ; y)}
Se define la relación inversa de A como:
R* = {(y ; x)
A2 / P(x ; y)}
Donde: Dom(R*) = Ran(R) Ran(R*) = Dom(R)
Ejemplo:
Sea
A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; se define la relación:
R = {(2 ; 3) , (4 ; 3) , (5 ; 3) , (5 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 4)}
Donde:
Dom(R*) = {3 ; 4 ; 5} = Ran(R)
Ran(R*)
= {2 ; 3 ; 4} = Dom(R)
116
PRÁCTICA DE RELACIONES
1. Dados los conjuntos:
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ;
.Entonces n(R) es:
R = {(x ; y) A x B/y – x – 2 = 0}
B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} y
2. Sean: M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ; N = {1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 25 ; 17} y R = {(x ; y)
x2}.Entonces, n(R) es:
MxN/y=
3. Sean: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} Se define la correspondencia: P = {(x ; y)
A x B/x + y es par}
Calcular n (P)
4. Sean: A = {16 ; 18 ; 20 ; 22} B = {20 ; 22 ; 23 ; 26}
Q = {(x; y) A x B / y = x + 4} .Calcular n (Q)
5. Sean: A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}
M = {(x; y)
Se define la correspondencia:
B = {5 ; 7 ; 10 , 12} Se define la correspondencia:
A x B / y – x es impar} .Hallar n (M)
6. Sean: A = {1;2;3 ; 4} ; B = {1 ; 3 ; 6 ; 8} y la relación) definida por “a” es menor que “b”, donde
(a ; b) A x B ¿Cuántos pares ordenados tiene la correspondencia ?
7. En A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se considera la relación: R = {(x ; y)
podemos afirmar que R es:
A2 /x = y v
x + y = 3}
R2 / x2 – 4y2 = 16} es reflexiva?
8. ¿Se puede afirmar que:
R = {(x; y)
9. Dada la relación: R = {(x; y)
N2 / y = 6 – x} ¿Se puede afirmar que
Dom(R) = Ran(R)
10. Del problema anterior, hallar la suma de los elementos del Dom (R)
R2 / y
11. Sea la relación: R = {(x ; y)
Cuyo: Dom(R) = {a; b} y
x2 – 9
y
-x + 3}
Ran(R) = {c; d}, el valor de:
a+b+c+d es:
12. Sea: S = {2 ; 3 ; 4} un conjunto cuyo número de elementos se expresa así: n (S) = 3
Si: R1 = {(x ; y)
S2 / y = x2} .Hallar n(R1)
13. Sea: R2 = {(x ; y)
14.
S2 / y – x = 1} .Hallar n(R2)
Sea la siguiente relación:
dominio de R1*
R1 = {(2;3), (4;6), (7;9), (8;11), (3;7) , (4;8)}
Hallar el
15. Dada la siguiente relación:
S = {(1 ; 2) , (3 ; 7) , (4 ; 3) ,
(3 ; 3)}
(2 ; 1) , (3 ; 4) , (7 ; 3) , (1 ; 1) , (4 ; 7) , (2 ; 2) , (4 ; 4) , (7 , 7) ,
¿S es de equivalencia?
117
16. Dada la siguiente relación: P = {(1 ; 3),(4 ; 2),(7; 9),(6 ; 3)} .Hallar P*
17. Sea: R = {(1;2) , (3;4) , (5;7)} y R* = {(m;1) , (4;n) , (p;5)} hallar: m +n + p
18. De la siguiente relación: S = {(3;4) , (7;2) , (4;3) , (2;7)} ¿S es reflexiva, simétrica, o
transitiva?
19. Dados los conjuntos: A = {5 ; 7 ; 8 ; 11 , 15}
B/y – x – 4 = 0}
B = {9 ; 11 ; 12 ; 19} R = {(x;y)
Ax
Entonces n(R) es:
20. Dados los conjuntos: P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
P x Q/y–x3 – 1 = 0}
Q = {2 ; 9 ; 65 ; 120 , 84} y R = {(x;y)
Entonces n(R) es:
21. Sean: M = {58 ; 63 ; 72 ; 85} N = {35 ; 26 , 49 ; 58} R = {(x ; y)
impar}.Hallar n(R)
22. Sean: A = [1 ; 2 ; 3 ; 4] ; B = {3 ; 4 ; 5 ; 6} y R = {(x ; y)
23. Si: A = {-1 ; 0 ; 1} R = {(x ; y)
M x N / x + y es
A x B / x = y} .Hallar n(R)
A2 /y2 = x2} .Hallar n(R)
24. Si: R1 = {(x ; y) R2 / y – x = 6} ; R2 = {(x ; y)
las componentes de los elementos de R1 R2
R2 / x +y = 8} calcular el producto de
A2 / x2 + x = y2
25. En: A = {-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} .se define la relación: R = {(x;y)
+ y}
¿R es reflexiva o simétrica?
26. Sean: R1 = {(x ; y) / x y} R2 = {(x ; y) / x +1 = y} R3 = {(x ; y) / x
Definidas en el conjunto A = {2 ; 4 ; 5 ; 6}
¿Se puede afirmar que:
R1 R2 R3?
27. En el problema anterior,
¿R1
y}
R3 es una relación de equivalencia?
28. Sea el conjunto: A = {(2;3) , (6;8) , (9;11) , (3;7)}.
Hallar la suma de los elementos del Dom(A*)
29. Sea la relación: R = {(5;9) , (3;7) , (4;6) , (11;2)} R* = {(7;a) , (2;b) , (c;5) , (6;d)}
Hallar a + b +c +d
30. Sea R una relación definida en A = {2 ; 3 ; 9} mediante: R = {(x ; y) / y + 1
Entonces, el número de elementos de R es:
x2}
118
SESIÓN 9: FUNCIONES
Conceptos Previos:
PAR ORDENADO:
Se define así:
(a ; b)
{ {a} ; {a ; b} }
(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} }
(5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} }
(3 ; 5) (5 ; 3)
Además:
(a; b)
Ejm:
(c; d)
a
c
b
d
(3 ; a) = (b ; 4)
b=3
a=4
Observación: (a ; a) = { {a} }
PRODUCTO CARTESIANO
A B
Ejemplo:
{ (a ; b) / a
A
b
A = {1 ; 2}
B}
B = {a ; b ; c}
A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) }
B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }
AxB
BxA
DIAGRAMA DE VENN:
AxB
A
B
1
a
b
2
c
PROPIEDADES:
1) A x B = B x A
A=B
2) A x B =
A
B
3) n(A x B) = n(A) x n(B)
119
Donde: n(A) = cardinal de A (# de elementos)
Ejemplo: n(A) = 2
n(B) = 3
n (A x B) = 6
RELACIONES
Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B.
Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }
Entonces:
R1 = { (1 ; 2) }
R2 = { (x ; y) / x
R3 =
y;x
A,y
B } = { (2 ; 2) }
FUNCIÓN
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
Una función F de A en B (f = A
B) es un conjunto de pares ordenados tal que
todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.
Ejemplo:
A
f
B
Si es función
A
f
B
Si es función
A
f
B
No es función
Definición Formal
Sea f : A
x
B una función, entonces se cumple:
A, ! y
B /(x ; y)
f
Condición de existencia
Si : ( x ; y )
f
( x ; Z)
f
y
Z
Ejemplo:
Sea f = { (2 ; x – y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una función. Halle: 2x – y
Solución:
x–y=3
x+y=4
2x = 7
120
x
7
2
y
1
2
2x
y
13
2
f
x y

2
3
x
y
3
4
Entonces se cumple: f
R
A B
NOTA:
. Toda función es una relación
. No toda relación es una función
NOTACIÓN:
f:
A

B
DOIMINIO
PREIMAGEN
IMAGEN
A
B
RANGO
DOMINIO O
CONJUNTO DE
PARTIDA
CONJUNTO
DE LLEGADA
O RANGO
Observación: Algunos matemáticos consideran:
Es función
Es aplicación
El dominio
esta formado
por todos los
elementos del
conjunto de partida
121
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R.
Ejemplo:
f= 0;1
R
f: R
R
DOMINIO:
Dom(f) = { x / (x ; y) f }
RANGO:
Ran(f) = { y / (x ; y)
f}
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Es aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con
los elementos del rango.
Ejemplo:
f
A
B
1
2
2
9
3
28
4
65
y
f( x )
Variable independiente
Variable dependiente
y = x3 + 1
f = { (x ; y) / x
Ejemplo:
A
y
B}
Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) }
Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4}
Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}
Ejemplo:
f(5) = 5
f
2
A
5
4
f(4) = 42
4
16
f(2) = 22
2
25
Entonces f(x) = x2 ; x
B
{2 ; 4 ; 5}
Grafica de una función real en variable real
La grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares
ordenaos que pertenecen a la función.
122
Gra(f) = { (x ; y)
R2 / y = f(x) ; x Domf }
Ejemplo:
y
y
F(x) = x3
x3
x
Dom f = R
TEOREMA:
Sea f: R
R. Si toda recta paralela al eje “y” corta a la gráfica a lo más en un
punto, dicha grafica será la representación de una función.
Ejemplo:
y
y
Recta
Recta
x
x
Es función
No es función,
es una RELACIÓN
NOTA:
Generalmente una función estará bien definida cuando se
especifique su dominio y regla de correspondencia.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN CONSTANTE
Regla de Correspondencia:
f( x )
y
C
f
c
Dom f = R
Ran f = {c}
c>0
x
Ejemplo:
1. Graficar: f(x) = 3 , x
R
y=3
Tabulando:
x ...
y ...
3
3
y
-4 -3 -2 -1
2
3
1 0 1 2 3
3 3 3 3 3
f
3
1 2 3 4 5
x
123
2. Graficar: f(x) = -2 ; x
-5 ; 2
y
-5
2
x
-2
y = -2
FUNCIÓN IDENTIDAD
Regla de Correspondencia:
f( x )
x
y
Y=x
a
Dom f = R
45°
a
Ran f = R
x
Ejemplo:
1. Graficar f(x) = x ; x
2;5
y
5
2
2
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Regla de Correspondencia:
5
x
f( x ) | x |
Dom f = R ; Ran f = 0 ; +
Sea y = |x|, tabulando:
x
y
3
3
2
2
-3 -2 -1
1 0 1 2 3
1 0 1 2 3
y
y=|x|
1 2 3
x
124
FUNCIÓN LINEAL
Regla de Correspondencia:
f( x )
mx b ; m
0
Pendiente de la recta
Dom f = R ; Ran f = R
y
y
f(x)
m>0
b>0
b b>0
m<0
b
x
b
x
b<0
m<0
m>0
b<0
Ejemplos:
y = 2x – 6
y = -3x + 1
y
y
0
b
1
x
x
-6
Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; -6) punto de corte con el eje y.
Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.
Observación: *
Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la
izquierda.
* Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la
derecha.
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
f( x )
ax2
bx c
; a
0
Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:
f( x )
a( x h)2
k
;
a 0
Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.
Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.
A continuación analicemos la gráfica de esta función, teniendo como referencia
a su discriminante.
A) Primer Caso
Si A > 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes
formas:
125
1)
y
a
f
0
0
h
x1
x
x2
k
v
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f(x).
Ran f = k ; + ; observar que el mínimo valor de la función es k
Dom f = R
2)
y
f
x1
k
v
a
h
x2
0
0
x
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.
Ran f = - ; k , observar que el máximo valor de la función es k.
B) Segundo Caso
Si + = 0, la gráfica podría tener cualquiera de las siguientes formas:
1)
y
f
a
0
Ran f = 0 ; +
x 1 = x2
2)
x
Dom f = R
y
x1 = x2
a
0
x
f
Donde x1 ; x2 son las raíces
reales e iguales.
Ran f = - ; 0
Dom f = R
C) Tercer Caso
Si + < 0, la gráfica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes
formas:
1)
126
y
f
a
0
v
k
0
Observar que la parábola no
interfecta al eje real “x” por lo
tanto no existen raíces reales
x
h
2)
Ran f = k ; +
y
h
a
0
0
k
x
Ran f = - ; k
v
NOTA:
Para completar cuadrados al polinomio: x2 + ax, se hace:
x2
ax
x
(x
2) 2
a
2
2
a
2
2
Ejemplos:
x2
4x
x2
2x
3x
2
5x
x
3
2
2 x
2
22
2
3
2
5
x
2
(x
2)2
4
2
2 x
5
4
2
5
4
2
f(x) = x2 – 6x + 8
f(x) = (x – 3)2 – (3)2 + 8 = (x – 3)2 – 1
v = (3 ; -1)
Ejemplo:
Si: x = 0, y = 8
(0 , 8) es el punto de corte en el eje “y”.
Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el
eje “x” y como l coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia
arriba.
y
f
Ran f = -1 ; +
8
2
-1
3
4
x
(El mínimo valor de
la función es -1)
Observe que para hallar el mínimo valor de la función cuando el coeficiente
principal sea positivo, basta calcular el vértice, ya que la segunda componente
indicara el mínimo valor de la función.
127
FUNCIÓN INVERSO MULTIPLICATIVO
1
x
f( x )
y
Dom f = R – {0}
x
Ran f = R – {0}
FUNCIÓN POTENCIAL
Regla de Correspondencia:
f( x )
xn
;n
Z+ ; n > 1 ; x
R
1er CASO: n es PAR
y
y
x6
y
x4
y
x2
x
Ran f = 0 ; +
Dom f = R
2do CASO: n es IMPAR
y
y
x3
y
x5
Ran f = R
x
Dom f = R
Observación:Sea y = ax2n ; n
y
a
1
y
N
x2
0 a 1
x
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Regla de correspondencia:
f( x )
x
;x
0
Su grafica es la siguiente y se obtiene tabulando:
128
y
y
x
Ran f = 0 ; +
Dom f = 0 ; +
x
Ejemplo:
1. Obtener la grafica de f( x )
x 2
Solución:
La grafica de esta función la obtendremos por desplazamiento
x.
horizontal, a partir de la grafica original y
y
y
y
x
y
x
2. Graficar: f( x)
y
x
6
2
y
x
y
x
x
2
y
y
x 2
6
x 5
x
y
x 6 2
2
6
x
Ran f = 2 ; +
Dom f = 6 ; +
129
PRÁCTICA DE FUNCIONES
1. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
señalar su dominio y rango
f = {(2; 4a-b), (3; b), (2; 3), (5; 6), (3;1)}
2. Hallar el dominio de la función:
F ( x)
5x
x 5
3. Indique el mínimo valor de la función g(x) = x2 - 8x + 15
4. Calcule ab, si el conjunto de pares ordenados representa una función:
f = {(2; 5), (-1; 3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a+b2; a)}
5. Si: A = {1;2;3;4;5;6}; B = {1;2;3;4} y F: A  B es una función, definida por:
F = {(x;1),(2;4),(4;4),(y;4),(z;3)}
Entonces: (x + y + z) es:
6. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función:
f = {(2; a-5),(9;4),(3;1),(2;6),(9;b-1)}
7. Graficar f(x) = 3; x
8. Graficar g(x) = 3; x
Calcular (a + b)
R
3;6
9. Graficar: g(x) = x
10. Graficar: f(x) = x; x
3; 6]
11. Se define la función G como sigue:
G( x )
x3
2x
;0
5;4
x
x
4
8
Si: 1 < x < 2, hallar G (3x + 2)
12. Si F es una función cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el
dominio de F.
F = {(a+b; b), (ab; a-b), (a: 1), (3b; a-1)}
16. Encontrar el rango de la función:
130
x
x
g( x )
3
;x
2
2;5
13. Indique el máximo valor de la función:
H(x) = -x2 – 6x + 12
Y
f
14. De los gráficos:
f (3 )
Calcule:
f ( 4)
3
5
4
8
g
3
2
1 2
g(3)
g(2)
15. Sea la función:
f ( x)
x 2 1; x
x
2
1; x
3 X
2; 4
9 ;12
Calcule f(f(3))
16. Calcule dominio, rango y gráfica de la siguiente función:
H( x)
x
1
2
17. Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función, dar su
dominio y rango
f = (3;5),(2a;6),(b-2;5),(4;7),(8;6)}
18. Dada la función:
f(x) = x 2 x 6 . DeteminarDom(f)
19. Hallar el rango de la función:
g = {(x2 ; x2-1) / x
2;5 }
20. Sean f y g dos funciones, tales que: f(x) = ax + 1,
f(1) = g(-1) y f(-1) = g(1) . Calcule: f(2) + g(3)
g(x) = 3x + b; además:
21. Del gráfico calcule (a+b), si “f” representa una función valor absoluto.
Y
12
f
b
a
X
22. Calcule el rango de la función:
131
f(x) = x2 - 5x + 1
23. Si f: 3; 5 
x 3x – 1
12; 15
Calcule la suma de valores enteros del rango de la función.
24. De la figura
Y
f
4
1
-2
X
7
Calcule (Dom f) g (Ran f)
25. Hallar el rango de la función:
4x
f ( x)
x
2
1
26. Calcular el dominio de la función:
f(x) = 5
3
x
27. Si f y g representan funciones:
g
f
0
2
7
9
1
2
3
4
5
6
1
2
3
Calcule:
f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5)
28. Si x
5; 4 , calcule el rango de la función:
f(x) = x2 + 4x + 7
132
SESIÓN 10: Modelos Funcionales
Modelos Funcionales
1. Modelos de Costo Lineal.- En la producción de cualquier bien por una
empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y
costos variables.
Los costos fijos, no dependen del nivel de producción. Ejemplos de costos fijos
son las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración.
Los costos variables, dependen del nivel de producción; es decir de la cantidad
de artículos producidos. Los
Costos de los materiales y de la mano de obra son ejemplos de costos variables.
El costo total está dado por:
Donde:
: Costo total
: Costo variable por unidad.
: Costos variables totales al producir
: Costos fijos.
unidades de artículos.
Ejercicios:
1. El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150
al día. Determine el costo total , de fabricar x mesas al día. ¿Cuál es el
costo de fabricar 100 mesas al día?
2. El costo de fabricar 100 cámaras a la semana es de $700 y el de 120
cámaras a la semana es de $800.
a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que es lineal.
b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad?
3. A una compañía le cuesta $75 producir 10 unidades de cierto artículo al día y
$120 producir 25 unidades del mismo artículo al día.
a) Determine la ecuación de costos, suponiendo que sea lineal.
b) ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos al día?
c) ¿Cuál es el costo variable y el costo fijo por artículo?
4. Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la semana y los
costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine
la relación entre el costo total y el número de unidades producidas,
suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la
semana?
133
2. Ley de la Oferta y Demanda
Una relación que especifique, la cantidad de un artículo determinado que los
consumidores están dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de la demanda.
La ley más simple es una relación del tipo
En donde es el precio por unidad del artículo y y son constantes. La
gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda.
Una relación que especifique la cantidad la cantidad de cualquier artículo que los
fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se
denomina ley de la oferta. La grafica de una ecuación de la oferta (o ley de la
oferta) se conoce como curva de la oferta.
Ejercicios
1. Cuando el precio es de 80 unidades monetarias (u.m.) se venden 10 relojes y
se venden 20 cuando el precio es de 60 u.m. ¿Cuál es la ecuación de la
demanda?
2. Cuando el precio es de 50 u.m. hay disponibles en el mercado 50 cámaras
fotográficas; cuando el precio es 75 u.m. hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál
es la ecuación de la oferta?
3. Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor,
las ventas ascienden a 200 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por
televisor, las ventas son de 240 unidades. Determine la ecuación de
demanda, suponiendo que es lineal.
4. A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1200 unidades de su
producto, y a $15 por unidad, 4200 unidades. Determine la relación de la
oferta, suponiendo que sea lineal.
5. A un precio de $2.50 por unidad, una empresa ofrecerá 8000 camisetas al
mes; a $4 cada unidad, la misma empresa producirá 14 000 camisetas al
mes. Determine la ecuación de la oferta, suponiendo que es lineal.
3. Análisis del Punto de Equilibrio
Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por
las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los
ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción
es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de
modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades
producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.
Ejercicios
1. El costo variable de producir cierto artículo es de 90ȼ por unidad y los
costos fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.20 cada uno.
¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya
ganancias ni pérdidas?
134
2. Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los
costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno
a $6.00, responda a cada uno de los incisos siguientes.
a) Encuentre el punto de equilibrio.
b) Determine el número de unidades que deben producirse y
venderse al mes para obtener una utilidad de $1000 mensuales.
c) Obtenga la pérdida cuando sólo 1500 unidades se producen y
venden cada mes.
3. El costo de producir artículos está dado por
y cada
artículo se vende a $4.
a) Encuentre el punto de equilibrio.
b) Si se sabe que al menos 450 unidades se venderán, ¿Cuál debería
ser el precio fijado a cada artículo para garantizar que no haya
pérdidas?
4. El costo de producir artículos a la semana está dado por
. Si cada artículo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio.
Si el fabricante puede reducir los costos variables a $4 por artículo
incrementando los costos fijos a $1200 a la semana, ¿le convendría
hacerlo?
5. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) El costo de producir artículos
al día está dado en dólares por
. si cada artículo
puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio.
6. (Análisis no lineal del punto de equilibrio) el costo de producir artículos
al día está dado en dólares por
. Si cada artículo
puede venderse a $10, encuentre el punto de equilibrio.
7. (Equilibrio del mercado)determine el precio y cantidad de equilibrio para
las curvas de demanda y oferta siguientes:
a)
b)
c)
d)
8. (Equilibrio de mercado) un comerciante puede vender diariamente 200
unidades de cierto bien en $ 30 por unidad y 250 unidades en $27 por
unidad. La ecuación de oferta para ese bien es
.
a) Determine la ecuación de demanda para el bien, suponga que es
lineal.
b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
c) Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se cobra un
impuesto de $3.40 por unidad del bien. ¿Cuál es el aumento en el
precio y cual la disminución en la cantidad demandada?
d) ¿Qué subsidio por unidad aumentará la demanda en 24 unidades?
e) ¿Qué impuesto aditivo por unidad debe cobrarse en el bien, de
modo que el precio de equilibrio por unidad aumente en $1.08?
135
9. (Equilibrio de mercado) A un precio de $ 2400, la oferta de cierto bien es
de 120 unidades; mientras que su demanda es 560 unidades. Si el precio
aumenta a $2700 por unidad, la oferta y la demanda serán de 160 y 380
unidades, respectivamente.
a) Determine las ecuaciones de demanda y oferta, suponiendo que
son lineales.
b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.
c) Si se cobra un impuesto al bien de $110 por unidad, ¿Cuáles son
los nuevos precio y cantidad de equilibrio?
¿Cuál es el aumento en el precio y la disminución en la cantidad?
¿Qué subsidio por unidad disminuirá el precio de mercado en $15?
136
SESION 11: Evaluación de la Unidad
PRÁCTICA DE REPASO DE LA UNIDAD
1) Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles
no.
Fundamenta tus respuestas.
a) A cada número real se le asocia su doble.
b) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos.
c) El peso de un estudiante y el número de estudiantes de un salón.
d) Las personas y la huella digital de su dedo índice de la mano derecha.
e) El número de latidos del corazón de una persona y las personas a las que se
les tomo las medidas.
2.Determina si la correspondencia dada por el conjunto de pares orednados es
una función
a)
(2, 3),(3,4),( 3,1),(4,5),(2,4)
b)
(1,2),(2,2),( 3, 3),(2,3),(3,3)
c)
(1,1),(3,4),(3,1),(4,5),(4,2)
3.Si f es una función determinar a,b e indicar su dominio y rango
1 a
),(1,4),(3,1 b),(3, a)
a)
e) (1,1
(1,27),(2,2),(2,4a 3b ),(1,3a )
2
1 a
1 a
),(3,4),(3,
),(1, a 1 b)
2
3
b)
(1,27),(7,2),(2,42a b ),(1,3a b ),(2,16)
f)
c)
(1,1 a),(3,4),(3,1 a),(4, a 1 b)
g)
(4,1 2a),(3,4),(3,
d)
(1, a b),( 3,2),(1,5 a),(1,6)
h)
(5,1 a),(3,4),(3,1 a),(5, a2
(1,
1 b
),(4, a 1 b)
2
137
2b)
4.¿Cuáles de los siguientes diagramas representan una función?
5.De los siguientes gráficos diga cuáles de ellos son funciones
6. En cada uno de los ejercicios siguientes hallar la ecuación de la recta con las
condiciones dadas:
a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m=4
3
3
m
7 3
b) Pasa por el punto ( 2 ,1) con pendiente
1 (
)
2 4
c) Pasa por el origen y de pendiente -1
d) Corta al eje x en 3, de pendiente 2
138
e) Corta al eje x en 6 y al eje y en 3
f) Pasa por el punto (-2,5) y perpendicular a la recta que pasa por los puntos
(0,2)y (-1,5)
g) Que pasa por (0,4) y es paralela a la recta 3x+y=-1
h) Pasa por el punto (5,6) y es perpendicular a la recta que corta a los ejes x e
y en 3 y 4 respectivamente
i) Es perpendicular la recta y=-2x+2 y pasa por el punto (2,6)
j) Pasa por (5,4) y es paralela al eje y
k) Pasa por (2,4) y es paralela al eje x.
17. Determinar, dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y
graficar las siguientes funciones cuadráticas
4x 1
b)
f ( x) 2 3x 2x2
c)
f ( x) 2 4 x 3x2
d)
f ( x) 3x2
e)
f ( x) 2x2 f)
8
a)
x2
f ( x)
g)
f ( x)
i)
f ( x)
x2
f ( x)
4x 1
2 4x
x2
x2
f ( x) 2 x2
h)
j)
4
6x 13
4x
f ( x) x( x 3) 14
18. Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y
3x
5
b) y
x
c) y
5
x
3
d) y
4x 2
2
2
139
TERCERA UNIDAD
I. COMPETENCIA: Desarrolla habilidades lógico matemáticas para identificar y
plantear problemas de la realidad, y tomar decisiones para su resolución,
desenvolviéndose con responsabilidad y actitud proactiva.
II. CAPACIDADES
1. Conoce la teoría de Matrices y Determinantes.
2. Aplica los métodos para hallar la inversa de una matriz.
3. Aplica el determinante de una matriz.
4. Conoce la Teoría de sistemas de ecuaciones lineales.
5. Aplica la teoría de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales a
problemas de la vida real.
SESIÓN 12
TEMÁTICA:
MATRICES: DEFINICIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. TIPOS DE MATRICES.
OPERACIONES CON MATRICES. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES.
SESIÓN 13
TEMÁTICA:
MÉTODO DE REDUCCIÓN DE INVERSAS. DETERMINATES Y REGLA DE CRAMER.
SESIÓN 14
TEMÁTICA:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
SESIÓN 15
TEMÁTICA:
APLICACIONES DE MATRICES Y DETERMINANTES.
SESIÓN 16
TEMÁTICA:
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
140
SESIÓN 12: Matrices: definición y construcción de matrices. Tipos de
matrices, operaciones con matrices.
CÁLCULO MATRICIAL
INTRODUCCIÓN
El primero que empleó el término matriz fue el inglés JamesJoseph Silvestre (18141897) en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos
habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
equivalente al método de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con números.
Prueba de ello es que el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra matemática
china más importante de la antigüedad.
Arthur Cayley(1821- 1895) es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia
siendo uno de los primeros en estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858
publicó unas
“Memorias sobre lateoría de matrices” en la que daba ladefinición de matriz, suma de
matrices, deproducto de un número real por una matriz,de producto de matrices y de
inversa deuna matriz. Cayley afirma que obtuvo laidea de matriz a través de la
dedeterminante y también como una formaconveniente de expresar
transformacionesgeométricas.
El concepto de matriz alcanza múltiplesaplicaciones tanto en la representación
ymanipulación de datos como en el cálculonumérico y simbólico que se deriva de
losmodelos matemáticos utilizados pararesolver problemas en diferentes
disciplinascomo, por ejemplo, las ciencias sociales, lasingenierías, la economía, la
física, laestadística y las diferentes ramas de lasmatemáticas entre las que
destacamos lasecuaciones diferenciales, el cálculonumérico y, por supuesto, el
álgebra.
MATRICES Y DETERMINANTES
 Matrices: se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números
reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
A m,n
a11
a 21
a 31

a12
a 22
a 32

a m1 a m2

a13
a 23
a 33

 a1n
 a 2n
 a 3n
 
a m3  a mn
Terminología:
 Las matrices suelen describirse o nombrarsecon letras mayúsculas, A,
B, C, … etc. También designaremos una matriz completa con el símbolo
a ij , de forma que los subíndices toman los valores:
i 1, 2, 3, , m y j
1, 2, 3, , n .
141
La variación de éstos últimos proporciona el número de filas (m) y el número de columnas (n).
 Los números que forman la matriz se denominan elementos y uno cualquiera se representa por a ij . Los valores de los subíndices nos proporcio-

nan la información sobre su posición dentro de la matriz, fila i,
columna j.
 Al número de filas y columnas se le denomina dimensión de la matriz y
se designa por m×n .
 En el caso de que el número de filas coincida con el de columnas (m=n)
se dice que la matriz es cuadrada de orden n.
 Se llama submatriz de una matriz dada a la que resulta de suprimir
alguna fila o alguna columna de esta última.
Igualdad de matrices: dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión
y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
 Tipos de matrices:

Rectangular: es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas,
es decir m n .
1 2
1
1 2
3 3
1 0 3
5
5 0 1 1
 Ejemplos: A3,2 0 3 , B2,3
, C3,5
5 3 1
5 0
2 3
7 0 1

Fila: es toda matriz rectangular de una sola fila (m=1).
 Ejemplos: A1,4 1 3 0 5 , B1,3 1 0 1 , C1,6

Columna: es toda matriz rectangular con una columna (n=1)
 Ejemplos: A 4,1

1 1 2 3 6 1
1
0
1
1
5
, B2,1
0
3
0
, C5,1
1
2
1
Cuadrada de orden n: es aquella que tiene igual número de filas que de
columnas (n=m).
 Ejemplos: A 2,2 A 2
1 0
, B3,3
0 1
1 0 1 0
1 2 1
B3
0 1 0 , C4,4
1 2 3
C4
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
Entre los elementos de las matrices cuadradas suelen distinguirse, o
tenerse en cuenta, los que componen sus diagonales. Diagonal
principal de la matriz A 3
a11 a12
a 21 a 22
a 31
a 32
a13
a 23 son los elementos
a 33
a ij con i=j , es decir, los elementos a11 ,a 22 ,a 33 . Diagonal
secundariason los elementos a ij con i
j n 1 , es decir, los
elementos a13 ,a 22 ,a 31 .

Triangular superior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos
situados por debajo de la diagonal principal son nulos.
142
 Ejemplos: A 2


2 3
0
2
0
0
5 0
0 1
1 , C4
1
2
3
1
7
0 0 10
0 0 0
3
3
Triangular inferior: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos
situados por encima de la diagonal principal son nulos.
 Ejemplos: A 2

1 3
, B3
0 1
5
1 0
, B3
1 1
5
5
0
5
2
0
2
0
0 , C4
2 1
0
1
0
0
0
0
2 1 10
7 6 4
0
3
Triangular: es toda matriz cuadrada que es triangular superior o inferior.
 OBS.- son todas las que aparecen al resolver sistemas por el método de
triangulación de Gauss, además de en la búsqueda de la inversa de una
matriz dada y en el cálculo del rango de una matriz.
Diagonal: es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados
sobre la diagonal principal son nulos.
 Ejemplos: A 2
1 0
, B3
0 1
5 0 0
0 2 0 , C4
0 0 1
5 0
0 1
0
0
0
0
0 0 10
0 0 0
0
3
 OBS.- las matrices unidad son todas diagonales.

Escalar: es toda matriz diagonal en la que los términos de la diagonal
principal son iguales. La matriz unidad de cualquier orden es una matriz
cuadrada, diagonal, escalar.
 Ejemplos: A 2


1 0
, B3
0 1
5 0 0
0 5 0 , C4
0 0 5
3
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
3
Unidad (identidad): es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal
principal valen uno. Se suele nombrar como I n , siendo n el orden de la
matriz.
Cero (nula): es la matriz con todos sus elementos nulos. Se suele nombrar
por O n o simplemente O.
 Operaciones con matrices:

Suma: para dos matrices, A y B, de la misma dimensión, m n , la suma de
ambas, A B , es la matriz de la misma dimensión, m n , dada por la suma
de sus términos correlativos:
A
a ij , B
bij
A B
a ij
bij
a ij bij
143
 Ejemplos: sean A
suma será A
Sean A 2,4
será A 2,4
B
a11 a12
a 21 a 22
a13
a 23
a 31
a 33
a 32
y B
b31
a11 b11 a12
a 21 b 21 a 22
b12
b 22
a 31 b31
b32
a 32
1 0 2 3
y B2,4
2 1 6 4
B2,4
b11 b12
b 21 b 22
4
0 3 2
2
2
1 2
b32
a13 b13
a 23 b 23 .
a 33 b33
4 3
2 2
1
b13
b23 , entonces su
b33
2 5
, entonces su suma
3 1
2
3 5
6 3
4 1
3 3 0 8
0 3 9 5
 OBS.- no podemos sumar matrices que no tengan la misma dimensión.
Además la suma de matrices cumple todas las propiedades de la suma
de números reales.
A B C
Asociativa: A B C
Elemento neutro: la matriz nula es el elemento neutro, A O A
Elemento opuesto: la matriz opuesta de una matriz A es aquella que
A O,
tiene por elementos los opuestos de la matriz dada y A
siendo O la matriz nula.
2 3 0 5
7 0 1 3
 Si A
A
A
2
7
3
0
0
1
5
3
2 2
A
1
, entonces
4
7
3
7
3
0 0
da como resultado S

1
, ya que
4
1
0 0
5
5
1
3
3
1 1
4
4
, que
0 0 0 0 0
.
0 0 0 0 0
Conmutativa: A B B A
Producto por un escalar: o producto por un número real, k. Para multiplicar
por un número una matriz de cualquier dimensión, A a ij de dimensión
m n , se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por
dicho número.
 Ejemplos: k A
 Sean k

2;A
k
a11 a12
a 21 a 22
a13
a 23
k a11
k a 21
k a12
k a 22
k a13
k a 23
a 31
a 33
k a 31
k a 32
k a 33
a 32
1 2 1
3 5 0
k A
Producto en general: para dos matrices A
B
2 4 2
6 10 0
a ij , de dimensión m×n , y
bij , de dimensión n ×p , el producto es la matriz de dimensión m×p
144
n
dada por A B
a ij
bij
cij , con cij
a ik b kj , es decir, cada elemento
k 1
cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la
columna j de la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos.
 OBS.-muy importante, para que dos matrices se puedan multiplicar
entre si la primera ha de tener el mismo número de columnas que filas
tiene la segunda.
1 2 3
 Ejemplos: sean A 2,3
3 2 1
y B3,2
1
1
3
0
2 , el producto A B
4
será:
1 2 3
3 2 1
1
1
0
2
3
4
11 2
31 2
1
1
3 3 10 2 2 3 4
13 3 0 2 2 1 4
8
8
4
8
.
Sin embargo el producto B A será:
1
1
3
0
2
4
11 0 3
12 0 2
13 01
11 2 3
12 2 2
13 21
31
4 3 3 2
4 2 3 3
4 1
1 2 3
3 2 1
1
5
9
2
2
2
3
1 .
5
 OBS.- muy importante, el producto de matrices, generalmente no cum-

ple la propiedad conmutativa.
Producto de matrices cuadradas: en el conjunto M n de las matrices
cuadradas de orden n, el producto de matrices siempre es posible llevarlo a
cabo y además obtenemos una matriz cuadrada de orden n.
 Propiedades y características:
A B C
Asociativa: A B C
Elemento neutro: A In
orden n.
 I2
1 0
, I3
0 1
In A A , donde I n es la matriz unidad de
1 0 0
0 1 0 , etc. …
0 0 1
Distributiva: A B C
A B A C
Conmutativa: no siempre se cumple la propiedad conmutativa, es
decir A B B A , cuando dos matrices cualesquiera la cumplen se
dice que son conmutables.
Producto de matrices no nulas → matriz cero: el producto de dos
matrices cuadradas no nulas puede ser la matriz nula o cero, es decir
A On y B On y sin embargo A B On .

5 1
10 2
1
2
5 10
0 0
0 0
145
Inversa: A 1 / A A 1 A 1 A In , es decir, es aquella que multiplicada por la matriz da como resultado la matriz unidad del mismo
orden. No siempre existe.
2 7
1 4
 A
1
A A

1
A
4
1
1
7
, ya que:
2
2 7
1 4
4
1
7
2
1 0
0 1
Regular: en el caso de que exista A 1 a esta se la llama regular.
Singular: si no existe la inversa de una matriz A, a esta se la llama
singular.
Potencias de matrices cuadradas: potencias de exponente natural, se trata
de una prolongación de la misma operación con números reales. Así:


A
A
A1
A ; A2
A A ; A3
A A A A2 A A A2 etc...
Transposición: se llama matriz transpuesta de una matriz dada A de
dimensiones m n a la matriz que resulta de cambiar filas por columnas
o columnas por filas. Serepresenta por A t y su dimensión es n m . En una
matriz cuadrada la transpuesta conserva el mismo orden.
 Ejemplos: A
A
a11 a12
a 21 a 22
a13
a 23
a 31
a 33
1 2 3
a 32
A
5 6 7
t
A
t
1 5
2 6 , B
3 7
a11
a12
a 21
a 22
a 31
a 32
a13
a 23
a 33
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0 1 2
B
t
1 4 7 0
2 5 8 1
3 6 9 2
 Principales propiedades:
At
t
A , es decir, la transpuesta de la transpuesta de una matriz
es ella misma.
1 2 3
 A
A B
4 5 6
t
At
A
t
1 4
2 5
At
t
3 6
1 2 3
4 5 6
Bt , es decir, la transpuesta de una suma es igual a la
suma de las transpuestas.
 Dadas las matrices: A
1
3
1
2
1
3
4 ;B
1 0
2
1
0
3
0
1
1
4 1
146
Sus traspuestas son: A
t
1 3
2 1
1
1 ; Bt
2
0
1
3
1
4
3
0
0
1
1
1
2
2
2 3
4 5
5 1
4
1 2
3
1
1 1
Su suma es: A B
1
Su transpuesta es: 2
2
2 3
4 5
5 1
2 0
1 3
1
4
t
3 0
4 1
0 1
1 2
2 4
3 5
2
5
1
A B
t
La suma de las transpuestas es:
1 2 3
1
2 0
1 3
3 0
4 1
Luego A B
k A
t
t
1 1
1
4
0 1
At
1 2
2 4
3 5
2
5
1
At
Bt
Bt , c.q.d.
k A t , es decir, la transpuesta del producto de un escalar
por una matriz es igual al producto del escalar por la transpuesta de la
matriz.
A B
t
Bt A t , es decir, la transpuesta de un producto es igual al
producto de las transpuestas.
1
3
 Dadas las matrices: A
1
Sus traspuestas son: A
t
2
1
3
4 ;B
1 0
2
1
0
3
0
1
1
4 1
1 3
2 1
1
1 ; Bt
2
0
1
3
1
4
3
0
0
1
1
4
Su producto, A B , es:
1
3
1
2
1
3
4
1 0
2
1
0
3
0
1
1
4 1
2 2 3 6 12 2 3
6 1 4 3 16 1 4
2 1
3
1
1
9
6
13
3
3
5
5
1
147
1
9
3
Su transpuesta es:
6
13
3
5
5
1
t
1
6
5
9
13
5
3
3
1
t
A B
El producto de las transpuestas, Bt A t , es:
2
0
1
3
1
4
1 3
2 1
1
1
0
1
1
3
0
4
t
Luego A B
2 2 3 6 1 4 2 1
6 12
3 16
3
2 3
1 4
1
1
6
9
13
3
3
5
5
1
Bt A t , c.q.d.
 Simétrica: se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada tal que su
transpuesta coincide con la propia matriz. A A t
OBS.- en toda matriz cuadrada simétrica los elementos simétricos
1 2 3
respecto de la diagonal principal son iguales, 2
3 4 , ya que
3 4 5
1 2 3
2 3 4
3 4 5
t
1 2 3
2 3 4
3 4 5
 Antisimétrica (hemisimétrica): se llama matriz antisimétrica o hemisimétrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su
0
1
transpuesta,
2
0
1
2

1
0
3
2
3
0
t
1
2
0
3
3
0
0
1
2
1
0
3
ya que:
2
3
0
0
1
2
1
1
0
3
2
3
0
Rango de una matriz: se llama rango o característica de una matriz A al
número de filas y columnas, distintas de cero, independientes.
 Cálculo práctico del rango de una matriz: calculemos el rango de las
siguientes matrices:
A
B
0 2
1 0
1
1
0 2
1 0
1
1
0 4
2
0 0
0
2
0
1 1 1
0 1 0
2
0
1 1 1
0 1 0
2
0
1
0
0
0
2
0
1 1
0 1
E3 2 E1
E3 E1
rango 2,
0 0
0 1
E3
2
0 2
1
1 0
1
2
0
1 1 1
0 1 0
0
0
1
0
0 0
0 1
.
148
Podríamos llegar a
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
, en la que ninguna fila ni columna
se anula, luego es de rango 4.
C
1 2 3
1 1 0
2
4 6
E3 2 E1
1 2 3
1 1 0
0
0 0
rango 2,
1
2 3
1 1 0
149
SESIÓN 13:Métodos para encontrar la inversa de una
matriz. Determinantes.
Método para encontrar la matriz inversa (la matriz compañera): el método de la matriz compañera o de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa de una matriz dada, si es que existe, se basa en el método de
triangulación de Gauss.
1 2
, construyamos otra con compañera la matriz
3 7
 Sea la matriz A
unidad del mismo orden
1 2 1 0
. Se trata de, mediante
3 7 0 1
combinaciones lineales, pasar a otra matiz de la forma
1 0 a b
,
0 1 c d
a b
, sería justamente la inversa de
c d
donde la matriz compañera final,
la matriz A.
Paso a paso: 1º haremos que en el lugar del 3 tengamos un 0, para
ello haremos la combinación lineal E 2 3 E1 , donde E1 representa
la primera fila y E2 la segunda de nuestra matriz completa, es decir E1
serían los elementos 1 2 1 0 , E2 los elementos 3 7 0 1 , con
lo que el resultado de la combinación lineal sería:
3 7 0 1
3 1 2 1 0
3 3 7 6 0 3 1
0 1
3 1
Sustituimos la segunda fila completa de nuestra matriz por el resultado
de esta combinación lineal, quedándonos la nueva matriz:
1 2
0 1
1 0
3 1
Ahora se trataría de hacer 0 el lugar ocupado por el 2, para ello hacemos la combinación lineal:
E1 2 E2
1 2 1 0
2 0 1
3 1
1 2 2 1 6 0 2
Sustituimos la primera fila por el resultado de esta combinación lineal,
quedándonos:
1 0
0 1
7
3
2
, donde
1
7
3
2
1
A
1
es la matriz inversa
buscada.
Haciéndolo todo seguido:
1 2 1 0
3 7 0 1
E 2 3 E1
1 2
0 1
1 0
3 1
E1 2 E 2
1 0
0 1
7
3
2
1
150
Comprobamos:
A A
1 2
3 7
1
7
3
0
0
0 0
1 0
0 1
0 0
0
3
1 0
1 1
0
0
1 1 1
2
0
1
1 0
1 1
0
1
1 1 1
2
2 2
6 7
1 2
0
1 0
0 2
0 0
E 2 E3
1 0
0 1
0 0
0
2
0 0
1 0
2 2
0
2
1 1 1
2
0
0
1 0
2 2
0
3
1 1 1
2
1
2
0
2
Donde la matriz inversa es A
1
1
1 2 0 0 1
1 0
0 2
E 2 2 E3
0 1 2 0 0 1
E 2 E3
1 0
, c.q.d.
0 1
1 0 0 1 0 0
1 2 3 0 1 0
1º matriz compañera
1 0 0 1 0 0
0 2 3 1 1 0
E1 E 2
1 2 0 0 1
1 0
0 2
7 6
21 21
1 0 0
1 2 3
Paso a paso: A
1 0 0 1 0 0
1 2 3 0 1 0
2
1
1
E2
2
1 0
0 1
0 0
1 E3
0
3
1 0
1 1
0
0
1 1 1
2
0
1
1 0
1 1
0
1
1 1 1
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
2
1
0
2
1
0
3 .
2
Comprobamos:
A A
1
1 0 0
1 2 3
0
1 2
1
2
1
0
2
1
0
3
2
1
0
1 4 3 4 3
2 2
2 2
0
6 6
3 4
1 0 0
0 1 0 , c.q.d.
0 0 1
 NOTA: cuando se vean determinantes se verán otros métodos para su
búsqueda y resolución.
151
0
3
2
Ejercicios De Matrices
P1.- Dadas las matrices A
1
3
2
,B
2
0 3
yC
1 2
1
0
3
, calcular:
2
a) A B C
b) 2 A 3 B
c) A
B 2 C
d) 3 A 2 B 3 C
P2.- Comprobar la propiedad asociativa A
B C
A B
C con las matrices
del ejercicio anterior.
P3.- Determinar las matrices A y B si:
a) 2 A B
b) 3 A 2 B
5 12 7
4 2 7
11 25 0
20 10 35
P4.- ¿Son permutables las matrices A
2
3
1
2
6
9 yB
1
1
1
P5.- ¿Por qué matriz hay que multiplicar la matriz
1
3
1
2
2
1
3
0
1
1 0
para que resulte la matriz
2 1
5 2
?
6 3
152
DETERMINANTES
 Determinante: se llama determinante de una matriz cuadrada de orden 2
al número real tal que si:
A2
a11 a12
a 21 a 22
det A 2
A2
a11 a12
a 21 a 22
a11 a 22 a12 a 21 , es decir, el
producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los
elementos de la diagonal secundaria.

Para una matriz cuadrada de orden 3, A 3
a11 a12
a 21 a 22
a 31
minante de A3 al número real det A 3
A3
a13
a 23 , se llama detera 33
a 32
a11 a12
a 21 a 22
a13
a 23
a 31
a 33
a 32
a11 a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21 a 32 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33 a13 a 22 a 31
 Para recordar con más facilidad el desarrollo del determinante se utiliza la
“regla de Sarrus”, que dice:
El desarrollo de un determinante de una matriz cuadrada de orden 3
es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal
principal y los de las líneas paralelas a ella, multiplicados por el
elemento del vértice opuesto, menos el producto de los elementos
de la diagonal secundaria y el producto de los elementos de las
líneas paralelas a ella, multiplicados por el elemento del vértice
opuesto.
Hay un esquema gráfico más sencillo de recordar:
* * *
* * *
* * *
Sumandos
positivos
* * *
* * *
1 2 7
Ejemplo: 1 0 1
4 5 7

Sumandos
negativos
* * *
0 8
35
0 5
14
18
Existe otra forma de desarrollar determinantes de cualquier grado, que es el
desarrollo por filas o por columnas. Es algo complicado de explicar con palabras si desconocemos el significado de términos como permutación de n elementos, permanencia, inversión e índice de una permutación. Hay otros métodos como el de Chío y el de Gauss.
 Conceptos nuevos para realizar desarrollos de
determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden:
 Menor complementario: parauna matriz cuadrada de orden n, An a ij ,se
llamamenor complementario del elemento a ij , y lo representamos por
ij
,
al determinante de la matriz cuadrada de orden n–1 que resulta de suprimir la
fila i y la columna j.
153


1 2 3 4
5 6 7 8
A4
menor de a12
9 0 1 2
3 4 5 6
2,
5 7 8
9 1 2
12
3 5 6
Adjunto: para una matriz cuadrada de orden n, A n
a ij , se llama adjunto
del elemento a ij y lo representamos por A ij , al menor complementario de a ij ,
1
anteponiendo el signo que resulta de la potencia


A
1 2 3 4
5 6 7 8
adjunto de a12
9 0 1 2
3 4 5 6
2, A12
i j
1
, Aij
1 2
1
i j
ij
.
5 7 8
9 1 2
3 5 6
Matriz adjunta: es la transpuesta de la matriz de los adjuntos de una matriz dada.

a11  a1n
  
An
A
A11  A n1
  
*
n
a n1  a nn
Ejemplo: A3
A1n  A nn
3
4
2 1
1 0 , los adjuntos serán:
2 3
1
A11
1
A 21
1
A31
1
1 1
2 1
3 1
1 0
2 3
2 1
2 3
2 1
1 0
3 ; A12
8 ; A 22
1 ; A32
1
4 0
1 3
1 2
1
2 2
1
1 3
12 ; A13
1
3 1
1 3
10 ; A 23
1
3 1
4 0
4 ; A 33
3 2
3
Matriz de los adjuntos,
8
1
12
1
4 1
1 2
3
1
2 3
3 3
3
4
9
2
2
2
1
4
11
9
10
4
4
11
3
8 -1
*
La matriz adjunta será A 3 = -12 10 4 , es decir, la transpuesta de la
9 -4 11

matriz de los adjuntos.
Determinante de una matriz cuadrada de orden n: para una matriz
cuadrada de orden n cualquiera, el valor del determinante de la misma es
igual a la suma de los productos de una fila (columna) cualquiera por sus
adjuntos respectivos.
 Veámoslo con unos ejemplos:
154
Sea el determinante A
A
1
5
9
3
2
6
0
4
3
7
1
5
4
8
2
6
1
1
1 1
6 7 8
0 1 2
4 5 6
2
1 2 3 4
5 6 7 8
9 0 1 2
3 4 5 6
1
1 2
, su valor numérico será:
5 7 8
9 1 2
3 5 6
3
1
1 3
5 6 8
9 0 2
3 4 6
4
1
1 4
5 6 7
9 0 1
3 4 5
, los determinantes 3x3 los desarrollamos por Sarrus:
36 56 32 60 60 84 720 48 100 756 108 864 120 972 72 1008 80 1080
0
 OBS.- si conseguimos que en una fila o en una columna se reduzcan
todos sus términos a ceros menos uno, el desarrollo sería un solo
determinante de orden uno menor que el original, en eso se basa la regla
de Chío.
5 2
0 1
1 4
4 7
0 3
0 5
2 8
6 5
5
1
1 1
1
3
4 7
2 8
5
6
5 238 1190
5
 Propiedades de los determinantes:

Para facilitar el enunciado de alguna de las propiedades, consideremos
una matriz cuadrada de orden n, A a ij , en la que con Fi y C j designamos
una fila o una columna cualquiera y el determinante de dicha matriz vendrá
det C1,C2 ,,Cn .
representado por: A det A det F1 , F2 ,, Fn
 El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su
transpuesta.
det A
det A t
 OBS.- según esto, cualquier propiedad de los determinantes se
sigue cumpliendo cuando se sustituye la palabra columna por fila y
viceversa.
 Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican
por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por
dicho número.
det F1 , F2 ,, k Fi ,, Fn
k det F1, F2 ,, Fi ,, Fn
 Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden
descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma
de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas)
excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan,
respectivamente, a cada uno de los determinantes.
det F1 ,, Fi F'i ,, Fn
det F1,, Fi ,, Fn
det F1, , F'i , , Fn
 Sitodos los elementos de una fila (columna) son cero,el valor del
determinante es cero.
 El determinante del producto de dos matrices cuadradas coincide
con el producto de los determinantes de ambas.
155
det A B
det A det B ó An Bn
An Bn
 Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas (columnas), su determinante cambia de signo.
det F1 ,, Fi ,, Fj ,, Fn
det F1 ,, Fj ,, Fi ,, Fn
 Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) iguales, su determinante es cero.
det F1 , F2 , F2 , Fi ,, Fn
0
 Si una matriz cuadrada tiene dos filas (columnas) proporcionales, su
determinante es cero.
det F1 ,, k F1 ,, Fi ,, Fn
0
 Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son
combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir, son el
resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero.
det F1 , F2 , 2 F1 F2 , Fi ,, Fn
0
 Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le
suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su
determinante no varía.
det F1 , F2 ,, Fi ,, Fn
det F1, F2 ,,a F1 b F2 Fi ,, Fn
 Dado un determinante, se puede hallar otro de igual valor tal que,
elegida previamente una fila (columna), todos los elementos de ella
sean cero, salvo uno.

k An = k n A n
 En general : An + Bn

A n + Bn
Según esto, y volviendo al ejemplo anterior, tendríamos:
1 2 3 4
5 6 7 8
E 2 E1
9 0 1 2
3 4 5 6
1 2 3 4
4 4 4 4
9 0 1 2
3 4 5 6
E 4 E1
1 2 3 4
4 4 4 4
sacando factores 4 y 2
9 0 1 2
2 2 2 2
8
1 2 3 4
1 1 1 1
9 0 1 2
1 1 1 1
como hay dos filas iguales el valor del determinante es nulo, c.q.d.
 Matriz inversa, método de cálculo:
Estudiaremos otro proceso de cálculo de la matriz inversa de otra dada mediante
el uso de los determinantes y encontraremos una condición que nos va a permitir
asegurar cuándo una matriz tiene inversa.

Consideremos la matriz cuadrada de orden n, A
a11  a1n
   , se llama
a n1  a nn
matriz adjunta de una matriz cuadrada An, a la matriz Aij cuyos elementos
son los transpuestos de los adjuntos de los elementos a ij . La representamos
por Adj A
A* :
156
Adj A

A11
A 21
A12  A1n
A 22  A 2n

A n1
  
A n 2  A nn
El producto de la matriz A por la transpuesta de la matriz Adj(A) es una matriz
escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son el determinante
de A.
A A
a11  a1n
  
a n1  a nn
*
A11  A n1
  
A1n  A nn



A

0
0

A
A In
 En virtud de la relación anterior podemos asegurar que:
La condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que
su determinante sea distinto de cero (que sea una matriz regular).
La matriz inversa de una matriz inversible coincide con la transpuesta de la
matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz dada:
Ya que A A*
In
1
A A*
A
1
A In
A
de la definición de matriz inversa, A A

In
A
A -1 =
1
A*
A
In , y
A*
A
Para que una matriz An, admita matriz inversa A n-1 , es preciso que sea una matriz
regular ( An

1
In
0 ).
La matriz inversa A n-1 de una matriz regular An se obtiene dividiendo cada
*
elemento de la matriz adjunta A n por el determinante A n .
 Propiedades de la matriz inversa:
1
 k An -1 = An-1 , k R (siendo k
k
-1
 An Bn = Bn-1 An-1

Ant
-1
= An-1
0)
t
157
SESIÓN 14: Regla de cramer y sistema de ecuaciones lineales
Resolución de sistemas de forma matricial, Regla de Cramer:

a11 x1 a12 x 2  a1n x n
c1
a 21 x1 a 22 x 2  a 2n x n
c2

a n1 x1 a n 2 x 2  a nn x n c n
, en este sistema se pueden considerar las
matrices:

a11  a1n
  
A n,n
A n , matriz de los coeficientes (cuadrada).
a n1  a nn



x1
x2

xn
c1
c2

cn
X n,1 , matriz de las incógnitas (matriz columna).
C n,1 , matriz de los términos independientes (matriz columna).
Como An,n y Xn,1 se pueden multiplicar (el número de columnas n de la primera
matriz es igual al número de filas n en la segunda), recordando la multiplicación de
matrices, el sistema se puede escribir en su forma matricial:


A n,n X n,1
a11 … a1n
  
an1  ann
Cn,1
Sistema de Cramer: Un sistema lineal de igual número de ecuaciones que de
incógnitas en el que la matriz de los coeficientes es regular se llama sistema de
Cramer.

a11 … a1n
  
an1  ann
x1
x2

xn
=
c1
c2

cn
, con A n
normalmente se escribe An X

x1
c1
x2
c
= 2


xn
cn
0
C
Resolución de un sistema de Cramer por la regla del mismo nombre:
 Sean las matrices A xi obtenidas al sustituir, respectivamente, en An (matriz de
los coeficientes)la columna i por la columna de los términos independientes,
158
a12  a1n
a 22  a 2n
c1
c2
A x1

cn

an2
a11
a 21
A xn
 
 a nn
a12  c1
a 22  c2

  
a n1 a n 2  cn
x1
A x1
An
; x2
A x2
An
, A x2
a11
a 21
c1  a1n
c 2  a 2n

  
a n1 cn  a nn
, ········,
, resultan para las incógnitas los valores:
;  ; x n
A xn
An
, que es la solución del sistema.
OBS.- la matriz A x1 se obtiene sustituyendo en la matriz A n la primera
columna (la de los coeficientes de x1 ) por la columna de los términos
independientes, la A x 2 sustituyendo la segunda columna (la de los

coeficientes de x 2 ) por la columna de los términos independientes, y así
sucesivamente.
MUY IMPORTANTE: le regla de Cramer solo es válida para sistema compatibles
determinados, que es en lo que se traduce que la matriz de los coeficientes sea
regular.
Actividades de aplicación
 Calcula el valor de los siguientes determinantes:
1 2 3
 4 5 6
7 8 9
1 0 1
 0 1 0
0 0 1

1
4
4
9
9 16
16 25
9 16 25 36
16 25 36 49
 Resolver las ecuaciones:
159
3
2
x
1
x
3
x 10
1
1
6
12
0

2
 1
3
x
7
1
2 x
 1
5
0
x
2
1
1
2
3
0
x
 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:
1 1 1 1 1
1 3 3
 1 3 5
1 3 5
1 3 5
1

1
1
3 3
5 5
7 7
7 9
2
3
 n
0
2
3
0
 n
 n
    
1 2 3  0
a b
a
a
a b
a
 Calcula el valor del siguiente determinante: a
a
a
a b
 Determinar las matrices inversas:
 A3
3
0
1 1
4 2
0
0
1 2
 B3
0 3
4 2
1
1
1
7
160
SESIÓN 15: Aplicaciones de Matrices y Determinantes.
Problemas Aplicativos:
1. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de
20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su
número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido
una mujer más, su número igualaría a de los hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han
ido de excursión.
b) Resolver el problema.
Solución:
Si llamamos x, y, z, al número de hombres, mujeres y niños, respectivamente,
que fueron de excursión, tendremos:
Para estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matriz de coeficientes
y la matriz ampliada:
Como
; el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de cramer; para ellos calculamos los
valores de:
Luego, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.
2. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una
calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en
la primera y un punto menos que en la tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida
en cada una de las preguntas.
b) Resolver el sistema.
161
3. Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número
total de matriculados es 352, pero los matriculados en la tercera son sólo
una cuarta parte de los matriculados en la primera.
Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados
en la segunda es inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la
tercera.
a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos
matriculados en cada sucursal.
b) Resolverlo.
4. Parte de los huéspedes de un pequeño hotel se encuentra en el
comedor; en el mismo momento otra parte se encuentra en la sala de
estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan del
comedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la
biblioteca a la sala de estar. Ahora, ha quedado el mismo número de
personas en cada una de las tres estancias.
a) Plantear un sistema para determinar cuántas personas se
encontraban inicialmente en cada habitación.
b) Resolverlo para determinar cuántos huéspedes se alojan en el hotel.
162
SESIÓN 16: Evaluación De La Unidad
PRÁCTICA DE REPASO DE LA UNIDAD
1. Determine la matriz
para la cual
2. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique.
a)
b) Calcule el mínimo valor de
en:
3. Determine los valores matriciales de las variables para las cuales las
siguientes ecuaciones matriciales son válidas.
a)
b)
4. Efectúe las operaciones indicadas simplifique.
a)
b)
5. Calcule los siguientes determinantes.
a)
b)
6. Determine
en:
7. Por medio de la regla de cramer resuelva los siguientes sistemas de
ecuaciones.
a)
163
b)
c)
d)
8. El comercio entre tres países I, II y III durante 1986 (en millones de
dólares estadounidenses) está dado por la matriz
en donde
representa las exportaciones del país al país .
El comercio entre estos tres países durante el año de 1987 (en millones
de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.
Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres países
en el período de 2 años, 1986 y 1987.
9. Una compañía tiene plantas en tres localidades, X, Y y Z, y cuatro
bodegas en los lugares A, B, C y D. El costo (en soles) de transportar
cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por
la siguiente matriz.
X
Y
Z
A
B
C
D
a) Si los costo de producción se incrementan uniformemente es $1
por unidad, ¿Cuál es la nueva matriz?
b) Si los costos de transportación se elevan en un 20%, escriba los
nuevos costos en forma matricial.
164
10. Una empresa usa cuatro diferentes materias primas
en la
elaboración de su producto. El número de unidades de
usadas por unidad del producto son 4, 3, 2 y 5, respectivamente. El
costo por unidad de las cuatro materias primas es de $5, $7, $6 y $3,
respectivamente. Exprese el costo total de las materias primas por
unidad del producto como el producto de dos matrices.
11. Una empresa utiliza tres tipos de materias primas
en la
elaboración de dos productos
. El número de unidades de
usados por cada unidad de
son 3, 2 y 4, respectivamente,
y por cada unidad
son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la
empresa produce 20 unidades de
y 30 unidades de
a la semana.
Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como productos de
matrices.
a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?
b) Si los costos por unidad (en dólares) para
son 6, 10 y
12, respectivamente, ¿Cuáles son los costos de las materias
primas por unidad de
?
c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la
semana en la producción de
?
12. Aplicar la regla de cramer en las siguientes aplicaciones:
a) Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas,
una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos puntos
más que en la primera y un punto menos que en la tercera.
a.1) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación
obtenida en cada una de las preguntas.
a.2) Resolver el sistema.
b) En un jardín hay 22 árboles entre naranjas, limoneros y membrillos. El
doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos,
es igual al doble del número de naranjos.
b.1) Plantea un sistema para determinar cuántos árboles de cada tipo
hay. ¿Es posible resolverlo?
b.2) Si, además, sabemos que el número de naranjos es el doble del de
limoneros, ¿Cuántos árboles hay de cada tipo?
165
BIBLIOGRÁFIA
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Aplicadas a la Administración y a la Economía . Quinta edición.
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GEOGEBRA mucho más que geometría dinámica. Primera edición.
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Razonamiento Matemático. Primera edición. Editorial Lealtad S.A.C.
Lima Perú. Biblioteca UCV.
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Ciudad de México.
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LEITHOLD, Louis. (1990). EL CÁLCULO CON GEOMETRÍA
ANALÍTICA.Ed. Mc Graw Hill. México.
SOLER FAJARDO, Francisco / REINALDO NÚÑEZ (2009)
Fundamentos de Matemática. Tercera edición. ECOE ediciones.
Bogotá D.C. Biblioteca UCV.
166