Capítulo 3 En Influencia de la plasticidad (2D) los modelos analizados por Barroso [14] se considera deformación plana y deformación plana generalizada. En dicho trabajo una de las contribuciones de la parte numérica fue la obtención de los Factores de Intensificación de Tensiones Generalizados (FITG) para esquinas con distintas configuraciones de material y distintas orientaciones (en el caso de los laminados de composites). Con los exponentes característicos de la esquina obtenidos de la parte analítica de su investigación, Barroso buscó un procedimiento para el cálculo de los FITG basado en un procedimiento de ajuste por mínimos cuadrados. De esa manera fue posible encontrar el peso de cada uno de los términos del desarrollo en serie y representar las tensiones y desplazamientos por una suma de estos, permitiendo visualizar el peso de cada uno de ellos en el estado tensional. Aunque estos resultados hayan sido de considerable importancia en el tema de singularidades en esquinas multimateriales, este estudio (desde un punto de vista de la MFEL) estaría limitado en caso de que en la esquina – y más específicamente en el adhesivo – apareciera plastificación. En la Mecánica de la Fractura Elasto-Plástica (MFEP), se puede estimar el tamaño de la zona plástica en el fondo de la grieta. Esta estimación puede ser obtenida mediante la sustitución de las ecuaciones del campo tensional en el fondo de la grieta en un criterio de plastificación, es decir, determinar los puntos donde las tensiones satisfacen el criterio de plastificación. En [30] y [31], entre otros, es presentada la obtención de la zona plástica para tensión y deformación plana mediante el criterio de von Mises. 26 Siguiendo la analogía de la MFEP, la evaluación de la plasticidad en la esquina (localmente) puede conllevar que el estado tensional calculado sea o no representativo. De entre las aportaciones que este análisis podría conllevar, el principal seria la propuesta (en etapa futura) de ensayos específicos en la unión para determinar los valores admisibles de los FITG. En la actualidad existen numerosos criterios para predecir la resistencia de la unión adhesiva. Al considerarse la plasticidad en el adhesivo, la bibliografía es ampliamente diversificada. En 1972, usando una versión modificada del criterio de von Mises, Bowden et ál. [32] llevaron a cabo ensayos con polímeros sugiriendo que un criterio del tipo von Mises modificado de tal modo que incluya la influencia de la tensión (o presión) hidrostática es más apropiado para representar el comportamiento de resinas epoxy. Más recientemente, Broughton et ál. [33] presentan un estudio paramétrico de la resistencia de uniones de solape simples con acero como adherentes, aprovechando la facilidad de los programas comerciales de MEF para investigar el efecto de parámetros como por ejemplo espesor de adhesivo, longitud del pegamiento, geometría del rebose, entre otros. Utilizaron los criterios de von Mises y DruckerPrager para simular la plasticidad acoplado a criterios de fallo. Entre los criterios de plastificación que consideran la influencia del tensor hidrostático, probablemente los más difundidos y ampliamente utilizados para la simulación de adhesivos sean el de Drucker-Prager [34], [35], [36], variaciones de este [37], [38] y el de Raghava et ál. [39], [40], [41], [23]. Guild et ál. [34] hicieron un estudio completo de la propagación de una grieta, considerada o no en un modelo MEF usando el criterio de Drucker-Prager para uniones de doble solape (con geometría distinta de la considerada en este trabajo), obteniendo buena correlación con la observación experimental, presentando el desarrollo completo del proceso de fallo en este tipo de unión. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 27 Dean et ál. [37] usaron los criterios de Drucker-Prager y una modificación cuadrática de este, siendo este último el que mejor se ajusta a los resultados experimentales. Durban et ál. [42] también utilizan expresiones del tipo Drucker-Prager en forma cuadrática, aunque su intención fuera estudiar la singularidad de grietas con materiales de comportamiento plástico y su efecto. Está razonablemente consensuado en la literatura que los criterios de plastificación que no dependen de la presión hidrostática son menos adecuados para representar el comportamiento de adhesivos en plasticidad. Por lo tanto, criterios como el de von Mises por ejemplo, no serían adecuados, pues asumen que la deformación plástica aparece con independencia del cambio del volumen [34]. En [36] se usan los criterios de Drucker-Prager y von Mises en cortadura, con una grieta entre el adhesivo y el adherente (aluminio), considerando la diferencia entre un criterio y otro despreciable. En 1973 Raghava et ál. [39] proponen un criterio de plastificación para polímeros basado en el de von Mises, pero teniendo en cuenta la dependencia del componente hidrostático con la inclusión del correspondiente término en la función de plastificación. Validaron su propuesta de criterio con los ensayos experimentales realizados en tubos. Desde entonces este criterio conquistó bastante aceptación en el medio científico y viene siendo empleado para modelar plasticidad en todo tipo de polímeros (aunque [23] lo considera como criterio de fallo). Inicialmente pensado para materiales casi-frágiles ([43], [44], [45], [46]), los modelos cohesivo [35], [47] y de daño [40], vienen siendo usados para simular el comportamiento de adhesivos. Crocombe [48] estudió un criterio basado en el colapso plástico de la unión aplicado a uniones de simple y doble solape. Más tarde Crocombe et ál. [40] estudiaron de que manera la energía de fractura y los campos de tensión y deformación en el adhesivo se verían afectados al incluir comportamiento elasto-plástico. Para ello usaron una especie Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 28 de modelo de daño (pero basado en Dugdale) con muelles en el plano de fallo, considerando o no una grieta. Usando el mismo tipo de adhesivo de este trabajo (y sirviendo como apoyo para obtención de algunas de las propiedades), se encuentran en la literatura trabajos recientes como [38], [23], [42]. El primer de ellos realizó ensayos diversos con probetas similares a la Iosipescu para evaluar la plastificación del adhesivo. Además de notar una fuerte y compleja dependencia de la tensión hidrostática en la plastificación, pone de manifiesto que algunos de los criterios más comúnmente utilizados para simular plasticidad, tales como el von Mises modificado [32] y el Drucker-Prager no son adecuados para caracterizar la plastificación local. Propone entonces la utilización de una transición suave en la extremidad mayor de la superficie cónica de DruckerPrager. También acaba optando por un estudio 2D en deformación plana. Aydin, utilizando uniones a solape simples presenta un análisis 3D, pero sin considerar el rebose. A continuación se presenta una breve descripción de algunos modelos de plasticidad. Esta será de vital importancia para entender los parámetros de entrada de los modelos más complejos, ya que éstos son meros desarrollos de los más simples. Tras esta descripción se realiza la simulación utilizando tres modelos: von Mises, Drucker-Prager y el de Raghava et ál [39]. 3.1. Modelo elastoplástico La teoría de la Plasticidad establece relaciones matemáticas que caracterizan la respuesta elastoplástica de los materiales [42]. En ese contexto, hay tres ingredientes fundamentales: el criterio de plastificación, la regla de flujo y la regla de endurecimiento del material. Para los modelos analizados en este trabajo, se ha considerado el comportamiento representado en la Fig. 3.1: Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 29 Fig. 3.1 – Comportamiento tensión-deformación bilineal isótropo. 3.1.1. Criterio de plastificación El criterio de plastificación determina el nivel de tensiones para el que se produce la plastificación. Para estados de tensión multidimensionales, el criterio se representa mediante una función de las componentes individuales, f ({σ }) , que puede ser interpretada como una tensión equivalente σ eq : σ eq = f ({σ }) (3.1) donde {σ } es el tensor de tensiones. Cuando la tensión equivalente es igual al límite elástico del material: f ({σ }) = σ y (κ ) (3.2) el punto comenzará a desarrollar deformación plástica. En la ec. (3.2), κ es el trabajo plástico (parámetro de endurecimiento). Si σ eq es menor que σ y , el punto es elástico y las tensiones se desarrollarán de acuerdo a relaciones elásticas de tensión-deformación. La tensión equivalente no podrá nunca exceder el límite del material, ya que en este caso se producirían deformaciones plásticas, reduciéndose por lo tanto las tensiones a este límite. La ecuación (3.2) puede ser representada en el espacio de tensiones como muestra la Fig. 3.2 para varios tipos de plastificación. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 30 Fig. 3.2 – Superficie de plastificación. Las superficies representadas en la Fig. 3.2 son conocidas como superficies de plastificación y cualquier estado de tensión dentro de las superficies es elástico, es decir, no causa deformaciones plásticas, produciéndose éstas cuando el estado tensional toca a la superficie de plastificación. 3.1.2. Regla de flujo La regla de flujo determina la dirección de la deformación plástica y viene dada por: {d ε } = λ p p dψ dσ (3.3) donde λ p es una constante llamada multiplicador plástico o factor de proporcionalidad (que determina la cantidad de deformación plástica) y Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 31 ψ es una función de las tensiones, denominada potencial plástico, y cuyo gradiente determina la dirección de la deformación plástica). Si ψ es la propia función de plastificación (como es asumido normalmente), la regla del flujo se denomina asociada y las deformaciones plásticas ocurrirán en una dirección normal a la superficie de plastificación. 3.1.3. Regla de endurecimiento La regla de endurecimiento describe el cambio de la superficie de plastificación con las deformaciones plásticas, de tal manera que las condiciones (estados de tensiones) para plastificación subsecuente puedan ser establecidas. En la Fig. 3.3 se presenta la regla de endurecimiento isótropo. Superficie inicial de plastificación Superficie de plastificación subsecuente Fig. 3.3 – Endurecimiento isótropo. En endurecimiento isótropo, la superficie de plastificación resulta centrada con respecto a su línea central y se expande en tamaño conforme se desarrolla la deformación plástica. En los siguientes apartados serán presentados algunos criterios de plastificación. Los dos primeros son el de Tresca y von Mises, que son criterios independientes del tensor esférico o presión hidrostática. En seguida serán presentados los criterios de Mohr-Coulomb, DruckerPrager y Raghava et ál., que son dependientes del tensor esférico. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 32 3.2. Criterio de Tresca El criterio de Tresca-Guest (1872) para materiales metálicos, propone que la plastificación ocurre cuando la tensión tangencial en un punto alcance un valor crítico k , correspondiente con la tensión tangencial máxima que aparece en el ensayo de tracción en el instante de la plastificación: En el ensayo Max 1 1 1 σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1 = k 2 2 2 de tracción uniaxial, en el (3.4) instante de la plastificación, σ 1 = σ eT , σ 2 = σ 3 = 0 y la tensión tangencial máxima es dada por: k = τ max = σ1 2 = σ eT (3.5) 2 donde σ eT es el límite elástico del material en tracción. Representando el criterio en el espacio de tensiones principales, resulta en un prisma hexagonal paralelo a la diagonal principal, siendo pues independiente de la tensión hidrostática. Se puede representar la superficie de plastificación en el espacio de tensiones principales como muestra la Fig. 3.4. 3.3. Criterio de von Mises Desde 1913 el criterio von Mises (1913), Hencky (1924) y Nadai (1934) [50], actualmente conocido como von Mises que mayormente es aplicado a materiales metálicos, propone una superficie de plastificación [31] representada por la función: f = J2 − k = 0 (3.6) siendo k la tensión de plastificación a cortadura pura, que puede ser escrita en función del límite elástico del material en tracción: k = σ eT Así, la ec. (3.6) puede escrita de la forma: Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 3. 33 f = 3 J 2 − σ eT = 0 ó f = q − σ eT = 0 (3.7) donde J 2 es el segundo invariante del desviador, que ya fue definido en VM el anterior capítulo, ec. (2.3). q = 3 J 2 = σ eq fue denominada como la tensión equivalente de von Mises, ec. (2.1). De la ec. (3.7), se concluye que la plastificación ocurrirá cuando: σ eqVM = σ eT (3.8) El criterio de von Mises se puede representar gráficamente en el espacio de tensiones principales. Así, para el criterio de von Mises, la superficie de plastificación es un cilindro de radio 2 T σ e y el eje del 3 cilindro es definido en la dirección de la tensión hidrostática σ m , donde: σm = I1 3 (3.9) La superficie circunscribe el hexágono de Tresca, tocando sus vértices (Fig. 3.4). Fig. 3.4 – Superficie de Tresca y von Mises. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 34 3.4. Criterio de Mohr-Coulomb Este criterio, concebido en 1900 [31], es una extensión del criterio de Tresca, incluyendo una dependencia con la tensión hidrostática. De acuerdo a este criterio, la plastificación ocurrirá cuando la tensión tangencial máxima alcance un valor crítico admisible que depende del valor de la tensión normal τ adm τ = f (σ ) : τ τ = f (σ ) Superficie de fallo σ τ = f (σ ) Fig. 3.5 – Representación gráfica del criterio de Mohr. La dependencia más sencilla es una línea recta y entonces se pueden extraer las relaciones más simplificativas que caracterizan este criterio, como se muestra en la Fig. 3.6: τ τ = c − σ tan θ θ σ1 + σ 3 2 σ3 σ1 θ c cos θ θ c σ σ1 + σ 3 2 Fig. 3.6 – Criterio de Mohr-Coulomb. La envolvente f (σ ) queda definida por lo tanto por la relación: Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 35 τ = c − σ tan θ (3.10) Representando la función de plastificación en el espacio de tensiones principales, ésta queda como una pirámide hexagonal, Fig. 3.7. 3.5. Criterio de Drucker-Prager Este criterio, basado en el trabajo de Drucker-Prager [51] de 1952, para suelos, es una extensión del criterio de von Mises. ec. (3.6), introduciendo una dependencia con la tensión hidrostática, resultando [31]: f = J 2 + β I1 − k = 0 (3.11) La representación de la superficie de plastificación en el espacio de tensiones principales es un cono cuya generatriz es la trisectriz ( σ 1 = σ 2 = σ 3 ). Si, análogamente al caso de von Mises con Tresca, hacemos que la superficie del cono circunscriba a los vértices de la pirámide hexagonal de Mohr-Coulomb obtenemos: k = β= 6 c cos θ y 3(3 − sin θ ) 2 sin θ (Fig. 3.8). c y θ son constantes del material (cohesión y 3(3 − sin θ ) ángulo de fricción interna respectivamente). Reescribiendo la ec. (3.11) en función del límite elástico en tracción, se obtiene: f = 3 J 2 + 3 β I1 − σ eT = 0 donde k fue sustituido por σ eT (3.12) 3 . Dicha ecuación puede ser reescrita como: f = 3 J 2 + 3 3βσ m − σ eT = 0 (3.13) O, de manera más compacta como: f = q + α σ m − σ eT = 0 (3.14) donde: Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 36 α = 3 3β = 6 sin θ (3 − sin θ ) (3.15) es el parámetro de sensibilidad a presión [23], [35], [49], como ya fue definido anteriormente. −σ 1 −σ 2 −σ 3 σ1 = σ 2 = σ 3 Fig. 3.7 – superficies de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager. La ec. (3.11) representa gráficamente el cono de la Fig. 3.7. Si β = 0 la función de plastificación se transforma en el criterio de von Mises. La presión hidrostática p es definida como p = −σ m . Cuando la tensión hidrostática es pequeña los resultados de ambos modelos son pues similares. Para niveles elevados de tensión hidrostática (positiva), el criterio de Drucker-Prager da resultados significativamente diferentes al de von Mises [29], siendo el admisible del módulo del tensor desviador más pequeño. En compresión la tensión hidrostática es negativa y el admisible del módulo del desviador es mayor que en von Mises. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 37 Fig. 3.8 – Superficies de von Mises y Drucker-Prager. 3.6. Criterio de Raghava et ál. El criterio que Raghava et ál. [39] propusieron para la plastificación en polímeros es: (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 + 2(σ eC − σ eT )(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 2σ eCσ eT (3.16) donde σ 1 , σ 2 y σ 3 son las tensiones principales, σ eC y σ eT representan el límite elástico en compresión y tracción (en valores absolutos), respectivamente. En el caso que σ eC = σ eT , este criterio se reduce al criterio de von Mises [50]: (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 2σ e2 (3.17) 3.7. Criterio de Drucker-Prager Extendido Los programas de MEF comerciales [49], [52] disponibles en el mercado generalmente admiten una forma extendida, pensada para cubrir algunas deficiencias del modelo de Drucker-Prager básico, tales como permitir el endurecimiento del material y suavización de la extremidad de la superficie de plastificación cónica. Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 38 El criterio de Drucker-Prager Extendido (EDP, en sus siglas en inglés) es una generalización del criterio de Drucker-Prager, ec. (3.14), en una forma polinomial del tipo: f = q b + α σ m − σ yb = 0 (3.18) La ec. (3.18) fue denominada aquí como función polinomial del modelo EDP y dependiendo del exponente b que lleve, esta función puede ser considerada lineal ( b = 1 ) o cuadrática ( b = 2 ) por ejemplo (aunque ANSYS permita otras formas, como hiperbólica o cúbica, en este trabajo solamente se consideraron las formas lineal y cuadrática). 3.7.1. EDP Lineal En el modelo EDP Lineal de ANSYS, el parámetro b = 1 y la ec. (3.18) queda de la siguiente forma: f = q + α σ m − σ eT = 0 (3.19) Esta ecuación, que coincide con el criterio de Drucker-Prager en su estructura, predice que la plastificación ocurrirá cuando: σ eqEDPLineal = σ eT (3.20) σ eqEDPLineal = q + α σ m . (3.21) donde: y α , como ya fue definido anteriormente por la ec. (3.15), es igual a 3 3β . 3.7.2. EDP Cuadrático Para evitar dificultades numéricas en la punta del cono (con infinitas normales en un punto) de la Fig. 3.8, ANSYS permite usar un modelo EDP Cuadrático, en el cual el exponente b = 2 y la ec. (3.18) queda de la siguiente forma: f = q 2 + α σ m − σ y2 = 0 (3.22) que predice la plastificación cuando se cumple f = 0 . Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 39 Para obtener una expresión compatible con la forma cuadrática, ec. (3.22), de ANSYS, se procedió a las manipulaciones que se presentan a continuación, que relacionan el EDP cuadrático con el criterio de Raghava et ál.. La influencia de la parte hidrostática del estado tensional en un criterio aparece en el término que tiene el primer invariante del tensor I1 . Así, la ec. (3.16) puede ser rescrita como: (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 + 2(σ eC − σ eT ) I1 = 2σ eCσ eT (3.23) Con el parámetro q definido anteriormente por la ec. (2.1), al cuadrado se obtiene: q2 = 1 (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 3J 2 2 (3.24) donde q es la tensión equivalente de von Mises. Dado que la tensión hidrostática es: σm = I1 , 3 (3.25) dividiendo la ec. (3.23) entre 2 e introduciendo la ec. (3.24), se obtiene: q 2 + (σ eC − σ eT )3σ m = σ eCσ eT (3.26) Representando el término del lado derecho de la ecuación como un término de correlación o media geométrica entre los límites de tracción y compresión, se puede escribir: 2 q 2 + (σ eC − σ eT )3σ m = σ adm (3.27) donde σ adm = σ eCσ eT es la tensión admisible. Definiendo un parámetro de sensibilidad [23] λ como: σ eC λ= T σe (3.28) que relaciona el límite elástico a compresión ( σ eC ) y tracción ( σ eT ). Multiplicando el según término del lado izquierdo de la ec. (3.26) por σ eT σ eT , se obtiene: 2 q 2 + α σ m = σ adm (3.29) Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas 40 donde: α = 3σ eT (λ − 1) (3.30) σ adm = σ eT λ (3.31) tiene unidad de tensión y también tiene unidad de tensión. En la Fig. 3.9 se muestra una representación de las funciones (3.22) y (3.19), EDP cuadrática y lineal respectivamente. Fig. 3.9 – EDP cuadrática y lineal. Combinando las relaciones (3.30) y (3.15), se llega a: 3σ eT (λ − 1) θ = arcsin 2 + σ eT (λ − 1) (3.32) Teniendo en cuenta que σ eT y λ son definidos positivos, la función sin θ estará definida entre [ 0,1] . En EDP Cuadrático la relación (3.15) deja de tener validez y α pierde significado físico (en ANSYS [49] no se advierte la diferencia en el α Lineal adimensional y α Cuad en unidades de tensión). Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas