CAPÍTULO 7 CRITERIOS DE PLASTIFICACIÓN ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE σ σ1 σ σ ty σ P εp Si σ ≤σy Comportami ento elástico del material Si σ ≥σy Comportami ento plástico del material ε σ Efecto Bauschinger σ Efecto de histéresis σ yt tracción compresión c σy ε ε ESTADO TENSIONAL TRIDIMENSIONAL ¿Cuándo se produce la plastificación de este punto elástico? CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN f (σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ yz ) = 0 CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN PARA UN MATERIAL ISÓTROPO Las propiedades mecánicas no dependen de la dirección en que se midan. Esto lleva a la afirmación de que no existe, dentro del sólido, ninguna dirección que predomine sobre las demás. Por tanto, un criterio de plastificación debería venir expresado en función de los invariantes del tensor de tensiones (magnitudes independientes del sistema de referencia que se tome) y no en función de las componentes del tensor en un sistema de referencia en particular. En base a esto, el criterio de plastificación debe tener la siguiente formulación: f ( I1 , I 2 , I3 ) = 0 En el caso de materiales metálicos, se ha comprobado experimentalmente que, el fenómeno de plastificación en un punto, es independiente de la componente hidrostática p del tensor de tensiones. Por tanto, en estos materiales, el criterio de plastificación debe venir expresado en función de los invariantes J1, J2 y J3 de la parte desviadora del tensor de tensiones. J1 = 0 J 2 = σ 1′ σ 2′ + σ 2′ σ 3′ + σ 3′ σ 1′ J 3 = σ 1′ σ 2′ σ 3′ p= σ1 + σ2 + σ3 3 σ 1′ = σ 1 − p σ 2′ = σ 2 − p σ 3′ = σ 3 − p f ( J2 ,J3 ) = 0 Si el material no posee el efecto Bauschinger, el límite elástico no cambiaría al cambiar el signo de las tensiones aplicadas. Como quiera que J3 es función impar de σ 1′ , σ 2′ , σ 3′ la función de plastificación no podría depender de este invariante, por lo que, para metales, el criterio de plastificación debe ser del tipo: f (J2 ) = 0 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA PLASTIFICACIÓN σ2 P σ3 , σ2 σ1 Q r , θ σ2 Q , , σ3 O σ1 , σ3 , σ1 π plano π: perpendicular a la bisectriz del primer cuadrante de ese sistema de referencia que, además, tiene su origen en un punto de dicho plano SUPERFICIE Y LUGAR DE PLASTIFICACION Superficie de plastificación se define como el lugar geométrico de los puntos σ 1 ,σ 2 ,σ 3 en los que se cumple el criterio de plastificación. σ2 σ3 Superficie de plastificación σ1 Lugar de plastificación π El corte de la superficie de plastificación con el plano π recibe el nombre de lugar de plastificación , σ2 Lugar de plastificación Q1 Q2 , σ3 , σ1 El lugar de plastificación debe cumplir unas determinadas condiciones: •debe ser simétrico respecto de los ejes ya que el criterio de plastificación no varía al intercambiar la dirección de las tensiones principales. •debe ser simétrico respecto de las rectas perpendiculares a los ejes en el origen como consecuencia de que el material no presenta el efecto Bauschinger. CRITERIO DE PLASTIFICACION DE TRESCA La plastificación de un punto elástico tendrá lugar cuando la máxima tensión tangencial que actúe sobre el punto elástico considerado alcance un valor crítico k. σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 Henri TRESCA (1841-1884) σ 1 − σ 3 = 2k ¿Cómo podemos deducir el valor de k a partir, por ejemplo, de la tensión de plastificación σy obtenida en un ensayo convencional de tracción o Dde compresión? σ1 = σ y σ2 = σ3 = 0 k = σy 2 SUPERFICIE DE PLASTIFICACION DE TRESCA σ3 σ2 π σ1 CRITERIO DE PLASTIFICACION DE VON MISES La plastificación tiene lugar cuando el segundo invariante del tensor de tensiones desviadoras es igual al cuadrado de una constante k’ propiedad del material J2 Richard VON MISES (1883-1953) 2 ′ = (k ) (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 6(k ′)2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 ) = 6(k ′)2 2 2 2 La forma de determinar el valor del parámetro k’ es similar a la que vimos para el criterio de Tresca: σ1 = σ y , σ2 = σ3 = 0 J 2 = 2σ 2 y J 2 = 2σ 2 y = 6(k ′) 2 ⇒ k′ = σy 3 Principio físico de la teoría de Von Mises La plastificación se produce si Ud (Energía de distorsión) alcanza el mismo valor de Ud cuando se produce la plastificación en un ensayo de tracción Concepto de Energía de distorsión : Energía consumida para obtener un cambio de forma del punto elástico sin que éste cambie ni de dimensiones y ni de volumen. U d = U T − UV E. de distorsión E. Total E. necesaria para un cambio de volumen 1- Calculemos el cambio de volumen de un punto elástico sometido a las tensiones σ1 , σ2 , σ3 . ∆V = [(1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) − 1] = = 1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 + ε 1ε 2 + ε 1ε 3 + ε 2ε 3 + ε 1ε 2ε 3 − 1 ≈ ≈ ε1 + ε 2 + ε 3 Como quiera que: ε1 = ε2 = σ 1 ν (σ 2 + σ 3 ) − 1 − 2 E E σ 2 ν (σ 1 + σ 3 ) E E σ 3 ν (σ 1 + σ 2 ) ε3 = − E E llegamos a que: 3 σ +σ ( ∆V = 1 2 + σ E 3 )(1− 2v ) 2- Calculemos la tensión hidrostática que produciría la misma variación de volumen (∆V): 3 ∆V = 3ev = σ hidrostática (1 − 2ν ) E 3- Calculemos UT para 2 [ σ1 + σ 2 + σ 3 3 UT para un resorte : el punto elástico : 11 σσ2 ∈ε2 + +σσ3 ∈ε3 ] 1 ++ UUTT ==2 [σσ1 ∈ ε 1 1 2 2 3 3 σ hidrostática = ] Ut = F ⋅ x 2 K x2 Ut = 2 Utilizando las ecuaciones 1 , 2 y 3 UT = 1 2E (σ + σ + σ ) (1 − 2v ) 2 2 2 1 2 3 3 UV = 2E 4- Calculemos UV UV = σ (1 − 2v ) 2 av 3 2 σ hidrostática (1 − 2ν ) 2E 1 UV = (1 − 2v ) 6E (σ + σ + σ 2 2 2 1 2 3 5- Despejemos Ud + 2σ 1σ 2 + 2σ 1σ 3 + 2σ 2σ 3 2 2 2 ⎡ 1 + v (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ Ud = UT −UV = ⎢ ⎥ 3E ⎢ 2 ⎥⎦ ⎣ 1444444444444 424444444444444 3 A ) 6- Calculemos Ud cuando se produce la plastificación en un ensayo de tracción: 11 + +νvσ 2 2 U = U d d= S 33EE y y σ y = límite elástico del material 1 44 2 4 4 3 B 7- Igualando las expresiones A y B 22 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 σSyy = 2⎡ S = σ y 2 ⎣(σ 8- 2 ⎤ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎦ 2 2 2 1 2 1 2⎡ 2 2 2 2 ⎤ Llamando σ = − + − + − σ σ σ σ σ σ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 ⎦ e 2 ⎣ σy y 9- La plastificación se produce cuando σe ≥ S Tensión equivalente de Von Mises. SUPERFICIE DE PLASTIFICACION DE VON MISES σ3 3 R= σy 2 s σ , σ3 p , σ2 , σ1 σ1 σ1 π σ2 COMPARACIÓN ENTRE LOS LUGARES DE PLASTIFICACIÓN DE TRESCA Y VON MISES: , σ2 Von Mises Tresca , σ3 , σ1 TENSIÓN EQUIVALENTE DE VON MISES σ'= 1 2 ⎡⎣(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ⎤⎦ PLASTIFICACIÓN: σ′≤σy