Trabajo Práctico Nº 2 - Sistemas de 2 Grados de Libertad

VIBRACIONES – CURSO 2015
Facultad de Ingeniería - UNLP
Trabajo Práctico 2
SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD
PRIMERA PARTE: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE
Problema 1.
El sistema de la figura está constituido por un
cilindro circular de masa m y radio r que rueda
sin deslizar dentro de la superficie circular de
radio R, ubicada en el móvil de masa M.
Determinar las ecuaciones diferenciales de
movimiento del sistema utilizando las
coordenadas generalizadas que se indican.
Problema 2.
Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual constante de rigidez,
como se indica en la figura. Utilizando como coordenadas lagrangeanas los
desplazamientos angulares de cada péndulo, determinar las ecuaciones
diferenciales del movimiento del sistema.
Problema 3.
Las oscilaciones de baja frecuencia que constituyen el movimiento de ladeo de un barco
dependen de la posición del centro de presiones M en relación al centro de gravedad G. El
centro de presiones M, localizado a una distancia h desde G, se determina por la intersección de
la recta vertical central del
barco y la recta de acción
de la fuerza de flotación .
Una cama ubicada en un
camarote se encuentra a
una distancia d2 desde la
línea central del barco,
montada sobre 4 resortes
idénticos de rigidez k, y con
los siguientes parámetros:



Si X y θ son los desplazamientos absolutos vertical y angular de la cama y el movimiento de
ladeo del barco está caracterizado por
 Determine las ecuaciones diferenciales del movimiento de la cama
 ¿Es posible eliminar el
del movimiento oscilatorio de la cama si la frecuencia del
movimiento de ladeo es de
?
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Problema 4.
El puente grúa de puerto de la figura
de masa m que pende de un cable de acero de
longitud l. La masa del puente es M y la luz
entre los apoyos es L. El viento, debido a los
desprendimientos vorticosos, genera una fuerza
vertical que puede considerarse armónica de la
forma
.
Modelando el puente como una viga
simplemente apoyada de acero de sección
constante y momento de inercia J y el cable de
sección transversal A, escriba las ecuaciones
diferenciales del movimiento.
transporta un contenedor
Problema 5.
Una varilla rígida de peso
despreciable y longitud 2L pivota en su
centro y está obligada a moverse en el
plano vertical por medio de resortes y
masas colocadas en sus extremos,
como se muestra en la figura.
Utilizando
las
coordenadas
de
Lagrange indicadas, determine las
ecuaciones
diferenciales
del
movimiento del sistema. Halle las
ecuaciones diferenciales linealizadas.
Problema 6.
Un cilindro de masa m y radio r rueda sin
deslizar sobre la plataforma de masa 2m. Las
coordenadas generalizadas x1 y x2 del sistema
representan los desplazamientos absolutos de la
plataforma
y
del
centro
del
cilindro,
respectivamente. Escribir la energía cinética del
sistema y determinar
a) Las
ecuaciones
diferenciales
de
movimiento.
b) Existencia de acoplamiento dinámico de
las coordenadas.
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SEGUNDA PARTE: FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRAR
Problema 7.
La esfera de masa m está ubicada en el extremo de una
viga cantilever que, a su vez, está fija a un carro de masa 2m.
Determine las pulsaciones naturales y los modos de vibrar del
sistema utilizando las coordenadas generalizadas indicadas.
Problema 8.
La siguiente figura representa el modelo de un sismógrafo de tipo horizontal. Los
parámetros
físicos
concentrados
del
dispositivo son los siguientes:





Determinar las frecuencias naturales y los
modos de vibrar del sistema. Asumir
pequeñas variaciones de . ¿Cuál es el rango
de frecuencias de las oscilaciones producidas
durante un terremoto que el dispositivo será
capaz de registrar?
Problema 9.
Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del Renault 12 (figura).
Modele el sistema sabiendo que el auto tiene una masa M y una longitud L. Los constante de
rigidez de 2 resortes es K (tanto para adelante como para atrás). Desprecie la contribución de los
neumáticos. Las coordenadas generalizadas
son el desplazamiento vertical del
baricentro y el giro en torno del mismo.
Problema 10.
Determinar las pulsaciones
naturales y los modos de vibrar del
sistema mecánico indicado en la
figura, en el cual el resorte de
acoplamiento tiene una constante de
restitución variable con el parámetro n. Graficar las pulsaciones naturales halladas en función de
n y las formas modales para un valor de n=4.
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Problema 11.
Se desea conocer los modos de vibrar y las
frecuencias de resonancia del motor monocilíndrico del Trabajo Práctico de Sistemas de 1
Grado de Libertad, considerando en este caso la
elasticidad de la biela. Se asumirán vibraciones
libres

elástica
equivalente
de
suspensión obtenida en el TP1


masa total del motor

masa efectiva del pistón y la
porción de biela

radio del cigüeñal

longitud de la biela

velocidad de rotación
Problema 12.
Un cable de línea de alta tensión de densidad
lineal de masa
, está suspendido en un vano
largo. Se sujeta un absorbedor al cable, cerca de la
torre de suspensión, de manera de reducir la vibración
inducida por efecto del viento, el cual se caracteriza
por una oscilación vertical del cable. El absorbedor cuenta con dos masas de
sujetas a un
tramo corto de cable flexible. La frecuencia natural propia del absorbedor es de
. Dado la
gran longitud del vano, el cable está siempre excitado a, o cerca de cierta frecuencia natural, que
se puede aproximar por
, en donde L es la longitud entre torres en metros. Determine
el rango de frecuencias para el cual es efectivo el uso del absorbedor.
Problema 13.
Para el sistema de la figura,
y el peso del absorbedor
de vibraciones es
. Si la masa
es excitada por un
desbalanceo de
rotando a
, determinar el valor de
que anula el desplazamiento de la masa
. Determinar además el valor
de la amplitud de
.
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Problema 14.
Un rascacielos edificado en una
región sísmica cuenta con un absorbedor
de vibraciones pasivo que consta de un
sistema masa – resorte – amortiguador
sintonizado de manera tal que sean
minimizados los desplazamientos en la cima del
edificio. En la imagen se muestra un sismograma de
un evento sísmico registrado en las costas de
Estambul, Turquía. Tomando el sismograma como
parámetro de diseño, proponga los valores de masa,
rigidez y amortiguamiento para lograr una atenuación
de 80% del desplazamiento en el extremo del
rascacielos.
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