Álgebra Lineal Ma1010 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Departamento de Matemáticas ITESM Dependencia e Independencia Lineal en Rn Álgebra Lineal - p. 1/37 Objetivos Después del concepto de espacio generado, el siguiente concepto en importancia es el de dependencia lineal. Este concepto será introducido en esta lectura. Los principales apartados son: ■ El concepto de conjunto de vectores linealmente dependiente. ■ El proceso para verificar cuando un conjunto de vectores es linealmente dependiente. ■ La relación entre independencia lineal y sistemas de ecuaciones lineales. La meta final es analizar las razones por las que un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Nuestra conclusión será que se debe a que las columnas de la matriz de coeficientes forman un conjunto de vectores linealmente dependiente. Si fuera conjunto independiente, la solución sería única en caso de haber solución. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 2/37 Motivación La motivación de este concepto surge del análisis de un sistema de ecuaciones lineales. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 3/37 Motivación La motivación de este concepto surge del análisis de un sistema de ecuaciones lineales. Considere el sistema Ax = b Supongamos que el sistema sea consistente y que x0 sea una solución al mismo. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 3/37 Motivación La motivación de este concepto surge del análisis de un sistema de ecuaciones lineales. Considere el sistema Ax = b Supongamos que el sistema sea consistente y que x0 sea una solución al mismo. Es decir, Ax0 = b Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 3/37 Motivación La motivación de este concepto surge del análisis de un sistema de ecuaciones lineales. Considere el sistema Ax = b Supongamos que el sistema sea consistente y que x0 sea una solución al mismo. Es decir, Ax0 = b Supongamos también que x1 sea otra solución al sistema, entonces Ax1 = b Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 3/37 Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos: Ax0 − Ax1 = b − b = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 4/37 Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos: Ax0 − Ax1 = b − b = 0 Factorizando el lado izquierdo tenemos: A (x0 − x1 ) = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 4/37 Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos: Ax0 − Ax1 = b − b = 0 Factorizando el lado izquierdo tenemos: A (x0 − x1 ) = 0 Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a Ax = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 4/37 Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos: Ax0 − Ax1 = b − b = 0 Factorizando el lado izquierdo tenemos: A (x0 − x1 ) = 0 Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a Ax = 0 el cual se conoce como sistema homogéneo asociado al sistema Ax = b. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 4/37 Si restamos las ecuaciones anteriores tenemos: Ax0 − Ax1 = b − b = 0 Factorizando el lado izquierdo tenemos: A (x0 − x1 ) = 0 Es decir, que el vector x0 − x1 es una solución a Ax = 0 el cual se conoce como sistema homogéneo asociado al sistema Ax = b. Para el sistema homogéno asociado, por ser homogéneo, podemos decir que siempre es consistente: todas las variables igualadas a cero es una solución. Esta solución se conoce como la solución trivial. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 4/37 Si el sistema homogéneo asociado sólo tiene la solución 0 entonces x0 − x1 = 0, y por tanto x0 = x1 . Es decir, si el sistema homogéneo asociado tiene sólo la solución trivial, entonces el sistema A x = b tiene solución única. Por otro lado, si el sistema homogéneo A x = 0 tiene otra solución diferente de 0, digamos xh , entonces: A (xo + xh ) = Axo + Axh = b + 0 = b Es decir, si xh es una solución diferente de 0 al sistema homogéneo, entonces x0 + xh es una solución a A x = b diferente de xo . Es decir, que si A x = 0 tiene infinitas soluciones entonces el sistema consistente A x = b también tendrá infinitas soluciones. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 5/37 el sistema y su sistema homogéneo asociado Esto se puede resumir en el siguiente resultado que dice que la unicidad de la solución en un sistema consistente queda determinada por la unicidad del sistema homogéneo: Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 6/37 el sistema y su sistema homogéneo asociado Esto se puede resumir en el siguiente resultado que dice que la unicidad de la solución en un sistema consistente queda determinada por la unicidad del sistema homogéneo: Teorema Suponga el sistema consistente: Ax = b Entonces: el sistema tiene solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene solución única. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 6/37 el sistema y su sistema homogéneo asociado Esto se puede resumir en el siguiente resultado que dice que la unicidad de la solución en un sistema consistente queda determinada por la unicidad del sistema homogéneo: Teorema Suponga el sistema consistente: Ax = b Entonces: el sistema tiene solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene solución única. Equivalentemente: el sistema no tiene solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado tiene otra solución diferente de la solución trivial. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 6/37 Idea Clave De acuerdo con este resultado, la clave para saber si un sistema de ecuaciones lineales puede tener infinitas soluciones está en el análisis del sistema homogéneo asociado Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 7/37 Idea Clave De acuerdo con este resultado, la clave para saber si un sistema de ecuaciones lineales puede tener infinitas soluciones está en el análisis del sistema homogéneo asociado , y esto hace que nos interesemos en saber si los sistemas homogéneos tienen otra solución además de la solución trivial. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 7/37 Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el sistema: x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 8/37 Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el sistema: x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0 Por consiguiente, la pregunta: Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 8/37 Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el sistema: x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0 Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de la solución trivial? Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 8/37 Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el sistema: x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0 Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de la solución trivial? se convierte en: Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 8/37 Si A = [a1 , a2 , . . . , an ] y x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T entonces el sistema Ax = 0 se convierte en el sistema: x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n = 0 Por consiguiente, la pregunta: ¿el sistema homogéneo Ax = 0 tiene otra solución además de la solución trivial? se convierte en: ¿hay forma de combinar linealmente los vectores ai para que den el vector 0 donde no todos los coeficientes sean cero? Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 8/37 Dependencia lineal Definición Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es linealmente dependiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 9/37 Dependencia lineal Definición Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es linealmente dependiente si existen constantes c1 , c2 ,. . . ,ck no todos ceros Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 9/37 Dependencia lineal Definición Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es linealmente dependiente si existen constantes c1 , c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que: c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 9/37 Dependencia lineal Definición Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es linealmente dependiente si existen constantes c1 , c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que: c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0. Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 9/37 Dependencia lineal Definición Un conjunto de vectores en Rn , v1 , v2 ,. . . , vk , es linealmente dependiente si existen constantes c1 , c2 ,. . . ,ck no todos ceros tales que: c1 v1 + c2 v2 + · · · + ck vk = 0. Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente : es decir, cuando la única combinación lineal de los vectores que da el vector cero es la que tienen todos sus coeficientes cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 9/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente: 4 1 −1 x1 = 6 , x2 = 3 , x3 = −2 1 4 −2 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 10/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente: 4 1 −1 x1 = 6 , x2 = 3 , x3 = −2 1 4 −2 Solución Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2 y c3 para que: c1 x 1 + c2 x 2 + c3 x 3 = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 10/37 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: 1 0 0 0 4 1 −1 0 → 0 0 6 3 −2 0 1 0 1 4 −2 0 0 0 1 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 11/37 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: 1 0 0 0 4 1 −1 0 → 0 0 6 3 −2 0 1 0 1 4 −2 0 0 0 1 0 Como el sistema tiene solución única c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 11/37 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: 1 0 0 0 4 1 −1 0 → 0 0 6 3 −2 0 1 0 1 4 −2 0 0 0 1 0 Como el sistema tiene solución única c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tiene todos los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 11/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente: 0 5 15 x1 = −3 , x2 = −2 , x3 = −15 3 −2 3 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 12/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente: 0 5 15 x1 = −3 , x2 = −2 , x3 = −15 3 −2 3 Solución Debemos ver cómo deben ser las constantes c1 , c2 y c3 para que: c1 x 1 + c2 x 2 + c3 x 3 = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 12/37 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: 1 0 3 0 0 5 15 0 → 0 0 −3 −2 −15 0 1 3 3 −2 3 0 0 0 0 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 13/37 El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda: 1 0 3 0 0 5 15 0 → 0 0 −3 −2 −15 0 1 3 3 −2 3 0 0 0 0 0 Como el sistema tiene infinitas soluciones se deduce que además de la solución c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 debe tener otras soluciones y en estas otras al menos un coeficiente c debe ser diferente de cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 13/37 Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y c2 = −3c3 . Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 14/37 Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y c2 = −3c3 . Dando a c3 un valor diferente de cero (por ejemplo c3 = −1) se pueden obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3) que hacen que la combinación lineal de el vector cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 14/37 Por ejemplo, reconvirtiendo los renglones no cero de la matriz reducida a ecuaciones se obtiene: c1 + 3c3 = 0 y c2 + 3c3 = 0 es decir, c1 = −3c3 y c2 = −3c3 . Dando a c3 un valor diferente de cero (por ejemplo c3 = −1) se pueden obtener coeficientes (siguiendo el ejemplo, c1 = 3 y c2 = 3) que hacen que la combinación lineal de el vector cero. Por tanto, el conjunto de vectores es linealmente dependiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 14/37 Criterio de dependencia lineal El principal resultado para caracterizar conjuntos de vectores linealmente independientes es el siguiente: Teorema Sea A = {v1 , v2 , . . . , vk } un conjunto de vectores en Rn . Son equivalentes los siguientes hechos. ■ El conjunto A es linealmente independiente. ■ Tiene solución única el sistema [v1 v2 · · · vk |0] ■ Tiene k pivotes la matriz reducida obtenida de [v1 v2 · · · vk ] Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 15/37 Conjuntos de dos vectores El resultado previo indica que para determinar si un conjunto es linealmente independiente habrá que reducir una matriz. Sin embargo, hay situaciones donde no es requerido tal proceso. Teorema Son equivalentes los siguientes hechos: a. El conjunto formado por los dos vectores es l.d. b. Un vector es un múltiplo escalar del otro. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 16/37 Tamaño de un conjunto independiente Otra situación donde es fácil verificar si un conjunto es linealmente dependiente es cuando el número de elementos rebasa la dimensión del espacio que los contiene: Teorema Si conjunto de vectores v1 , v2 ,. . . , vk es linealmente independiente en Rn entonces k ≤ n. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 17/37 Tamaño de un conjunto independiente Otra situación donde es fácil verificar si un conjunto es linealmente dependiente es cuando el número de elementos rebasa la dimensión del espacio que los contiene: Teorema Si conjunto de vectores v1 , v2 ,. . . , vk es linealmente independiente en Rn entonces k ≤ n. Equivalentemente, todo conjunto en Rn con más de n vectores es linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 17/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: (" # " # " # " #) 6 0 1 2 , , , −1 4 −5 −7 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 18/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: (" # " # " # " #) 6 0 1 2 , , , −1 4 −5 −7 Solución Puesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 es linealmente dependiente: Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 18/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: (" # " # " # " #) 6 0 1 2 , , , −1 4 −5 −7 Solución Puesto que el conjunto tiene 4 vectores en R2 es linealmente dependiente: Número de vectores (4) > dimensión del espacio donde están (2). Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 18/37 Algunas Pruebas de Dependencia Lineal Algunas pruebas de Dependencia Lineal Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 19/37 Algunas Pruebas de Dependencia Lineal Algunas pruebas de Dependencia Lineal 1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es lineamente dependiente si y sólo si el vector es el vector cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 19/37 Algunas Pruebas de Dependencia Lineal Algunas pruebas de Dependencia Lineal 1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es lineamente dependiente si y sólo si el vector es el vector cero. 2. Si el vector cero pertence a un conjunto de vectores, el conjunto es linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 19/37 Algunas Pruebas de Dependencia Lineal Algunas pruebas de Dependencia Lineal 1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es lineamente dependiente si y sólo si el vector es el vector cero. 2. Si el vector cero pertence a un conjunto de vectores, el conjunto es linealmente dependiente. 3. Si en un conjunto de vectores aparecen vectores repetidos el conjunto es linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 19/37 Algunas Pruebas de Dependencia Lineal 1. 2. 3. 4. Algunas pruebas de Dependencia Lineal Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es lineamente dependiente si y sólo si el vector es el vector cero. Si el vector cero pertence a un conjunto de vectores, el conjunto es linealmente dependiente. Si en un conjunto de vectores aparecen vectores repetidos el conjunto es linealmente dependiente. Si el conjunto consta de más de dos vectores: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinación lineal de los restantes. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 19/37 5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 20/37 5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es linealmente dependiente. 6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinacion lineal de los vectores anteriores en el conjunto. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 20/37 5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es linealmente dependiente. 6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinacion lineal de los vectores anteriores en el conjunto. 7. Si un conjunto de vectores contiene un subconjunto de vectores que es linealmente dependiente, el conjunto es a su vez linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 20/37 5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es linealmente dependiente. 6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinacion lineal de los vectores anteriores en el conjunto. 7. Si un conjunto de vectores contiene un subconjunto de vectores que es linealmente dependiente, el conjunto es a su vez linealmente dependiente. 8. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto de él también será linealmente independiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 20/37 Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Dependencia e Independencia Lineal en Rn Álgebra Lineal - p. 21/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: −3 −9 x1 = 0 , x2 = 0 1 3 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 22/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: −3 −9 x1 = 0 , x2 = 0 1 3 Solución El conjunto es linealmente dependiente porque el segundo vector es múltiplo escalar del primero.(x2 = 3x1 ) Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 22/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: 4 0 −1 x1 = −1 , x2 = 0 , x3 = 4 −2 0 3 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 23/37 Ejemplo Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente: 4 0 −1 x1 = −1 , x2 = 0 , x3 = 4 −2 0 3 Solución El conjunto es linealmente dependiente porque el vector cero está en el conjunto: x2 = 0 · x1 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 23/37 Ejemplo ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente? (" # " #) 1 6 , −2 a Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 24/37 Ejemplo ¿Para qué valor de a el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente? (" # " #) 1 6 , −2 a Solución Al formar la matriz aumentada y escalonar tenemos: " # " # 1 6 0 1 −2 0 → −2 a 0 0 12 + a 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 24/37 El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 25/37 El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto, para a = −12 el conjunto es linealmente dependiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 25/37 El sistema tendrá solución infinitas cuando 12 + a = 0, es decir, cuando a = −12. Por tanto, para a = −12 el conjunto es linealmente dependiente. Mientras que para a 6= −12 es linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 25/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } es linealmente independiente. ¿Será el conjunto {v4 , v3 , v2 } linealmente independiente? Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 26/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } es linealmente independiente. ¿Será el conjunto {v4 , v3 , v2 } linealmente independiente? Solución Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente independiente, cualquier subconjunto de él será linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 26/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v3 , v1 , v2 , } es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } linealmente dependiente? Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 27/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v3 , v1 , v2 , } es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } linealmente dependiente? Solución Cierto: Puesto que el conjunto es linealmente dependiente, cualquier conjunto que lo contenga será linealmente dependiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 27/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto {v3 , v5 , v4 } linealmente independiente? Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 28/37 Ejemplo Suponga que el conjunto {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } es linealmente dependiente. ¿Será el conjunto {v3 , v5 , v4 } linealmente independiente? Solución No se puede deducir ninguna conclusión definitiva: El conjunto puede ser linealmente dependiente o independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 28/37 Ejemplo Suponga que los vectores v1 y v2 forman un conjunto linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto linealmente independiente? {y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 } Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 29/37 Ejemplo Suponga que los vectores v1 y v2 forman un conjunto linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto linealmente independiente? {y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 } Solución Buscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2 para que: c1 y 1 + c2 y 2 = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 29/37 Ejemplo Suponga que los vectores v1 y v2 forman un conjunto linealmente independiente. ¿Será el siguiente conjunto linealmente independiente? {y1 = −2 v1 − 2 v2 , y2 = 2 v1 − 3 v2 } Solución Buscamos cómo deben ser las constantes c1 y c2 para que: c1 y 1 + c2 y 2 = 0 Es decir c1 (−2 v1 − 2 v2 ) + c2 (2 v1 − 3 v2 ) = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 29/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser cero: Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser cero: − 2c1 + 2c2 = 0 − 2c1 − 3c2 = 0 Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser cero: − 2c1 + 2c2 = 0 − 2c1 − 3c2 = 0 Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser cero: − 2c1 + 2c2 = 0 − 2c1 − 3c2 = 0 Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0. Por tanto, la única combinación lineal de los vectores y que da el vector 0 es la que tiene coeficientes cero. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Desarrollando esto queda: (−2c1 + 2c2 ) v1 + (−2c1 − 3c2 ) v2 = 0 Como el conjunto {v1 , v2 } es linealmente independiente los coeficientes de la combinación lineal anterior deben ser cero: − 2c1 + 2c2 = 0 − 2c1 − 3c2 = 0 Este sistema tiene solución única c1 = 0 y c2 = 0. Por tanto, la única combinación lineal de los vectores y que da el vector 0 es la que tiene coeficientes cero. Por tanto, el conjunto {y1 , y2 } es linealmente independiente Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 30/37 Ejemplo Considere el sistema A x = b. Si las columnas de A forman un conjunto l.d., entonces el sistema A no se sabe si tiene solución. B tiene infinitas soluciones. C tiene solución única. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 31/37 Ejemplo Considere el sistema A x = b. Si las columnas de A forman un conjunto l.d., entonces el sistema A no se sabe si tiene solución. B tiene infinitas soluciones. C tiene solución única. Solución Recuerde que la consistencia no depende de si las columnas de A son un conjunto linealmente independiente. Lo que se tiene es que si A x = b es consistente entonces habrá solución única si y sólo si las columnas de A forman un conjunto li. En este caso, la respuesta más conveniente es A : no se sabe si tiene solución Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 31/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b tiene soluciones infinitas para un vector b particular. ¿El conjunto de las columnas de la matriz de coeficientes será linealmente dependiente? A Falso B No hay suficiente información para concluir C Cierto Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 32/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b tiene soluciones infinitas para un vector b particular. ¿El conjunto de las columnas de la matriz de coeficientes será linealmente dependiente? A Falso B No hay suficiente información para concluir C Cierto Solución El dato es que A x = b tiene soluciones infinitas. Por tanto, A x = 0 tiene soluciones infinitas. Por tanto, es cierto que las columnas de A son dependientes Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 32/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b es tal que el conjunto de las columnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente, qué se puede decir de la solución al sistema? Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones A B Que si acaso existe solución, entonces es única C Que sí existen infinitas soluciones D Que sí existe y además es única Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 33/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b es tal que el conjunto de las columnas de la matriz de coeficientes es linealmente dependiente, qué se puede decir de la solución al sistema? Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones A B Que si acaso existe solución, entonces es única C Que sí existen infinitas soluciones D Que sí existe y además es única Solución Nuevamente, el dato sólo sirve para describir el comportamiento de las soluciones en caso de haber. La respuesta es que A Que si acaso existe solución, entonces hay infinitas soluciones Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 33/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b n × n es tal que tiene solución única para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Consistente o inconsistente, si consistente solución única. B Consistente o inconsistente, si es consistente puede tener infinitas. C Consistente sin importar b1 y tiene solución única. D No hay información para saber si es consistente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 34/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b n × n es tal que tiene solución única para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Consistente o inconsistente, si consistente solución única. B Consistente o inconsistente, si es consistente puede tener infinitas. C Consistente sin importar b1 y tiene solución única. D No hay información para saber si es consistente. Solución Si tiene solución única para un b se deduce que las columnas de A son linealmente independientes. Por tanto, y como A tiene n columnas, si a A se le aplica rref quedan n pivotes. Como A tiene n renglones entonces en la reducida de A quedarán pivotes en Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos cada renglón. Por tanto, las columnas de A generan todo Rn . Por n consiguiente, para cualquier otro vector b n1 de R el sistema será Dependencia e Independencia Lineal en R Álgebra Lineal - p. 34/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b n × n tiene infinitas soluciones para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tendrá solución única. B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente puede tener soluciones infinitas. C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones infinitas.. D No hay información para saber si es consistente. E Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tiene soluciones infinitas. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 35/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b n × n tiene infinitas soluciones para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tendrá solución única. B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente puede tener soluciones infinitas. C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones infinitas.. D No hay información para saber si es consistente. E Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tiene soluciones infinitas. Solución Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Dado que tiene infinitas soluciones para un b se deduce que las columnas de A son linealmente dependientes. Por tanto, y como A Dependencia e Independencia Lineal en Rn Álgebra Lineal - p. 35/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b m × n (con n > m) es inconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Será siempre inconsistente. B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente puede tener soluciones infinitas o solución única. C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones infinitas. D No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas o única. E Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tiene soluciones infinitas. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 36/37 Ejemplo Suponga que el sistema A x = b m × n (con n > m) es inconsistente para un cierto vector b. Para otro vector b1 será consistente el sistema A x = b1 ? A Será siempre inconsistente. B Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente puede tener soluciones infinitas o solución única. C El sistema tiene solución sin importar b1 y tiene soluciones infinitas. D No hay información para saber si tendrá soluciones infinitas o única. E Puede ser consistente o inconsistente, pero si es consistente tiene soluciones infinitas. Solución Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Dado que el número de columnas de A es mayor que el número de renglones, entonces después de reducir m Dependencia e Independencia Lineal en RnA quedarán a lo más Álgebra Lineal - p. 36/37 Resultados teóricos Veremos ahora un par de resultados que servirán para elaborar la teoría de la dimensión y que son relativos al concepto de dependencia lineal: Teorema Si el conjunto S1 = {v1 , v2 , . . . , vk } es linealmente independiente entonces: a. Cualquier vector y en el generado por S, se puede escribir en forma única como combinación lineal de los vectores v1 ,. . . ,vk . b. Si vk+1 no pertenece al generado por S1 , entonces el nuevo conjunto S2 = {v1 , v2 , . . . , vk , vk+1 } es linealmente independiente. Dependencia e Independencia Lineal en Rn Objetivos Motivación Resultado clave 1 Idea Clave Dependencia Lineal Ejemplo 1 Ejemplo 2 Resultado clave 2 Conjuntos de dos vectores Tamaño de un Conjunto L.I. Ejemplo 3 Pruebas L.D. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Ejemplo 8 Ejemplo 9 Ejemplo 10 Ejemplo Resultados Teóricos Álgebra Lineal - p. 37/37