1 Corrección Tarea 13 1. Los campos son ~ = (Ex , Ey , Ez ) E ~ 0 = (E 0 , E 0 , E 0 ) E x y z ~ = (Bx , By , Bz ) B ~ 0 = (B 0 , B 0 , B 0 ) B x y z Supongamos que el referencia prima se mueve en la dirección ı̂ con velocidad v relativa al sistema no primado, con sus ejes paralelos a los del sistema no primado; entonces las ecuaciones para las transformaciones del campo son Ex0 = Ex Ey0 = γ(Ey − βBz ) Ez0 = γ(Ez + βBy ) Bx0 = Bx By0 = γ(By + βEz ) Bz0 = γ(Bz − βEy ) Las componentes de los campos en el sentido del movimiento son iguales en los dos sistemas de referncia debido a que la contracción del espacio se compensa exactamente con la dilatación del tiempo en esa dirección. Entonces a) ~0 · B ~ 0 = Ex0 Bx0 + Ey0 By0 + Ez0 Bz0 E = Ex Bx + γ 2 (Ey − βBz )(By + βEz ) + γ 2 (Ez + βBy )(Bz − βEy ) = Ex Bx + γ 2 (1 − β 2 )Ey By + γ 2 (1 − β 2 )Ez Bz = Ex Bx + Ey By + Ez Bz Que es igual a ~0 · B ~0 = E ~ ·B ~ E b) ~ 0 |2 − |B ~ 0 |2 = E 0 2 + E 0 2 + E 0 2 − B 0 2 − B 0 2 − B 0 2 |E z y x z y x = Ex2 + γ 2 (Ey − βBz )2 + γ 2 (Ez + βBy )2 − − Bx2 − γ 2 (By + βEz )2 − γ 2 (Bz − βEy )2 = Ex2 + γ 2 (1 − β 2 )Ey2 + γ 2 (1 − β 2 )Ez2 − − Bx2 + γ 2 (−1 + β 2 )By2 + γ 2 (−1 + β 2 )Bz2 = Ex2 + Ey2 + Ez2 − Bx2 − By2 − Bz2 Lo que es igual a ~ 0 |2 − |B ~ 0 |2 = |E| ~ 2 − |B| ~ 2 |E 2 Si el sistema de referencia se moviera en otra dirección, por ejemplo k̂, las ecuaciones de transformación cambiarı́an (en este caso Ez = Ez0 y Bz = Bz0 ) pero los dos escalares siguen siendo invariantes. 2. a) El momento dipolar de la primera distribución (el triángulo) es, Z p~ = r~0 ρdv 0 En este caso tenemos cargas puntuales, luego la integral pasa a ser una sumatoria, p~ = X ~ri ρi Si colocamos el origen del sistema de coordenadas en el centro del triángulo se tiene, √ d d 3d p~ = qx̂ − qx̂ − 2q ŷ 2 2 2 Finalmente el momento dipolar es, √ p~ = − 3dq ŷ 3. Para la segunda distribución, hacemos lo mismo que en el caso anterior, eligiendo esta vez, el origen del sistema de coordenadas en el centro del cuadrado y en forma diagonal. √ √ √ √ 2d 2d 2d 2d p~ = − 2q ŷ + 2q ŷ + 2qx̂ − 2qx̂ 2 2 2 2 Finalmente el momento dipolar del cuadrado es, p~ = 0