cantidades de liapunov

CANTIDADES DE LIAPUNOV
eduardo.saez@usm.cl
USM
Departamento de Matemática
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.1/22
Campo de Vectores
Supongamos un Campo de Vectores, con suficiente
diferenciabilidad, definido por un sistema de E.D.O.
polinomial de la forma:
ẋ = λx − y + p2 (x, y) + ... + pn (x, y) + ...
X:
ẏ = x − λy + q2 (x, y) + ... + qn (x, y) + ...
(1)
pn , qn ∈ R[x, y], polinomios homogeneos de grado
n>1
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.2/22
Campo de Vectores
Supongamos un Campo de Vectores, con suficiente
diferenciabilidad, definido por un sistema de E.D.O.
polinomial de la forma:
ẋ = λx − y + p2 (x, y) + ... + pn (x, y) + ...
X:
ẏ = x − λy + q2 (x, y) + ... + qn (x, y) + ...
(1)
pn , qn ∈ R[x, y], polinomios homogeneos de grado
n>1
DX(0, 0) =
λ −1
1 λ
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.2/22
Singularidad Monodrómica
La singularidad en el origen, es Monodrómica ssi
λ = 0. En caso contrario, el campo de vectores tiene
en el origen un foco hiperbólico (Atractor si λ < 0,
Repulsor si λ > 0).
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.3/22
Singularidad Monodrómica
La singularidad en el origen, es Monodrómica ssi
λ = 0. En caso contrario, el campo de vectores tiene
en el origen un foco hiperbólico (Atractor si λ < 0,
Repulsor si λ > 0).
La idea para calcular las cantidades de Liapunov es
conseguir una función V : Ω → R. Donde Ω es una
vecindad suficientemente pequeña del origen en el
plano R2 , tal que el campo de vectores sea
TRANSVERSAL a curvas de nivel cerradas
V −1 (c) ⊂ Ω, c ∈ R.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.3/22
Idea Geométrica
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.4/22
Idea Geométrica
Idea Analítica . Preguntarse por una función, con
suficiente diferenciabilidad , tal que tenga un
mínimo local en el origen.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.4/22
Idea Geométrica
Idea Analítica . Preguntarse por una función, con
suficiente diferenciabilidad , tal que tenga un
mínimo local en el origen.
Para cumplir con la condición de transversalidad del
campo de vectores es suficiente
D
E
∇V, X 6= 0
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.4/22
Más exactamente
Sea la función de la forma
1 2
V (x, y) = (x + y 2 ) + V3 (x, y) + ... + Vn (x, y) + ...,
2
donde , Vn son polinomios homogeneos de grado n.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.5/22
Más exactamente
Sea la función de la forma
1 2
V (x, y) = (x + y 2 ) + V3 (x, y) + ... + Vn (x, y) + ...,
2
donde , Vn son polinomios homogeneos de grado n.
Nótese que V tiene claramente un mínimo local en el origen.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.5/22
Más exactamente
Sea la función de la forma
1 2
V (x, y) = (x + y 2 ) + V3 (x, y) + ... + Vn (x, y) + ...,
2
donde , Vn son polinomios homogeneos de grado n.
Nótese que V tiene claramente un mínimo local en el origen.
Busquemos, si existen, coeficientes ηn en términos
de los parámetros del campo de vectores tales que
D
E
∇V, X ≡ η1 (x2 + y 2 ) + η2 (x2 + y 2 )2 + ...+
ηn (x2 + y 2 )n + ...
(2)
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.5/22
Valores focales
Los coeficientes ηn , se llaman Valores Focales.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.6/22
Valores focales
Los coeficientes ηn , se llaman Valores Focales.
Importante Si el campo de vectores es polinomial
(analítico), con coeficientes polinomiales en término
de parámetros del campo. Por la identidad anterior,
los valores focales son polinomios en términos de
los parámetros y generan un anillo de polinomios de
los parámetros.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.6/22
Valores focales
Los coeficientes ηn , se llaman Valores Focales.
Importante Si el campo de vectores es polinomial
(analítico), con coeficientes polinomiales en término
de parámetros del campo. Por la identidad anterior,
los valores focales son polinomios en términos de
los parámetros y generan un anillo de polinomios de
los parámetros.
Sea B = {L(j)|j = 0, 1, ....} una base de
generadores independientes del anillo de valores
focales < η1 , ..., ηn , ... >, entonces
< η1 , ..., ηn , ... >=< L(0), L(1), ... >
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.6/22
Cantidades de Liapunov
Los generadores L(j), j = 0, 1, ... se llaman
Cantidades de Liapunov
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.7/22
Cantidades de Liapunov
Los generadores L(j), j = 0, 1, ... se llaman
Cantidades de Liapunov
Def. La singularidad en el origen de (1), se llama
Foco Débil (Fino) de orden k > 0, ssi
L(j) = 0, j = 0, 1, ..., k − 1 y L(k) 6= 0.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.7/22
Cantidades de Liapunov
Los generadores L(j), j = 0, 1, ... se llaman
Cantidades de Liapunov
Def. La singularidad en el origen de (1), se llama
Foco Débil (Fino) de orden k > 0, ssi
L(j) = 0, j = 0, 1, ..., k − 1 y L(k) 6= 0.
Por la identidad (2), los coeficientes de las potencias
xi y j , del primer miembro de la identidad coinciden
con los respectivos coeficientes del segundo
miembro de la identidad.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.7/22
Idea de cálculo de η’s
Explícitamente la identidad (2) se puede escribir

∂V3


+ ...)(λx − y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + ...)+
(x +


∂x

∂V3
(y +
+ ...)(x + λy + q2 (x, y) + q3 (x, y) + ...)

∂y



 ≡ η (x2 + y 2 ) + η (x2 + y 2 )2 + ...
1
2
(3)
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.8/22
Idea de cálculo de η’s
Explícitamente la identidad (2) se puede escribir

∂V3


+ ...)(λx − y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + ...)+
(x +


∂x

∂V3
(y +
+ ...)(x + λy + q2 (x, y) + q3 (x, y) + ...)

∂y



 ≡ η (x2 + y 2 ) + η (x2 + y 2 )2 + ...
1
2
(3)
Por la identidad anterior, como η1 es el coeficiente de x2 + y 2 en el segundo miembro de la
identidad, basta tomar para su cálculo, el 2-jet del primer miembro de la identidad, entonces
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.8/22
Idea de cálculo de η’s
Explícitamente la identidad (2) se puede escribir

∂V3


+ ...)(λx − y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + ...)+
(x +


∂x

∂V3
(y +
+ ...)(x + λy + q2 (x, y) + q3 (x, y) + ...)

∂y



 ≡ η (x2 + y 2 ) + η (x2 + y 2 )2 + ...
1
2
(3)
Por la identidad anterior, como η1 es el coeficiente de x2 + y 2 en el segundo miembro de la
identidad, basta tomar para su cálculo, el 2-jet del primer miembro de la identidad, entonces
λx2 − xy + xy + λy 2 ≡ η1 (x2 + y 2 )
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.8/22
Idea de cálculo de η’s
Explícitamente la identidad (2) se puede escribir

∂V3


+ ...)(λx − y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + ...)+
(x +


∂x

∂V3
(y +
+ ...)(x + λy + q2 (x, y) + q3 (x, y) + ...)

∂y



 ≡ η (x2 + y 2 ) + η (x2 + y 2 )2 + ...
1
2
(3)
Por la identidad anterior, como η1 es el coeficiente de x2 + y 2 en el segundo miembro de la
identidad, basta tomar para su cálculo, el 2-jet del primer miembro de la identidad, entonces
λx2 − xy + xy + λy 2 ≡ η1 (x2 + y 2 )
Igualando coeficientes : η1 = λ, es decir, η1 es la parte real del valor propio λ + i
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.8/22
Idea de cálculo de η’s
Explícitamente la identidad (2) se puede escribir

∂V3


+ ...)(λx − y + p2 (x, y) + p3 (x, y) + ...)+
(x +


∂x

∂V3
(y +
+ ...)(x + λy + q2 (x, y) + q3 (x, y) + ...)

∂y



 ≡ η (x2 + y 2 ) + η (x2 + y 2 )2 + ...
1
2
(3)
Por la identidad anterior, como η1 es el coeficiente de x2 + y 2 en el segundo miembro de la
identidad, basta tomar para su cálculo, el 2-jet del primer miembro de la identidad, entonces
λx2 − xy + xy + λy 2 ≡ η1 (x2 + y 2 )
Igualando coeficientes : η1 = λ, es decir, η1 es la parte real del valor propio λ + i
Sea L(0) = λ, la primera cantidad de Liapunov.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.8/22
Cálculo de η2, con L(0) = 0
De la identidad (3), el valor focal η2 depende de los
coeficientes del 4-jet del primer miembro de la
identidad, es decir, de los coeficientes del 3-jet del
campo de vectores , pues el primer miembro de la
identidad (3) , contiene multiplicación por términos
lineales.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.9/22
Cálculo de η2, con L(0) = 0
De la identidad (3), el valor focal η2 depende de los
coeficientes del 4-jet del primer miembro de la
identidad, es decir, de los coeficientes del 3-jet del
campo de vectores , pues el primer miembro de la
identidad (3) , contiene multiplicación por términos
lineales.
Los términos cúbicos del primer miembro de la
identidad (3) tienen que ser nulos, pues el segundo
término de la identidad (3) no contiene términos
cúbicos.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.9/22
Cálculo de η2, con L(0) = 0
De la identidad (3), el valor focal η2 depende de los
coeficientes del 4-jet del primer miembro de la
identidad, es decir, de los coeficientes del 3-jet del
campo de vectores , pues el primer miembro de la
identidad (3) , contiene multiplicación por términos
lineales.
Los términos cúbicos del primer miembro de la
identidad (3) tienen que ser nulos, pues el segundo
término de la identidad (3) no contiene términos
cúbicos.
Bajo la hipótesis λ = 0, efectuando los cálculos se
obtiene que los coeficientes de V3 (x, y) satisfacen el
sistema:
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.9/22
Anulación de Cúbicos
0 −1 0 0
v30
p20
 −3 0 2 0   v21   −p11 − q20 
=



 0 −2 0 3   v12   −p02 − q11 
0 0 1 0
v03
q02





CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.10/22
Anulación de Cúbicos
0 −1 0 0
v30
p20
 −3 0 2 0   v21   −p11 − q20 
=



 0 −2 0 3   v12   −p02 − q11 
0 0 1 0
v03
q02





Sistema compatible. Determinante de la matriz de
coeficientes = 9.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.10/22
Anulación de Cúbicos
0 −1 0 0
v30
p20
 −3 0 2 0   v21   −p11 − q20 
=



 0 −2 0 3   v12   −p02 − q11 
0 0 1 0
v03
q02





Sistema compatible. Determinante de la matriz de
coeficientes = 9.

1


v30 = (p11 + 2q02 + q20 )


3


v21 = −p20
v12 = q02





 v03 = 1 (−p02 − 2p20 − q11 )
3
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.10/22
Cálculo de L(1)
El valor focal η2 , depende de los coeficientes de los
términos cuárticos del primer miembro de la
identidad (3), que a su vez dependen de los
coeficientes del 3-jet del campo de vectores.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.11/22
Cálculo de L(1)
El valor focal η2 , depende de los coeficientes de los
términos cuárticos del primer miembro de la
identidad (3), que a su vez dependen de los
coeficientes del 3-jet del campo de vectores.
Efectuando los cálculos se obtiene que los coeficientes de V4 (x, y) satisfacen el sistema:
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.11/22
Cálculo de L(1)
El valor focal η2 , depende de los coeficientes de los
términos cuárticos del primer miembro de la
identidad (3), que a su vez dependen de los
coeficientes del 3-jet del campo de vectores.
Efectuando los cálculos se obtiene que los coeficientes de V4 (x, y) satisfacen el sistema:
8
>
v40
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
v31
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
v22
>
>
>
>
>
>
v13
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: v
04
=
2
2 −p q
(p03 + p211 − 2p02 p20 − 2p220 + p21 + 2q02
02 11 − 3p20 q11 − q11 +
q12 + 2q02 q20 + p11 (3q02 + q20 ) + q30 + 4v04 )/4
=
−(p11 p20 ) − p30 − 4p20 q02 + q03 − q02 q11 + (p12 + p11 p20 + 3p30 +
12p20 q02 + p02 (p11 + 2q02 ) − 3q03 + 5q02 q11 − 2(−2p20 q02 + q03 − q02 q11 )
−2p20 q20 − q11 q20 + q21 )/8
=
2
2 −p q
(p03 − 2p02 p20 + p11 q02 + 2q02
02 11 − 2p20 q11 − q11 + q12 + 4v04 )/2
=
(−p12 − p11 p20 − 3p30 − 12p20 q02 − p02 (p11 + 2q02 ) + 3q03 − 5q02 q11 +
2(−2p20 q02 + q03 − q02 q11 ) + 2p20 q20 + q11 q20 − q21 )/8
=
arbitrario
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.11/22
Expresión de L(1)
Con los
coeficientes anteriores de V4 se obtiene:
(p12 + p11 p20 + 3p30 + p02 p11 + 2p02 q02 +
η2 =
3q03 − q02 q11 − 2p20 q20 − q11 q20 + q21 )/8
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.12/22
Expresión de L(1)
Con los
coeficientes anteriores de V4 se obtiene:
(p12 + p11 p20 + 3p30 + p02 p11 + 2p02 q02 +
η2 =
3q03 − q02 q11 − 2p20 q20 − q11 q20 + q21 )/8
Luego se toma L(1) = η2
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.12/22
Expresión de L(1)
Con los
coeficientes anteriores de V4 se obtiene:
(p12 + p11 p20 + 3p30 + p02 p11 + 2p02 q02 +
η2 =
3q03 − q02 q11 − 2p20 q20 − q11 q20 + q21 )/8
Luego se toma L(1) = η2
Comentario:El algoritmo descrito más arriba es programable: G. Lloyd and J.M. Pearson
desarrollaron un Software con REDUCE, llamado FINDETA . Como parte del proyecto de
investigación interno de la USM (1995), con el apoyo computacional de J. Figueroa
desarrollamos otro Software con Mathematica, llamado LIAPUNOV.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.12/22
Expresión de L(1)
Con los
coeficientes anteriores de V4 se obtiene:
(p12 + p11 p20 + 3p30 + p02 p11 + 2p02 q02 +
η2 =
3q03 − q02 q11 − 2p20 q20 − q11 q20 + q21 )/8
Luego se toma L(1) = η2
Comentario:El algoritmo descrito más arriba es programable: G. Lloyd and J.M. Pearson
desarrollaron un Software con REDUCE, llamado FINDETA . Como parte del proyecto de
investigación interno de la USM (1995), con el apoyo computacional de J. Figueroa
desarrollamos otro Software con Mathematica, llamado LIAPUNOV.
Con el Software LIAPUNOV, se pueden calcular los
valores focales de orden superior. Son expresiones
muy extensas por ejemplo para η3 .
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.12/22
Expresión de η3
η3 = (−10p302 p11 + 17p02 p03 p11 + 12p04 p11 − 23p02 p311 − 10p202 p12 − 3p03 p12 − 23p211 p12 +
20p02 p13 + 12p14 − 76p202 p11 p20 + 13p03 p11 p20 − 23p311 p20 − 46p02 p12 p20 + 28p13 p20 −
142p02 p11 p220 − 64p12 p220 − 76p11 p320 − 5p02 p11 p21 − 9p12 p21 − p11 p20 p21 + 4p11 p22 −
90p202 p30 − 45p03 p30 − 77p211 p30 − 234p02 p20 p30 − 228p220 p30 − 39p21 p30 + 12p02 p31 +
36p20 p31 + 12p32 − 20p11 p40 + 60p50 − 20p302 q02 + 34p02 p03 q02 + 24p04 q02 − 159p02 p211 q02 −
105p11 p12 q02 − 132p202 p20 q02 + 32p03 p20 q02 − 109p211 p20 q02 − 192p02 p220 q02 − 24p320 q02 −
2 −
50p02 p21 q02 − 40p20 p21 q02 − 16p22 q02 − 287p11 p30 q02 − 88p40 q02 − 350p02 p11 q02
2 − 144p p q 2 − 392p q 2 − 248p q 3 + 24p q 3 − 30p2 q
148p12 q02
20 02
02 02
30 02
11 20 02
02 03 − 9p03 q03 −
2 q
81p211 q03 − 178p02 p20 q03 − 248p220 q03 − 51p21 q03 − 303p11 q02 q03 − 372q02
03 + 80p02 q04 +
88p20 q04 + 60q05 − 13p202 p11 q11 + 8p03 p11 q11 − 13p02 p12 q11 + 8p13 q11 − 42p02 p11 p20 q11 −
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.13/22
Continuación de η3
17p12 p20 q11 − 29p11 p220 q11 − 75p02 p30 q11 − 87p20 p30 q11 − 16p202 q02 q11 + 19p03 q02 q11 +
3
2 q
27p211 q02 q11 + 28p02 p20 q02 q11 + 96p220 q02 q11 + 17p21 q02 q11 + 101p11 q02
11 + 124q02 q11 −
2 − 3p q 2 − 3p p q 2 − 9p q 2 +
59p02 q03 q11 − 71p20 q03 q11 + 20q04q11 − 3p02 p11 q11
30 11
11 20 11
12 11
2 + 37p q q 2 − 5q q 2 − q q 3 − 3p p q
27p02 q02 q11
02 11 12 − 3p12 q12 − 7p11 p20 q12 −
02 11
03 11
20 02 11
21p30 q12 − 46p02 q02 q12 − 40p20 q02 q12 − 33q03 q12 + 23q02 q11 q12 − 36q02 q13 − 53p02 p211 q20 −
53p11 p12 q20 + 60p202 p20 q20 + 30p03 p20 q20 − 3p211 p20 q20 + 156p02 p220 q20 + 152p320 q20 −
8p02 p21 q20 + 2p20 p21 q20 − 8p22 q20 − 131p11 p30 q20 − 80p40 q20 − 232p02 p11 q02 q20 −
2
2 q
134p12 q02 q20 + 68p11 p20 q02 q20 − 322p30 q02 q20 − 252p02 q02
20 + 288p20 q02 q20 −
147p11 q03 q20 −378q02 q03 q20 +30p202 q11 q20 +15p03 q11 q20 +27p211 q11 q20 +136p02 p20 q11 q20 +
2 q q +29p q 2 q +39p q 2 q −
158p220 q11 q20 +21p21 q11 q20 +138p11 q02 q11 q20 +238q02
20 11 20
11 20
02 11 20
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.14/22
Fin de η3
2
2
3 q
q11
20 − 8p02 q12 q20 − 2p20 q12 q20 + 19q11 q12 q20 − 12q13q20 − 30p02 p11 q20 − 30p12 q20 +
2 − 30p q 2 − 60p q q 2 + 228p q q 2 − 90q q 2 + 37p q q 2 +
64p11 p20 q20
11 11 20
03 20
20 02 20
02 02 20
30 20
2
2 + 20p q 3 + 10q q 3 − 30p2 q
124q02 q11 q20
11 20
20 20
02 21 − 15p03 q21 − 27p11 q21 − 86p02 p20 q21 −
2
2 q
100p220 q21 − 21p21 q21 − 89p11 q02 q21 − 112q02
21 − 29p02 q11 q21 − 33p20 q11 q21 + q11 q21 −
2 q
15q12 q21 − 37p11 q20 q21 − 94q02 q20 q21 − 10q20
21 + 8p02 q22 + 16p20 q22 − 4q11 q22 + 12q23 −
9p02 p11 q30 − 9p12 q30 − 5p11 p20 q30 − 63p30 q30 − 18p02 q02 q30 + 32p20 q02 q30 − 27q03 q30 +
8p11 q11 q30 + 37q02 q11 q30 + 82p20 q20 q30 + 41q11 q20 q30 − 21q21 q30 − 8p11 q31 − 28q02 q31 −
20q20 q31 − 24p20 q40 − 12q11 q40 + 12q41 )/192
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.15/22
Bifurcaciones generalizadas de Hopf
El Campo de Vectores (1), tiene en el origen un
Foco Débil Atractor de orden dos si
L(0) = L(1) = 0 y L(2) < 0.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.16/22
Bifurcaciones generalizadas de Hopf
El Campo de Vectores (1), tiene en el origen un
Foco Débil Atractor de orden dos si
L(0) = L(1) = 0 y L(2) < 0.
Por el algoritmo descrito en estas notas existe,
D
E
J6 (V )(x, y) , tal que,
∇V6 , J5 (X) 6= 0
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.16/22
Bifurcaciones generalizadas de Hopf
El Campo de Vectores (1), tiene en el origen un
Foco Débil Atractor de orden dos si
L(0) = L(1) = 0 y L(2) < 0.
Por el algoritmo descrito en estas notas existe,
D
E
J6 (V )(x, y) , tal que,
∇V6 , J5 (X) 6= 0
Geométricamente, existe una curva de nivel pequeño
de J6 (V ), transversal al campo de vectores en cada
punto. El sentido del campo de vectores es hacia el
origen, pues L(2) < 0 y el sentido del gradiente
∇J6 (V ) es el opuesto hacia el origen pues J6 (V )
tiene un mínimo local en el origen.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.16/22
gráfica
J6 (V )−1 (c), c valor regular pequeño
X
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.17/22
gráfica
J6 (V )−1 (c), c valor regular pequeño
X
Sea una perturbación de los parámetros del Campo
(1) que invierta la estabilidad del origen, es decir, tal
que, L(0) = 0 y L(1) > 0. Entonces ocurren dos
cosas:
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.17/22
Continuación
D
E
La transversalidad , ∇V6 , J5 (X) < 0, es persiste
pues la transversalidad es estructuralmente estable.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.18/22
Continuación
D
E
La transversalidad , ∇V6 , J5 (X) < 0, es persiste
pues la transversalidad es estructuralmente estable.
existeDun curva de E
nivel pequeño, J4 (V )−1 (c1 ) , tal
que, ∇V4 , J3 (X) > 0
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.18/22
Continuación
D
E
La transversalidad , ∇V6 , J5 (X) < 0, es persiste
pues la transversalidad es estructuralmente estable.
existeDun curva de E
nivel pequeño, J4 (V )−1 (c1 ) , tal
que, ∇V4 , J3 (X) > 0
J6 (V )−1 (c), c valor regular pequeño
J4 (V )−1 (c1 ), c1 valor regular pequeño
X
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.18/22
Primer ciclo límite
Por el Teorema de Poincaré-Bendixon, existe un
ciclo límite infinitesimal hiperbólico atractor, entre
las curvas de nivel J6 (V )−1 (c) y J4 (V )−1 (c1 ).
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.19/22
Primer ciclo límite
Por el Teorema de Poincaré-Bendixon, existe un
ciclo límite infinitesimal hiperbólico atractor, entre
las curvas de nivel J6 (V )−1 (c) y J4 (V )−1 (c1 ).
La hiperbolicidad del ciclo límite es consecuencia de
la transformación de primer retorno de Poincaré ya
que intersecta transversalmente la diagonal
π
P
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.19/22
Segundo ciclo límite
Sea una perturbación de los parámetros del Campo
(1) que invierta nuevamente la estabilidad del
origen, es decir, tal que, L(0) < 0 con L(1) > 0.
Entonces ocurren tres cosas:
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.20/22
Segundo ciclo límite
Sea una perturbación de los parámetros del Campo
(1) que invierta nuevamente la estabilidad del
origen, es decir, tal que, L(0) < 0 con L(1) > 0.
Entonces ocurren tres cosas:
D
E
La transversalidad , ∇V4 , J3 (X) > 0, es persiste
pues es estructuralmente estable.
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.20/22
Segundo ciclo límite
Sea una perturbación de los parámetros del Campo
(1) que invierta nuevamente la estabilidad del
origen, es decir, tal que, L(0) < 0 con L(1) > 0.
Entonces ocurren tres cosas:
D
E
La transversalidad , ∇V4 , J3 (X) > 0, es persiste
pues es estructuralmente estable.
El ciclo límite atractor anterior, persiste pues es
hiperbólico
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.20/22
Segundo ciclo límite
Sea una perturbación de los parámetros del Campo
(1) que invierta nuevamente la estabilidad del
origen, es decir, tal que, L(0) < 0 con L(1) > 0.
Entonces ocurren tres cosas:
D
E
La transversalidad , ∇V4 , J3 (X) > 0, es persiste
pues es estructuralmente estable.
El ciclo límite atractor anterior, persiste pues es
hiperbólico
−1
Existe
un
curva
de
nivel
pequeño,
J
(V
)
(c2 ) , tal
2
D
E
que, ∇V2 , J1 (X) < 0
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.20/22
Continuación
Por el Teorema de Poincaré-Bendixon, existe un
ciclo límite infinitesimal hiperbólico repulsor , entre
las curvas de nivel J4 (V )−1 (c) y J2 (V )−1 (c1 ).
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.21/22
Continuación
Por el Teorema de Poincaré-Bendixon, existe un
ciclo límite infinitesimal hiperbólico repulsor , entre
las curvas de nivel J4 (V )−1 (c) y J2 (V )−1 (c1 ).
La hiperbolicidad del nuevo ciclo límite es
consecuencia de la transformación de primer retorno
de Poincaré y es como en la figura .
π
P
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.21/22
FIN
CANTIDADES DE LIAPUNOV – p.22/22