AUXILIAR # 4 P0. Calcule log(−1) y i P1. Sea: S(z) = ∑ akzk Donde

AUXILIAR # 4
P0. Calcule log(−1) y ii .
P1. Sea:
S(z) =
∞
X
ak z k
k=0
Donde ak = 2, si k es par y ak = 1 si k es impar.
Determine el radio de convergencia de S y pruebe que para |z| < R
la serie converge y que para |z| ≥ R diverge. Comprobar que en {z :
|z| < R},
2+z
S(z) =
1 − z2
P2. Encuentre la serie de Potencias de: − log(1 − z 2 ) entorno a z0 = 0.
Determine su radio de convergencia.
P3. Sea f (z) = (z − z0 )|z − z0 | con z0 , z ∈
derivable en z = z0
C
C. Pruebe que f
es solo
P4. Sea f ∈ H( ) tal que f tiene desarrollo de potencias. Supongamos
que f (x) ∈ , ∀x ∈ y f (ix) ∈ , ∀x ∈ . Probar que f es par.
R
R
R
R
P5.
(a) Sea a ∈
R.∞Encuentre el radio de convergencia R de la serie de
potencias
P
ck z k donde ck = a + 1 si k es par y ck = 1 si k es
k=0
impar. Compruebe que
∞
X
a+1+z
ck z k =
1 − z2
k=0
∀|z| < R
(b) Dado u(x, y) = x sen(x) cosh(y) − y cos(x) senh(y), encuentre v :
2
→ tal que la función f = u + iv satisfaga las condiciones
de Cauchy-Riemann.
(c) Calcule la serie de potencias de f (z) = z2z+2 en torno a z0 = 0, y
calcule su radio de convergencia.
R
R
1