Hurtado Balcazar Diego Alejandro. Martínez Díaz José Rodrigo Alejandro. Méndez Díaz Francisco Antonio. Solución a la Ecuación de Schrödinger para el Oscilador Armónico Cuántico. Introducción. El movimiento vibracional de una molécula diatómica puede ser descrito mediante la aproximación del oscilador armónico cuántico; los resultados obtenidos son de gran utilidad en la descripción de sistemas químicos y moleculares, a continuación se presenta un breve resumen del tratamiento del oscilador armónico en su tratamiento clásico, posteriormente la solución desde el punto de vista de la mecánica cuántica y para finalizar se presentan los resultados derivados de dicho tratamiento una vez que se ha logrado obtener la ecuación de onda para el oscilador armónico. Tratamiento Clásico del Oscilador Armónico. El oscilador armónico clásico constituye el modelo utilizado para describir el movimiento de un cuerpo de masa m sujeto a un resorte, cuando este ultimo se elonga o comprime desde una posición de equilibrio, dicho movimiento se rige por la ley de Hooke. Esta ley establece que dada una masa m, el desplazamiento a partir de una posición de equilibrio tiene una fuerza F proporcional al desplazamiento que actúa para restituir la masa hacia el punto de equilibrio. Esta afirmación se encuentra dada por la siguiente ecuación: F = -kx = m d²x/dt² Donde t es el tiempo y k recibe el nombre de constante de fuerza. Cuando k>1 el resorte no es fácilmente deformable, mientras que cuando k<1, la deformación se realiza con mayor facilidad. Obsérvese que el signo negativo indica que la fuerza y el desplazamiento van en sentido inverso tomando como referencia el punto de la posición de equilibrio. Las unidades de la fuerza se expresan en Newton, el desplazamiento en m y la constante de fuerza en N/m. La solución de esta ecuación esta dada por la siguiente expresión: x = A sen (2πvt + b) Donde A es la amplitud de vibración, b es una constante de integración y v es la frecuencia de vibración dada por: v = (1/2π) (k/m)(1/2) Debido a la periodicidad de la función seno, el movimiento de la partícula sujeta al resorte oscila entre A y -A. Figura 1. Imagen que representa el desplazamiento del resorte durante la oscilación. El tiempo necesario para que el resorte complete una oscilación completa se denomina periodo. Integrando esta ecuación obtenemos la energía potencial U del oscilador armónico: U(x) = - ∫ Fdx = (1/2) kx² Figura 2. Gráfica de la energía potencial para el oscilador armónico. La solución general del sistema como función del tiempo es la siguiente: x(t) = c1senωt + c2cosωt Donde la frecuencia de oscilación esta descrita por la siguiente expresión: ω = (k/m) (1/2) Ejemplo. Para desplazamientos pequeños, el péndulo de un reloj puede considerarse como un oscilador armónico. Un péndulo posee una frecuencia de 1s⁻¹. Si la masa del péndulo es 5Kg. ¿Cuál es la constante de la fuerza del resorte? Con la siguiente expresión obtenemos la frecuencia: ν= √ 1 K 2π m Sustituyendo los valores del problema en la ecuación anterior tenemos: 1 s−1= √ 1 K 2π 5Kg Despejando a K, obtenemos finalmente el valor de la constante del resorte: K =1s−2 × 4 π 2 × 5Kg K =197N/m Tratamiento Mecánico Cuántico del Oscilador Armónico. El oscilador armónico cuántico es el análogo mecánico cuántico del oscilador armónico clásico. Es uno de los sistemas modelo más importante en mecánica cuántica, ya que cualquier potencial interatómico se puede aproximar mediante un potencial armónico en las proximidades del mínimo o punto de equilibrio. Además, es uno de los sistemas mecánico cuánticos que tiene solución analítica exacta. La solución para este sistema implica resolver la siguiente ecuación diferencial: - (2π/h)² d²Ψ/dx² + U(x)Ψ(x) = EΨ(x) Con Ux) = (1/2)kx². Esta ecuación solo tiene solución exacta si la energía esta cuantizada, es decir se consideran valores discretos de la energía, obteniendo la siguiente expresión para la energía del sistema: En = hν(n+(1/2)) Una consecuencia de esto es que los niveles se encuentran igualmente espaciados con separación hν. Dicho espaciamiento es característico de un potencial cuadrado en un oscilador armónico. Figura 3. Valores de energía potencial. La energía del estado base con n=0 es (½) hv, correspondiente a la energía del punto cero. Función de Onda del Oscilador Armónico Cuántico La función de onda correspondiente a la energía del oscilador armónico es no degenerada, es decir, porta diferentes valores de energía y esta dada por: Ψn(x) = NnHn(α(1/2)x) e(-αx⁽z/2) Donde α = (2πkμ/h²) (1/2) y n es el número cuántico principal. Por otra parte el termino Hn, corresponde a los polinomios de Hermite, a continuación se muestra la expresión para los primeros 5 términos de esta serie. Clásicamente sabemos que a una energía dada E, |x| no puede ser mayor a la amplitud A que define el máximo desplazamiento desde el punto de equilibro. Es decir el desplazamiento promedio de un oscilador armónico es cero para todos los estados cuánticos del mismo, en otras palabras la separación internuclear promedio es igual a la distancia de equilibrio. La mecánica cuántica sin embargo permite cierta penetración en las regiones clásicamente prohibidas, sin embargo la probabilidad de que la partícula se encuentre en dichas regiones disminuye a medida que la partícula se adentra en las mismas, esto es debido a que el termino exponencial de la función de onda esta elevado a la menos 1. Por tanto cuando |x| → ∞, Ψ → 0. Figura 4. Función de onda para los primeros 4 niveles de energía del oscilador armónico cuántico. De la figura 4, podemos ver que la oscilación de la partícula se encuentra entre los valores maximales de la función de onda, además estos coinciden con el periodo de oscilación de la misma. La siguiente gráfica muestra el cuadrado de la función de onda, aquí se ve claramente que la máxima probabilidad de oscilación se encuentra entre los valores donde la partícula cumple un periodo de oscilación completa para cada nivel de energía dado por el numero cuántico n. Figura 5. Cuadrado de la función de onda, probabilidad de oscilación entre los niveles que definen el periodo de oscilación. A medida que n aumenta, la discretización de la energía comienza a perder importancia y las predicciones del tratamiento clásico y cuántico coinciden en sus predicciones. Figura 6. Cuadrado de la función de onda cuando n=10. Esto es evidente cuando se superponen las gráficas de la energía potencial del tratamiento clásico y del tratamiento cuántico (figura 7), en la cual solo para valores de energía pequeños las curvas coinciden, sin embargo, cuando la energía de oscilación aumenta deja de existir concordancia entre los resultados de ambas predicciones. Cabe recalcar que en general aun cuando la forma de ambas curvas difiere, la región en la cual coinciden arroja buenos resultados para el estudio de vibraciones a nivel atómico, por tanto siendo de utilidad en el estudio de sistemas químicos. Figura 7. Gráfica de la energía potencial para el oscilador armónico (clásico) y cuántico. Referencias. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc2.html (Consultado el 10 de marzo de 2014). I. Levin, Quantum Chemistry, Prentice Hall, 2000. pag. 65. P. Atkins and R. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, 3th. Edition, Oxford University Press, 2005. pag. 51,52. Physical Chemistry: A Molecular Aproach; McQuarrie, D. A.; Simon J.D. Cap 5. pag. 157