C\LCULO I. CURSO 2014/2015. Grado en Ingeniería en

CÁLCULO I. CURSO 2014/2015.
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales.
DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA.
Curso: Primero.
Semestre: Primero.
Créditos: 6.
OBJETIVOS DOCENTES.
Los objetivos docentes de la enseñanza de la asignatura CÁLCULO I son fundamentalmente los siguientes:
Acostumbrar al alumno al razonamiento inductivo–intuitivo, mostrando através de
situaciones geométricas, físicas o económicas la necesidad de construir las correspondientes nociones matemáticas y de establecer relaciones cuantitativas entre las
mismas.
Adiestrar en el razonamiento lógico típico del cálculo in…nitesimal, en la medida de
lo posible. A este efecto se efectuará una selección cuidadosa de los teoremas más
signi…cativos.
Dotar al alumno de una razonable destreza en los cálculos con límites, derivadas e
integrales de funciones elementales.
Mostrar las conexiones que a nivel elemental unen el Cálculo con la Física, la
Economía y la Ingeniería en general.
METODOLOGÍA.
Se darán con claridad las de…niciones y teoremas principales, indicando los resultados de
menor importancia que el alumno debe estudiar por su cuenta. Finalmente se resumirá
la lección poniendo de relieve los puntos más importantes y su conexión con lo anterior.
Al principio del curso se proporcionará a los alumnos una colección de ejercicios clasi…cados según los temas en que se divide el programa de la asignatura.
EVALUACIONES Y EXÁMENES.
La evaluación de los alumnos se hará de acuerdo con las normas que aparecen en la guía
de aprendizaje de la asignatura.
TUTORIAS.
Los profesores de la asignatura estarán a disposición de los alumnos en un horario de
tutorias que se hará público a principios de curso.
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PROGRAMA DE CÁLCULO I. CURSO 2014-15.
Tema 1. La recta real. Aplicaciones: generalidades.
Los números naturales, enteros, racionales y reales. La recta real: relación de orden,
desigualdades e intervalos. El valor absoluto de un número real. Conjuntos acotados:
máximo, mínimo, supremo e ín…mo de un conjunto. Propiedad del supremo. Densidad
de los racionales en los reales. Noción de función. Tipos de funciones. Operaciones
elementales con funciones, composición de funciones y función inversa.
Tema 2. Sucesiones y límites de sucesiones.
De…niciones de sucesión, subsucesion y límite de una sucesión. Unicidad del límite. Convergencia de las sucesiones monótonas. Propiedades de los límites. Sucesiones de Cauchy.
Completitud de R. Operaciones elementales con sucesiones. El número e. Cálculo de
límites de sucesiones. Sucesiones recurrentes. Sucesiones de…nidas mediante una aplicación contractiva.
Tema 3. Límites y continuidad de funciones.
Límite de una función en un punto. Unicidad del límite de una función. Caracterización
del límite por sucesiones. Propiedades de los límites. Continuidad en un punto. Cálculo
de límites de funciones.
Continuidad en un intervalo. Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios.
Extremos globales. Imagen continua de un intervalo. Continuidad de la inversa.
Tema 4. Derivación.
De…nición de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la
derivada. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad. Derivadas sucesivas de una
función.
Reglas de derivación. Regla de Leibniz. Regla de la cadena. Derivada de la función
inversa.
Tema 5. Teoremas del valor medio.
Extremos locales. Condición necesaria de extremo local. El teorema de Rolle. Separación
de ceros.
Teorema del valor medio de Lagrange. Funciones con derivada nula y funciones con
derivada positiva en un intervalo. Existencia local de la función inversa. Condiciones
su…cientes de extremo local. Teorema del punto …jo.
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Tema 6. Convexidad y puntos de in‡exión. Límites indeterminados.
Funciones convexas y cóncavas. Propiedades de las funciones convexas. Puntos de in‡exión.
Regla de L’Hôpital: los casos 0=0 e 1=1. Reiteración de la regla de L’Hôpital.
Tema 7. Fórmula de Taylor.
Ordenación de un polinomio en potencias de x a. De…nición de polinomio de Taylor
de una función. Fórmula de Taylor con resto in…nitesimal (Aproximación de orden n).
Unicidad del polinomio de Taylor. Condición su…ciente de extremo local y de punto de
in‡exión. Polinomios de Taylor de funciones elementales. Propiedades básicas de la o
pequeña de Landau. Álgebra de los polinomios de Taylor. Polinomio de Taylor de orden
n con resto de Lagrange. Acotaciones del resto.
Tema 8. Integración.
Las sumas de Darboux. Integrales superior e inferior. De…nición de integral: funciones
integrables. Criterio de integrabilidad. Integrabilidad de las funciones monótonas. Sumas
de Riemann. La integral como límite de sumas.
Propiedades de la integral: linealidad de la integral. Integrabilidad del producto. Monotonía
de la integral. El promedio integral. Acotación modular. La integral como función del
intervalo.
Tema 9. Teoremas fundamentales del Cálculo.
Integración de las funciones continuas y continuas a trozos. El teorema del valor medio
del cálculo integral. Regla de Barrow. Fórmula de integración por partes. Fórmula de
cambio de variables.
La integral como función del límite superior de integración. Continuidad de la función
integral. Teorema fundamental del Cálculo: primitiva de una función continua.
Tema 10. Funciones elementales.
Funciones logarítmica y exponencial. Funciones ciclométricas.
Tema 11. Cálculo elemental de primitivas.
Integración por partes. Integración por sustitución (cambio de variable en una integral).
Descomposición en fracciones simples: integración de funciones racionales. Integración de
funciones trigonométricas. Integración de funciones con radicandos cuadráticos.
BIBLIOGRAFIA.
Libros de Teoría.
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Riaza R. y Alvarez M. Cálculo in…nitesimal. Sociedad de Amigos de la E.T.S.I
.Industriales U.P.M.
Courant R. y John F. Introducción al Cálculo y al Análisis Mátemático. Ed.
Limusa.
Spivak M. Calculus. Ed. Reverté.
Libros de Problemas.
Ruiz J. Cuestiones de Cálculo. Varios ejemplares están a disposición de los alumnos
en la biblioteca de la E.T.S.I.Industriales U.P.M.
Liashkó I.I. et al. Matemática Superior. Problemas resueltos. Ed. URSS.
García Lázaro, P, Riaza Pérez, R, Rincón Ortega, A y Tablada Cruz, M.
Problemas de Cálculo In…nitesimal. Calculo I. Sección de Publicaciones E.T.S.I.Industriales
U.P.M.
Fernández de las Heras, L, García Lázaro, P, Rincón Ortega, A y Tablada
Cruz, M. Problemas de examen. Calculo I. Sección de Publicaciones E.T.S.I.Industriales
U.P.M.
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