Los Números Complejos - IES El Señor de Bembibre

SIGLO XVI
QUÉ SON LOS NÚMEROS COMPLEJOS
O CÓMO ALGO IMAGINARIO PUEDE SER
COMPLETAMENTE REAL
Girolamo Cardano (1501-1576)
Cualquier estudiante de Secundaria o Bachillerato ha tenido que memorizarse esta sencilla fórmula: x =
− b ± b 2 − 4ac
para así resolver las ecuaciones de 2º grado. Pero había un
2a
reducto en el que no había solución REAL, que es cuando el radicando de la fórmula tenía un
valor negativo, pero ¿y si sí tuviera soluciones?.
A mediados del S. XVI en Italia, el matemático Girolamo Cardano escribió sobre unas
raíces cuadradas de números negativos - los números imaginarios – y se preguntó si se podrían
hacer operaciones análogas a las que se hacen en el campo números reales ¿pero sería esto
posible?. Cardano (junto con algunos colegas
suyos, como Ferrara y Tartaglia) descubrió su
−q
q 2 p3
−q
q 2 p3
±
+
+ 3
±
+
bizarra naturaleza al idear una fórmula (que se x = 3
2
4 27
2
4 27
muestra al lado) para resolver ecuaciones de
grado 3, incompleta (falta el término de grado 2, pero toda ecuación cúbica se puede reducir a una
de esa forma: x 3 + px + q = 0 ). En ella, que se cumplía siempre, debían utilizarse raíces cuadradas
de números negativos sabiendo que la ecuación tenía soluciones que eran números reales.
Pongamos como ejemplo la ecuación x 3 − 7 x + 6 = 0
Calculando por la Regla de Ruffini y usando la fórmula anterior, se obtiene que tiene
como soluciones: x=1, x=2; x=-3 (números reales) y sin embargo, sustituyendo en la fórmula
propuesta, da la raíz de un número negativo, en concreto aparece
− 100 / 27 , lo que nos lleva
a pensar que los números imaginarios realmente existen.
¿Cómo es posible, se preguntaban, que a través de una “cosa tan irreal” y desprovista de
sentido, como la raíz cuadrada de un número negativo, se obtuviesen soluciones reales de la
ecuación cúbica?. A la fórmula anterior se le denomina Fórmula de Cardano-Ferrari, Fórmula de
Cardano-Tartaglia o simplemente Fórmula de Cardano y aparece por primera vez en el libro Ars
Magna, publicado por este último, cuyas raíces se remontan al la obra Aritmetica del gran
Diofanto de Alejandría (c. 250 a.C.). También trabajó en la resolución de la cúbica el matemático
Del Ferro (n. 1465) y como curiosidad, decir que Tartaglia (¿os suena de algo su triángulo?) es el
apodo (tartamudo) del matemático italiano Niccolo Fontana.
Bombelli (n. en 1526) , años más tarde arrojó algo de luz cuando publicó su libro L’Algebra, y su objetivo principal era clarificar el
libro de Cardano. Él se inventó y comenzó a manipular “algo” que no
eran números reales, pero mediante operaciones análogas a las realizadas entre éstos, se llegaba a la solución de la ecuación.
En próximas fichas ampliaremos este tema, explicando la
introducción definitiva en el álgebra de estos números que para algunos parecían intratables e innombrables, y su repercusión en las distintas ramas de las Matemáticas y otras ciencias.
Niccolo Fontana (1499-1557)
Rodrigo Fernández Matilla. 2º de Bachillerato. Curso 2015/2016