Resolución de la ecuación algebraica cúbica

Resolución de la ecuación algebraíca cúbica
Introducción
Los protagonistas
Cardano, Girolamo(Hieronymus Cardanus. Jerome Cardan) (1501_1576): Físico, astrólogo y algebrista
italiano, autor de Ars Magna (Nuremberg 1547), primer texto latino dedicado exclusivamente al álgebra. Esta
obra contiene una solución para las ecuaciones cúbicas (ecuaciones con incógnitas elevadas a la tercera
potencia). Procedimiento que se dice obtuvo Cardano de su descubridor Niccolo Tartaglia, con una promesa
de secreto que Cardano dejó de cumplir.
En mecánica inventó la suspensión Cardan, hoy ampliamente difundida, en su aplicación a los automotores,
como articulación que sirve para transmitir el movimiento de un árbol a otro cuando ambos forman un cierto
ángulo.
Niccolo Tartaglia: Geómetra italiano(1499−1557), cuyo verdadero nombre era Niccolo Fontana, en tanto
que Tartaglia era un apodo que significa: el tartamudo. Se le debe el método de resolución de las ecuaciones
de tercer grado, y de la primera aplicación de las matemáticas al arte militar(año 1541). Tartaglia no publicó
su descubrimiento, pues en esa época era costumbre mantenerlos en secreto. Bajo promesa solemne de no
divulgarlo, Tartaglia comunicó sus resultados a Cardano, sin embargo este lo publicó como propio, según se
dijo antes,lo que dio lugar a una disputa entre Tartaglia y Cardano y sus discípulos. Como se vé Cardano
actuaba como un moderno Jefe de Grupo
Los matemáticos italianos y los artificios matemáticos
A continuación transcribo el texto del Dr. Gino Moretti, página 2, de su libro Métodos matemáticos de la
Física (1959) :
"Cuando un razonamiento es complicado. no se puede pretender que la fórmula que lo expresa sea simple,
pero en todo caso será necesario manipularla con cuidado, hasta reducirla a su forma apta para sacar
conclusiones útiles. Estos manipuleos constituyen el desarrollo formal de un problema, que a menudo se
convierte en una pesadilla para los estudiantes, preocupados por aprenderlos de memoria con el solo objeto de
aprobar exámenes.
Algún espíritu despectivo ha insinuado alguna vez, la palabra artificio para designar alguna de estas
transformaciones. La palabra sugiere que el desarrollo de las fórmulas sea algo artificial, si se prefiere fruto de
una revelación mágica a un ser dotado de poderes sobrehumanos. Esto es completamente falso. Si se quiere
entender la Matemática y estudiarla con espíritu tranquilo, hay que convencerse primeramente que los
llamados artificios son la traducción formal de un razonamiento lógico que se podría expresar con palabras, y
que el desarrollo formal, paso a paso, responde a una necesidad lógica. No existen pues artificios en las
Matemáticas."
Pese a estas palabras, el Dr. Moretti durante sus clases sobre Mecánica de los Fluídos,frecuentemente
expresaba"...y mediante un artificio matemático.. etc, etc, etc"
Volviendo ahora a la resolución de la ecuación cúbica, considero que Tartaglia, despues de una noche de
febril actividad, según expresa la crónica, recurre a un verdadero artificio matemático para lograr la
mencionada solución. Y en verdad tiene aspecto de algo mágico, de sacado de la galera. En realidad la galera
es una mente prodigiosa, excepcional.
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Para los que no estamos así dotados, y sólo contamos con la lógica y el razonamiento, resulta realmente
pertubador. Es así que me lancé a la tarea de llegar a las ecuaciones de Tartaglia/Cardano, a partir de las
relaciones que ligan a las raíces con los coeficientes de la ecuación. Pero el trabajo fue en vano, ensayé
cambios de variables, algunas lógicas y otras no tanto, sin resultado, pero como compensación logré un
premio consuelo, que es el que describo en mi monografía.
Antes de finalizar vamos a hacer un breve repaso del procedimiento de Tartaglia/Cardano.
−Sea la ecuación cúbica reducida y=x3+cx+d=0, haciendo x=(A+B);x3=(A+B)3=A3+B3+3AB(A+B), luego
x3−(A3+B3)−3AB(A+B)=0, ordenando:x3−3AB(x)−(A3+B3)=0; identificando con la ecuación
cúbica¸tendremos c=−3AB; d=−(A3+B3) , luego A=− c/3B, en consecuencia A3=−c3/27B3, luego:
d=−(−c3/27B3+B3)=c3/27B3−B3, con lo que obtenemos
B3d=c3/27−B6; ordenando resulta:B6+dB3−c3/27=0, la cual se puede poner como
(B3)2+dB3−c3/27=0, y ser resuelta como una ecuación de2º en B3, lo que nos conduce a las siguientes
expresiones:
B13=−d/2+(d2/4+c3/27)1/2 ;B23=−d/2−(d2/4+c3/27)1/2 y finalmente obtenemos:
B1=(−d/2+(d2/4+c3/27)1/2)1/3; B2=(−d/2−(d2/4+c3/27)1/2)1/3
Ahora debemos hacer varias aclaraciones :al contemplar todas las posibles raíces, incluidas las complejas,
aparecen (9) nueve valores posibles.
Aplicando una serie de criterios, llegamos a las fórmulas de Cardano, que nos determinan las tres raíces de la
ecuación reducida.
Pero si lo que tenemos que resolver es la ecuación cúbica completa
Y=x3+bx2+cx+d=0, entonces previamente debemos hacer el cambio de variable x=z−b/3, para llegar así a
una ecuación cúbica reducida de la forma:
W=z3+(c−b2/3)z+2b3/27−bc/3+d=0
Todos estos pasos son obviados en el método propuesto en mi Monografía, lo cual considero hace muy
atractivo al mismo.
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