Observabilidad • • • • Introducción Definiciones Observabilidad en sistemas lineales Observabilidad en sistemas lineales e invariantes. – Subespacio no-observable – Subsistema observable – Separación del subsistema controlable y observable U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 1 Introducción • Concepto: "observar" el estado del sistema a partir de su relación entrada-salida. u(t) y(t) Sistema x(t) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 2 1 Observabilidad: ejemplo R1C1 u R2C2 R1 R2 C1 C2 uc2 x(t) uc1 y=x1-x2 • ¿se puede conocer x(t) conocido y(t)=x1(t)-x2(t) ? • en el supuesto R1C1≠R2 C2: ¿se puede conocer x(t0) conocido y(τ)=x1(τ)-x2(τ) para t0<τ≤t? o bien ¿cada estado inicial distinto genera una salida distinta? • ¿y si y(t)=3x1(t)-5x2(t)? • ¿y para R1C1=R2C2? ¿existen estados en los que y(t)=0? U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 3 Definiciones: (1/1) observabilidad de un punto del estado • x0 es observalable en [to,t1], si y sólo si partiendo de x(t0)=x0, el conocimiento de la entrada u(τ) y la salida y(τ) en el intervalo to ≤ τ ≤t1, permite asegurar que x(t0)=x0 • x0 es observalable, si y sólo si para todo instante inicial t0 existe un intervalo finito [to,t1], tal que x0 es observable en [to,t1]. U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 4 2 Definiciones: (1/2) observabilidad de un sistema • Un sistema es observalable en [to,t1], si y sólo si todos los puntos del espacio de estado son observalables en [to,t1], • Un sistema es observalable si y sólo si todos los puntos del espacio de estado son observalables U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 5 Observabilidad de sistemas lineales: introducción • En un sistema lineal e invariante: t y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0 + " C( t )!( t,# )B(# )u(# )d# + D( t )u( t ) t0 agrupando términos que no dependen de x0: t ( y( t ) # y( t ) " $ C( t )!( t,% )B(% )u(% )d% + D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0 t0 con lo que el objetivo de la observabilidad es el cálculo de ( x0 a partir de y( t ) o salida del sistema ante entrada nula U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 6 3 Observabilidad de sistemas lineales: teorema • Dado el sistema: x& ( t ) = A( t )x( t ) + B( t )u( t ) y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t ) es observalable en [to,t1] si y solo si el gramiano de observabilidad V(to,t1) es invertible, definido como: t1 V( t1, t 0 ) = ! " T (# , t 0 )C T (# )C(# )"(# , t 0 )d# t0 U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 7 Observabilidad de sistemas lineales: demostración ∃ V-1(t1,t0) ⇔ sistema observalable en [t0,t1] • suficiente (⇒) : t1 ( x 0 = V ( t1, t 0 ) ! " T ($ , t 0 )C T ($ )y($ )d$ #1 t0 por tanto se puede calcular el estado inicial x0 • necesaria (⇐): si no existe V-1(t1,t0) entonces partiendo de x(t0) igual al el vector propio de V asociado al valor propio 0, se ( obtiene: y( t1 ) = 0 por tanto existen estados cuya salida es indistinguible con la salida desde el origen U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 8 4 Observabilidad de sistemas lineales: estados no-observables • definición: estados no-observables son aquellos a partir de los cuales su salida es permanentemente nula ante entrada nula ( y( t ) = 0 !t > t 0 • si existen estados no-observables, ningún estado del sistema es observable • si el sistema no es observable, existen estados no-observables U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 9 Observabilidad de sistemas lineales e invariantes: teorema • Dado el sistema: x& ( t ) = Ax( t ) + Bu( t ) y( t ) = Cx( t ) + Du( t ) es observable si y solo si la matriz P es de rango máximo (n). & C # $ CA ! $ ! P = $ CA 2 ! $ ! $ M ! $%CA n'1 !" U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 10 5 Observabilidad de sistemas lineales e invariantes: demostración rango (P) = n ⇔ sistema es observable • necesario (⇐): ( y (t) = [" 0 (t)C + "1 (t)CA + ...+ " n#1 (t)CA n#1 ] x 0 por tanto si el rango(P)<n, existen estados iniciales x0, tales que y( ( t ) = 0 ! • suficiente (⇒): si no es observable existen vectores ⊥ a P por tanto si no es observable el rango(P) < n U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 11 Sistemas lineales invariantes: Suespacio no-observable • Todos los puntos no-observables forman un subespacio, denominado subespacio noobservable • El subespacio no-observable esta generado por el nucleo de P (vectores x/ Px=0) de dimensión n-rP, siendo rP=rango(P) U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 12 6 Subsistema no-observable: lema Dado un sistema lineal e invariante con dimensión del subespacio no-observable n-rP<n, existe una matriz de cambio de base T tal que: ~ &A ~ '1 A = T AT = $ ~ aa % A ba 0 # ~ ! A bb " C˜ = CT = [C˜ a ~ 0] ~ en el que el subsistema (A aa Ca ) de dimensión rPxrP ! es observable siendo T=[TaTb], donde Tb es una base del subespacio no-observable del sistema U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 13 Subsistema observable: representación gráfica D u(t) ~ &A ~ A = $ ~ aa % A ba C˜ = [C˜ a 0 # ! ~ A bb " 0] ~ Ba ∫ Observable No observable ~ Bb ~ xa ~ Ca y(t) ~ A aa ~ A ab ∫ ~ xb ~ A bb ! U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 14 7 Separación del subsistema controlable y observable: lema Dado un sistema lineal e invariante con rango(Q)=rQ y rango(P)=rP, existe una matriz de cambio de base T tal que: ~ &A aa $~ A ~ '1 ba A = T AT = $ $ 0 $ % 0 0 ~ A bb 0 0 donde: ~ &&A aa • el subsistema $% $% A~ ba ~ A ac ~ A bc ~ A cc ~ A dc 0 # ! ~ A bd ! ~ B = T '1B = 0 ! ~ ! A dd " ~ # 0 # &B ~ a !, $ ~ !, Ca ~ A bb " %Bb " [ ~ ] C˜ = CT = [C˜ a 0 C˜ c 0] dimensión rQxrQ es controlable ~ # &B ~ # A ~ ~ # ac a !, $ !, Ca Cc ! de dimensión rPxrP es observable ~ 0 A 0 " cc " % %% " ~ ~ ,B ~ ,C A subsistema aa a a es controlable y observable • el subsistema &$ &$ A aa • el # 0! " de ~ # &B a $~ ! B $ b! $0! $ ! %!0 " [ U.P.M.-DISAM P. Campoy [ ] ] Control en el Espacio de Estado 15 Separación del subsistema controlable y observable: matriz T siendo la matriz del cambio de base: T=[TaTb Tc Td] donde: Ta Tb es una base del subespacio controlable Tb Td es una base del subespacio no-observable U.P.M.-DISAM P. Campoy Control en el Espacio de Estado 16 8 Separación del subsistema controlable y observable: gráfica ~ &A aa $~ A ~ ba A=$ $ 0 $ % 0 0 ~ A bb 0 0 ~ A ac ~ A bc ~ A cc ~ A 0 # ! ~ A bd ! 0 ! ~ ! A dd " dc ~ # &B a $~ ! B ~ = $ b! B $0! $ ! %0" ~ = CT = C ~ C a [ Controlable y observable ~ xa ~ ~~ ∫ BB Ca a a ~ Bb ~ 0 C c U.P.M.-DISAM 0 ] P. Campoy Observable ∫ ~ A aa Controlable u(t) ∫ ~ Cc ~ A cc ~ A ac ~ A ba ~ xc y(t) ~ A dc ~ A bc ~ xb ∫ ~ A bb ~ xd ~ A dd ~ A bd Control en el Espacio de Estado 17 9