ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

1.3.2
Fórmulas para calcular los valores promedios y desviaciones cuadráticas
De la interpretación estadística de la función de ondas De Broglie e imposibilidad de medición simultanea exacta de coordenada y el
momento lineal conjugado surge necesidad de reemplazar los parámetros clásicos por las observables que se caracterizan por sus valores
esperados (promedios) e incertidumbres (dispersiones). Para calcular los valores esperados e incertidumbres a cada observable le ponen
en correspondencia un operador. Por ejemplo, si un parámetro clásico L  L r, p  es una función del vector de posición r   x, y, z  y


del momento lineal p  px , p y , pz , entonces según regla establecida en la sección 1.2.5 el operador correspondiente a esta observable
es:
Lˆ  L r, i  ;    x ,  y ,  z , 
(1)
Como el valor esperado de la observable está asociado con un valor promedio de un parámetro físico, que obligatoriamente debe ser un
valor real, entonces según el teorema 1 del párrafo anterior es conveniente sugerir que los operadores asociados a las observables deben
ser auto-adjuntos. El valor esperado de una observable A cuyo operador  es auto-adjunto es real. El valor esperado de una observable
definida mediante la relación (1) en un estado con función de onda  r,t  se calcula como:
L   Lˆ   r, t  *  L r, i   r, t  dr
(2)
Podemos conseguir más información sobre el sistema si calcularemos no solo el valor esperado de la observable sino también la
dispersión (incertidumbre) L2 , siendo la nueva observable L  L  L . El operador correspondiente a esta observable es:
Lˆ  Lˆ  L  L r, i    L
Como el cuadrado desviación es
(3)
L2   L  L
(4)

2
Utilizando la regla general para calcular valores esperados tenemos:
L2   Lˆ2   r, t  * Lˆ2 r, t  dr
(5)
De esta manera si se conoce el operador L̂ entonces uno puede calcular el valor esperado del cuadrado de incertidumbre- Según el
Teorema 2 del párrafo anterior para un operador L̂ autoadjunto es no negativo. Si el operador L̂ es autoadjunto entonces el operador
L̂ también es autoadjunto y por eso
L2  0
(6)
Este resultado es muy importante ya que nos permite hallar un criterio para establecer si una observable se puede medir con absoluta
exactitud o no. Según (6) esto es posible solamente para los estados con la función de onda  r,t  , para la cual L2  0 .