Resumen PROBABILIDAD 4º

PROBABILIDAD
Definición axiomática:
Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de
cada suceso es un número que verifica:
1) Cualquiera que sea el suceso A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2) Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la
suma de sus probabilidades.
•
A ∩ B = ∅ → P A ∪ B = P A + P B
3) La probabilidad total es 1. P(E) = 1.
Definición de Laplace.
Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de
resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de
resultados posibles del experimento.
•
P ( A) =
n º de casos favorables a
n º de casos posibles
A
Propiedades de la probabilidad
1) La suma de las probabilidades de un suceso y su complementario vale 1,
por tanto la probabilidad del suceso complementario es:
()
P A = 1 − P(A )
P(E) = 1
y
P(Ø)=0
3) P(A ∪ B ) = P(A ) + P(B ) − P(A ∩ B )
4) Si A ⊂ B entonces: P(A) ≤ P(B)
2)
5) Si A yB son sucesos incompatibles (A ∩ B = ∅ , entonces:
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
ya que p A ∩ B = 0
Ejemplo1:
En el experimento de lanzar dos monedas al aire,
a) Hallar la probabilidad de que al salgan dos caras.
Casos posibles: (cc, cx, xc, xx); Casos favorables: (cc)
1
P(2 caras)=
4
b) Probabilidad de que salga cara y cruz.
Casos posibles: (cc, cx, xc, xx); Casos favorables: (cx) y (xc)
p(cara y cruz)=
=
Ejemplo 2:
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
a)
Un número par
b)
Un múltiplo de tres.
c)
Mayor que 4.
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a)
P(par)=
3 1
= ;
6 2
•
b) P( 3 )=
2 1
=
6 3
c) P(>4)=
2 1
=
6 3
Ejemplo 3
Sea el experimento de extraer 4 cartas de la baraja española. Calcula la
probabilidad de:
a) Extraer dos oros y dos copas
b) Extraer 4 figuras
c) No extraer ningún siete
El espacio muestral estará formado por todas las formas de extraer 4 cartas entre
las cuarenta de la baraja, es decir por las combinaciones de cuarenta cartas
tomadas de cuatro en cuatro.
,
a)
∙
,
,
b)
,
,
c)
,
,
Ejemplo 4:
En una ciudad existen dos periódicos A y B. El 50% de sus habitantes
son lectores del diario A y el 30% del diario B. Un 20% de ciudadanos
leen ambos periódicos. Se elige un ciudadano al azar. Calcula la
probabilidad de que dicho ciudadano:
a)
b)
c)
d)
Lea el periódico A
Lea el periódico B
Sea lector de algún periódico
No lea la prensa
Suceso A= {el ciudadano lee el diario A} → p(A)=0,5
Suceso B= {el ciudadano lee el diario B} → p(B)=0,3
Hay ciudadanos que leen ambos periódicos → p( A ∩ B ) = 0,2
a) p(A)=
b) p(B)=
=
=
c) Ser lector de algún diario: nos sirve leer A o leer B o ambos por lo
que nos piden la probabilidad de la unión
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0,5+0,3-0,2= 0,6
d) p(No leer prensa)= 1-p(leer algún diario) = 1-0,6=0,4
Ejemplo 5
Un estuche contiene 15 lápices de color rojo y 10 de color azul.
a) Si elegimos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo?
b) Si extraemos dos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
c) Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea azul y
el segundo rojo.
Sol:
15 3
=
25 5
C
10 9
3
⋅
=
= 10,2
b) P(AyA)=
25 24 20 C 35,2
a) P(R)=
c) P(1ºAy 2ºR)=
10 15 1
⋅
=
25 24 4
Ejemplo 6
En una urna se tienen 5 bolas azules, 4 rojas y 3 amarillas en una bolsa. Se extraen 3
bolas al azar. Calcula la probabilidad de:
a) Obtener bolas de diferente color en las tres extracciones
Sol:
5 4 3
4
3
⋅ ⋅
⋅ P3 =
⋅6 =
12 11 10
88
11
b) Obtener solo bolas de un color.
Sol:
5 4 3
4 3 2
3 2 1
1
1
1
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
+
+
= 0,068
12 11 10 12 11 10 12 11 10 22 55 220
c) Obtener 2 azules y una roja.
Sol:
5 4 4
2
⋅ ⋅ ⋅3 =
12 11 10
11
d) Que la primera sea azul, la segunda amarilla y la tercera roja.
Sol:
5 3 4
1
⋅ ⋅ =
12 11 10 22