Límites de sucesiones
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Cajón de Ciencias Límites de sucesiones Recordemos primero que una sucesión (o progresión) es una serie de números que siguen algún tipo de fórmula matemática. Normalmente (pero no siempre) trabajarás con sucesiones aritméticas (en las que se suma siempre una cantidad fija) o geométricas (en las que se multiplica por una cantidad fija). Sin embargo, para estudiar los límites de las sucesiones no tienes por qué preocuparte de a qué tipo pertenece, sólo ver cómo se comporta. Por ejemplo, considera las siguientes fórmulas, cada una de las cuales genera la serie de números que tiene a su derecha: an = 4 + (n-1)2 → 4, 6, 8, 10, 12... bn = 6·(1/2)n-1 → 6, 3, 3/2, 3/4... cn = (n-1)/(n+1) → 0, 1/3, 1/2, 3/5... dn = (1 + 1/n)n → 2, 9/4, 64/27, 625/256... en = (-1)n·n2 → -1, 4, -9, 16, -25... ¿Hay alguna forma de saber cómo termina una sucesión? O, como lo preguntaría un matemático, ¿a qué tiende cada una de estas sucesiones en el infinito? Podemos tener varios casos posibles, así que vamos a verlos uno por uno. Sucesiones que tienden a infinito Cojamos la primera de nuestras sucesiones de ejemplo: an = 4 + (n-1)2 → 4, 6, 8, 10, 12... Es fácil ver que a medida que avanzamos en la sucesión los números se van haciendo cada vez más grandes. Si esto ocurre, decimos que la sucesión tiende a más infinito (+∞). No tiene nada que ver con que esta sucesión sea aritmética: cualquier progresión en la que los números vayan siendo cada vez mayores se ajusta a este tipo. Si los números crecen pero en sentido negativo (-3, -5, -7, -9...) decimos, claro está, que la sucesión tiende a menos infinito (-∞). www.cajondeciencias.com Cajón de Ciencias Sucesiones que tienden a cero Vamos ahora con el segundo ejemplo: bn = 6·(1/2)n-1 → 6, 3, 3/2, 3/4... Ahora los números van siendo más y más pequeños (si no lo ves bien, pasa las fracciones a decimales). Al fin y al cabo, en esta sucesión partimos del 6 y lo vamos dividiendo por dos en cada paso. Si seguimos haciendo esto, los números que se encuentren más allá del puesto número 100 serán ridículamente pequeños. Podemos hacer la aproximación de que en el infinito, cuando hayamos dividido 6 por 2 infinitas veces, el resultado va a valer cero. Este sería el límite de nuestra sucesión. Sucesiones que tienden a un número concreto Observa ahora la tercera progresión de ejemplo: cn = (n-1)/(n+1) → 0, 1/3, 1/2, 3/5... Vamos a pasar los números a decimales, para ver las cosas más claras: c1 = 0 c2 = 0,33333.... c3 = 0,5 c4 = 0,6 Parece una sucesión creciente, como las que hemos explicado en primer lugar. Pero si sacamos algunos términos más, notaremos que no se da mucha prisa por acercarse a infinito. De hecho, cuantos más términos calculemos, veremos que en lugar de infinito se acerca a un número concreto, que es el 1. c1 = 0 c2 = 0,3333333.... c3 = 0,5 c4 = 0,6 c5 = 4/6 = 0,6666... c6 = 5/7 = 0,714 c10 = 9/11 = 0,81... c100 = 99/101 = 0,980 c200 = 199/201 = 0,990 www.cajondeciencias.com Cajón de Ciencias Estas progresiones podrían confundirse, como hemos dicho, con las que tienden a infinito. Si tienes dudas de que una progresión sea de ese tipo o que tienda a un número en concreto, calcula unos cuantos términos bien espaciados entre sí, como hemos hecho en la demostración. Una sucesión famosa La cuarta sucesión no es una cualquiera. Vamos a ver cuál es su límite: dn = (1 + 1/n)n → 2, 9/4, 64/27, 625/256... Una vez más, vamos a pasar los términos a decimales para ver mejor todo. De paso, calculemos algunos términos más, un poco espaciados, como hemos aprendido del caso anterior: d1 = 2 d2 = 2,25 d3 = 2,370 d4 = 2,441 d10 = 2,594 d30 = 2,674 d100 = 2,705 d500 = 2,716 ... Es una sucesión creciente, eso se ve bien, como también se ve que no crece indefinidamente, sino que parece acercarse a un número (fíjate que del término 100 al término 500 sólo ha crecido 0,11). Sin embargo, no es un número redondo como el cero o el 1. Tampoco es un número indefinido o anónimo: es ni más ni menos que el número e, cuyas primeras cifras son: 2,7182818284590452353602874713527... Como π, tiene infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón definido. Aunque no te lo creas, se han escrito libros y libros sobre esta cifra. En nuestra sección de “Matemáticas”, en el apartado de “Números”, encontrarás curiosidades acerca de e. www.cajondeciencias.com Cajón de Ciencias Sucesiones que no tienen límite definido Por último, vamos a echarle un vistazo a la quinta progresión de ejemplo: en = (-1)n·n2 → -1, 4, -9, 16, -25... La segunda mitad de la fórmula es la que hace que cada término de la serie sea el cuadrado de la posición que ocupa. Si sólo estuviera esto, la sucesión tendería claramente hacia infinito. Pero la primera mitad de la fórmula de la sucesión provoca que los términos vayan cambiando de signo positivo a negativo y viceversa1. Entonces ¿a qué tiende la sucesión? Cuando cojamos un término muy avanzado, tendremos un número muy grande, y parecerá que la sucesión tiende a inifinito. Pero en el término siguiente nos saldrá un número todavía más grande ¡pero que tiende a menos infinito! Y el siguiente será mayor, esta vez positivo, y luego otro mayor aún, negativo... creo que se ve bien por dónde van los tiros. Conclusión: estas sucesiones no tienen límite, porque ni se acercan a números cada vez más grandes (o más pequeños) ni tienden a un número concreto. Para los más expertos Si ya has trabajado en clase con límites, no tienes que comprobar el límite de una sucesión calculando términos cada vez más avanzados de la sucesión. Basta con hallar el límite de la progresión en el infinito como si ésta fuera una función más. Lim (n-1)/(n+1) n→∞ 1 Cuando el número pertenece a una posición impar, (-1)n sale negativo; cuando está en una posición par, el resultado es positivo. Quédate con este truco cuando tengas que explicar por qué los términos de una sucesión cambian todo el rato de signo. Por cierto, si los signos menos estuvieran en las posiciones pares en lugar de las impares, sólo tendríamos que cambiar (-1)n por (-1)n+1. Compruébalo, www.cajondeciencias.com
