Primer examen parcial enero 2011

Programación Lineal y Optimización
Primer Examen Parcial :Solución
Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011
Matrı́cula:
Nombre:
1. Una pequeña empresa fabrica sustancias de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A, B, C. Un kilogramo de
la sustancia tipo 1 se vende en $800 y para su fabricación se requiere un kilogramo de A, un kilogramo de B y 30 gramos
de C. Un kilogramo del tipo 2 se vende en $500, y para su fabricación se necesita un kilogramo de A, 2 kilogramos de B
y 20 gramos de C. La empresa adquiere cada kilogramo de la materia prima A en 100 pesos, el costo por kilogramo de la
materia prima B es de 120 pesos y cada 100 gramos de C tienen un costo de 2000 pesos. Los proveedores de la compañı́a
pueden surtir a lo más 150 kilogramos de la materia prima A; de la sustancia B, 240 kilogramos y de la sustancia C, 400
gramos. El costo de producción para obtener un kilogramo de la sustancia tipo I es de 30 pesos y el de la sustancia tipo II
es de 25 pesos el kilogramo. La compañı́a desea conocer cuántos kilogramos de cada tipo de sustancia debe producir a la
semana con el fin de maximizar la ganancia. Se supone que toda la producción semanal puede ser vendida.
a) Modele la situación mediante programación lineal. Suponga que las variables de decisión son xi el total de sustancia
tipo i (i = 1, 2) a producir. Indique: la función objetivo y cada restricción.
b) Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
c) Indique cómo queda el tableau inicial.
Solución
MODELO
Variables de decisión:
• x1 = kilogramos de la sustancia tipo 1 a producir semanalmente.
• x2 = kilogramos de la sustancia tipo 2 a producir semanalmente.
Objetivo:
Sea vi el precio de venta, en pesos por kilogramo de cada una de las sustancias que fabrica. Desglosando los ingresos
y los egresos tenemos:
• Ventas. La venta total es V = v1 · x1 + v2 · x2
• Materia prima. Observe que el precio de la sustancia C es 2000 pesos cada 100 gramos. Es decir, que cada 10
gramos cuestan 200 pesos. De donde donde concluimos que cada kilogramo de la sustancia 1 lleva 600 pesos del
producto C y cada kilogramo de la sustancia 2 se lleva 400 pesos del producto C.
◦ Por la sustancia 1: M1 = x1 · (100 + 120 + 600).
◦ Por la sustancia 2: M P2 = x2 · (100 + 240 + 400).
◦ Ası́ el costo por la materia prima es
M P = 820 x1 + 740 x2
• Producción. El costo de producción queda:
P = 30 x1 + 25 x2
Por tanto, la ganancia de la compañı́a queda:
G = V − M P − P = (v1 − 850) · x1 + (v2 − 765) x2
Restricciones:
• Respecto a A (en kg): x1 · 1 + x2 · 1 ≤ 150
• Respecto a B (en kg): x1 · 1 + x2 · 2 ≤ 240
• Respecto a C (en gr): x1 · 30 + x2 · 20 ≤ 400
TC3001, primer parcial enero-mayo 2011
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• Naturales: x1 , x2 ≥ 0.
FORMA ESTÁNDAR :
Maximizar z = (v1 − 850) · x1 + (v2 − 765) x2
Sujeta a:
x1 +
x2
x1 +
2 x2
30 x1 + 20 x2
+
s1
+ s2
+ s3
= 150
= 240
= 400
con x1 , x2 , s1 , s2 , y s3 no negativos.
TABLA INICIAL DEL SIMPLEX :
z
x1
x2
s1
s2
s3
RHS VB
1
850 − v1
765 − v2
0
0
0
0
z
0
0
0
1
1
30
1
2
20
1
0
0
0
1
0
0
0
1
150
240
400
s1
s2
s3
2. Una compañı́a produce artı́culos de dos tipos, realizando las operaciones M y T. La máquina de la operación M cuesta
$1000/hora de funcionamiento y la de la operación T cuesta $2300/hora. El costo del material para una unidad del artı́culo
1 es $50, y para una unidad del artı́culo 2 es de $140. Los precios de venta para los artı́culos son respectivamente de $4000
y $5000 la unidad. Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de artı́culo se dan en la siguiente tabla:
Horas de operación por unidad
TIPO DE ARTÍCULO M
T
A1
A2
2.5
2.0
2.5
1.0
La compañı́a desea conocer cuántas unidades de cada tipo de artı́culo debe fabricar a la semana para obtener la máxima
utilidad.
Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones.
Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
Solución
MODELO
Variables de decisión
• X1 : cantidad de artı́culos del tipo 1 a fabricar a la semana.
• X2 : cantidad de artı́culos del tipo 2 a fabricar a la semana.
Objetivo
Desglosemos ingresos y costos:
• Ventas: V = v1 · X1 + v2 · X2
• Equipo: E = X1 (2.5 · 1000 + 2.5 · 2300) + X2 (2.0 · 1000 + 1 · 2300)
• Materia prima: M P = X1 · 50 + X2 · 140
Por tanto, la compañı́a desea maximizar la ganancia:
z = V − E − M P = (v1 − 8, 300)X1 + (v2 − 4, 440)X2
Restricciones
TC3001, primer parcial enero-mayo 2011
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• Tiempo de la máquina M (horas): X1 · 2.5 + X2 · 2.0 ≤ 40
• Tiempo de la máquina T (horas): X1 · 2.5 + X2 · 1.0 ≤ 40
• Naturales: X1 , X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR :
Maximizar z = (v1 − 8, 300) · X1 + (v2 − 4440) X2
Sujeta a:
2.5 X1 + 2.5 X2
2.5 X1 + 1.5 X2
+ s1
+
s2
=
=
40
40
con X1 , X2 , s1 , s2 ≥ 0.
3. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Glory y Heaven, que
se componen únicamente de azúcar, cajeta y nueces. Actualmente tiene en bodega 50 kilogramos de azúcar, 60 kilogramos
de cajeta y 20 kilogramos de nueces. La mezcla para producir Glory tiene que contener al menos 10 % de nueces y por lo
menos 40 % de cajeta, mientras que para producir Heaven debe contener al menos 20 % de nueces y 30 % de cajeta. Cada
kilogramo de Glory se vende en 200 pesos mientras que cada kilogramo de Heaven se vende en 280 pesos. Formule un PL
que permita maximizar los ingresos por venta.
Solución
Variables de Decisión: Todo problema de mezclas requiere variables que partan la composición
xij = número de kilogramos del ingrediente i usada en el producto j (i = 1, 2, 3 y j = 1, 2)
Xj = total de kilogramos producidas del producto j. (j = 1, 2)
Función Objetivo:
Max z =
N
X
Gj Xj = 200 X1 + 280 X2
j=1
Restricciones:
Producción: para todo j = 1, . . . , N , Xj =
PM
i=1
xij :
• x11 + x21 + x31 = X1
• x12 + x22 + x32 = X2
Recursos: para todo i = 1, . . . , M ,
PN
j=1
xij ≤ Pi :
• Azúcar (kg): x11 + x12 ≤ 50
• Cajeta (kg): x21 + x22 ≤ 60
• Nueces (kg): x31 + x32 ≤ 20
Calidad:
• Nueces en glory: x11 ≥ 0.1 · X1
• Cajeta en glory: x21 ≥ 0.4 · X1
• Nueces en heaven: x12 ≥ 0.2 · X2
• Cajeta en heaven: x22 ≥ 0.3 · X2
Naturales: x11 , x21 , x31 , x12 , x22 , x32 , X1 , X2 ≥ 0.
4. El pastelero Pérez produce dos tipos de pasteles, el tipo A y el tipo B. La masa de pan es la misma: ambos requieren 400
gramos de una mezcla base formada de harina, leche, huevo, azúcar levadura y vainilla previamente batida. Ambos requieren
30 minutos de horneado. Los pasteles difieren en el porcentaje de dos betúnes utilizados y en el tiempo de decoración. Un
pastel tipo A requiere 50 gramos del betún normal y 30 gramos del betún extra. Mientras un pastel tipo B requiere 20
gramos del betún normal y 60 gramos de betún extra. El tiempo de adornado de un pastel de tipo A es de 30 minutos. y
el de uno tipo B es de 45 minutos. Se disponen de: 70 kilogramos de mezcla base; 80 horas de horno con un espacio para
4 pasteles; 2 kilogramos del betún normal y 1.5 kilogramos del betún extra. También se tienen 40 horas para decorado
de pasteles. La ganancia que da un pastel tipo A es de 200 pesos, mientras que la de un pastel tipo B es de 250 pesos.
TC3001, primer parcial enero-mayo 2011
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Formule un modelo de PL de manera que el pastelero maximice sus ingresos bajo el supuesto que todos sus productos serán
vendidos.
Solución
Variables de Decisión:
• x1 = número de pasteles A a hacer.
• x2 = número de pasteles B a hacer.
Función Objetivo:
Maximizar las ventas:
Max z = 200 x1 + 250 x2
Restricciones:
• Mezcla base (en kg): x1 · 0.400 + x2 · 0.400 ≤ 70
• Betún normal (en kg): x1 · 0.050 + x2 · 0.020 ≤ 2.0
• Betún extra (en kg): x1 · 0.030 + x2 · 0.060 ≤ 1.5
• Tiempo de horneado (en horas horno): x1 · 0.5 + x2 · 0.5 ≤ 8 · 40
• Tiempo de decoración (en horas): x1 · 0.5 + x2 · 0.75 ≤ 8 · 40
• Naturales: x1 , x2 ≥ 0
5. Considere el siguiente tableau
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
1
0
0
0
0
0
0
1
−2
0
1
−2
2
1
0
1
−3
0
−1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
RHS VB
10
1
4
6
a) Indique cuál es la SBF que se representa.
Solución
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
RHS VB
1
0
0
0
0
0
0
1
−2
0
1
−2
2
1
0
1
−3
0
−1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
10
1
4
6
z
x7
x5
x1
VB: z = 10, x7 = 1, x5 = 4, x1 = 6; VNB: x2 , x3 , x4
b) Si el problema es de maximización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Escriba
el tableau siguiente.
Solución
Al tratarse de maximizar x4 es la VNB con coeficiente negativo más grande en el renglón 1 de la función. Para las
razones de la columna de x4 : el renglón 2 no aplica (es cero (2, 5)); el renglón 3 no aplica (es negativo (3, 5)). La razón
que queda es la correspondiente al renglón 4 que tiene como variable básica a x1 . Concluimos que
la variable entrante es x4 y que la saliente es x1
c) Si el problema es de minimización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Escriba
el tableau siguiente.
Solución
Al tratarse de minimizar x3 es la VNB con coeficiente positivo más grande en el renglón 1 de la función. Para las
razones de la columna de x3 : el renglón 3 no aplica (es cero (3, 4)); Las razones que quedan son la correspondiente
al renglón 2 que es 1, y la correspondiente al renglón 4 que es 6. La menor es la del renglón 2. Concluimos que:
la variable entrante es x3 y que la saliente es x7
TC3001, primer parcial enero-mayo 2011
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d ) Si el problema es de maximización y está utilizando la estrategia de pivoteo de Bland, indique cuál es la variable
entrante. Escriba el tableau siguiente.
Solución
La estrategia de pivoteo de Bland consiste en elegir la primera variable que tenga el coeficiente negativo (maximización) o positivo (para minimización) En nuestro caso, x2 será la variable entrante. En único coeficiente positivo en la columna correspondiente está en el renglón 3: Por tanto, la variable saliente es x5 . Concluimos que:
la variable entrante es x2 y que la saliente es x5
6. Para el siguiente PL, encuentre su solución.
Maximizar Z = 3 x + 2 y
sujeta a:
3x
x
x
+
+
+
y
y
2y
≤
≤
≤
9
5
10
Con x, y ≥ 0.
Solución
La solución es: x = 2, y = 3 para una evaluación de z = 12.
7. Determine una SBF para:
Maximizar Z = 100 X1 + 90 X2
sujeta a:
6 X1
2 X1
3 X1
Con X1 , X2 ≥ 0.
Solución
El problema sólo tiene 4 SBFs
X1 = 12, X2 = 4
X1 = 2, X2 = 4
X1 = 20, X2 = 0
X1 = 4, X2 = 0
+ 3 X2
+ 4 X2
+ 2 X2
X2
≥
≤
≥
≤
24
40
6
4