Teoría de la Demostración: Deducción Natural

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Teorı́a de la Demostración: Deducción
Natural
TAII(I)
Axiomas, Reglas de Inferencia y Reglas derivadas para el Método de Deducción Natural (DN).
1.
Deducción Natural
Axiomas X-DN:
1. ` A1(α → α).
Reglas de Inferencia RI-DN:
Nombre
Regla de Sustitución (RS)
Regla
Dada una tesis (axioma o teorema), el
resultado de sustituir una, algunas, o
todas sus variables proposicionales por
fbf es también una tesis del sistema.
Regla de Introducción de la Conjunción
(RI ∧)
Regla de Eliminación de la Conjunción
(RE∧)
Regla de Introducción de la Disyunción
(RI∨)
Regla de Eliminación de la Disyunción
(RE∨) (Prueba por casos)
1
α
β
α∧β
α∧β
α
α∧β
β
α
α∨β
β
α∨β
α ⇒ γ, β ⇒ γ
α∨β ⇒γ
Nombre
Regla de Introducción de la Negación
(RI¬) (Reducción al absurdo)
Regla
α ⇒ β, α ⇒ ¬β
¬α
Regla de Eliminación de la Doble Negación (RE¬¬)
¬¬α
α
Regla de Introducción de la Implicación
(RI→) (Modus Ponens)
α→β
α
β
Regla de Eliminación de la Doble Negación (RE→) (Teorema de la Deducción)
α⇒β
α→β
Reglas derivadas de la implicación
Nombre
Silogismo Hipotético
Regla
α→β
β→γ
α→γ
Mutación de Premisas
α → (β → γ)
β → (α → γ)
α→γ
Identidad
α
α
2
Nombre
Introducción del Antecedente (Carga de
Premisa)
Regla
α
β→α
Reglas derivadas de la conjunción1
Nombre
Propiedad conmutativa
Regla
α∧β
β∧α
Propiedad asociativa
(α ∧ β) ∧ γ
α ∧ (β ∧ γ)
Idempotencia
α∧α
α
Recı́proca de la Idempotencia de la
Conjunción
α
α∧α
Propiedad distributiva
α ∧ (β ∨ γ)
(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
Recı́proca de la Propiedad distributiva
(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)
α ∧ (β ∨ γ)
1 La lı́nea horizontal doble significa que la inferencia puede realizarse en ambos sentidos:
premisas a conclusión, o conclusión a premisas
3
Nombre
Absorcion
Regla
α ∧ (α ∨ β)
α
Recı́proca de la Absorcion
α
α ∧ (α ∨ β)
Reglas derivadas de la disyunción
Nombre
Propiedad conmutativa
Regla
α∨β
β∨α
Propiedad asociativa
(α ∨ β) ∨ γ
α ∨ (β ∨ γ)
Idempotencia
α∨α
α
Recı́proca de la Idempotencia de la
Disyunción
α
α∨α
Propiedad distributiva
α ∨ (β ∧ γ)
(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)
Recı́proca de la Propiedad distributiva
(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)
α ∨ (β ∧ γ)
4
Nombre
Absorcion
Regla
α ∨ (α ∧ β)
α
Recı́proca de la Absorcion
α
α ∨ (α ∧ β)
Reglas derivadas de la negación
Nombre
Modus Tollens
Regla
α→β
¬β
¬α
Contraposición
α→β
¬β → ¬α
Doble Negación
α
¬¬α
Excontradictione Quodlibet
α ∧ ¬α
β
Tollendo Ponens
α∨β
¬β
α
5
Reglas de interdefinición entre conectivas
Nombre
Importación/Exportación
Regla
α → (β → γ)
α∧β →γ
Recı́proca
de
portación/Exportación
la
Imα∧β →γ
α → (β → γ)
Interdefinición Implicación/Disyunción
¬α ∨ β
α→β
Recı́proca de la Interdefinición Implicación/Disyunción
α→β
¬α ∨ β
Interdefinición Implicación/Conjunción
¬(α ∧ ¬β)
α→β
Recı́proca de la Interdefinición Implicación/Conjunción
α→β
¬(α ∧ ¬β)
Leyes de De Morgan
¬(α ∧ β)
¬α ∨ ¬β
6
Nombre
Dilema Constructivo Simple
Regla
α∨β
α→γ
β→γ
γ
Dilema Constructivo Complejo
α∨β
α→γ
β→η
γ∨η
Dilema Constructivo Simple con Negación de los Consecuentes
¬α ∨ ¬β
γ→α
γ→β
¬γ
Dilema Constructivo Complejo con Negación de los Consecuentes
¬α ∨ ¬β
γ→α
η→β
¬γ ∨ ¬η
Reglas derivadas de la doble implicación
Nombre
Introducción de la Doble Implicación
Regla
α→β
β→α
α↔β
Eliminación de la Doble Implicación
α↔β
α→β
7
α↔β
β→α
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