Lógica informática Curso 2004–05 Tema 2: Deducción natural proposicional José A. Alonso Jiménez Andrés Cordón Franco Grupo de Lógica Computacional Dpto. de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.1 DN: Reglas de la conjunción • Reglas de la conjunción: • Regla de introducción de la conjunción: • Reglas de eliminación de la conjunción: • Ejemplo: F G ∧i F ∧G F ∧G ∧e1 F F ∧G ∧e2 G p ∧ q, r ` q ∧ r: 1 : p¦q , r 2: q 3 : q¦r • Adecuación premisas ¦e 1.1 ¦i 2,1.2 de las reglas de la conjunción: * ∧i : {F, G} |= F ∧ G * ∧e1 : F ∧ G |= F * ∧e2 : F ∧ G |= G LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.2 DN: Reglas de la doble negación • Reglas de la doble negación • Regla de eliminación de la doble negación: • Regla de introducción de la doble negación: • Ejemplo: 1 2 3 4 5 : : : : : ¬¬F ¬¬e F F ¬¬i ¬¬F p, ¬¬(q ∧ r) ` ¬¬p ∧ r: p , ÂÂ(q¦r) q¦r r ÂÂp ÂÂp¦r • Adecuación premisas ÂÂe 1.2 ¦e 2 ÂÂi 1.1 ¦i 4,3 de las reglas de la doble negación: * ¬¬e : {¬¬F } |= F * ¬¬i : {F } |= ¬¬F LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.3 DN: Regla de eliminación del condicional • Regla de eliminación del condicional: • Regla de eliminación del condicional: • Ejemplo: 1 2 3 4 : : : : premisas çe 1.2,1.1 p, p → q, p → (q → r) ` r: p , pçq , pç(qçr) qçr q r • Adecuación LI 2004–05 F →G →e G ¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p: 1 : Âp¦q , Âp¦qçrëÂp 2 : rëÂp • Ejemplo: F premisas çe 1.3,1.1 çe 1.2,1.1 çe 2,3 de la regla de eliminación del condicional: {F, F → G} |= G Cc Ia Deducción natural proposicional 2.4 DN: Regla derivada de modus tollens (MT) • Regla derivada de modus tollens (MT) • Regla derivada de modus tollens (MT): • Ejemplo: p → (q → r), p, ¬r ` ¬q: 1 : pç(qçr) , p , Âr 2 : qçr 3 : Âq • Ejemplo: LI 2004–05 premisas çe 1.1,1.2 MT 1.3,2 ¬p → q, ¬q ` p: 1 : Âpçq , Âq 2 : ÂÂp 3: p • Ejemplo: F → G ¬G MT ¬F premisas MT 1.2,1.1 ÂÂe 2 p → ¬q, q ` ¬p: Cc Ia Deducción natural proposicional 2.5 DN: Regla de introducción del condicional • Regla de introducción del condicional • Regla de introducción del condicional: F ... G →i F →G • Ejemplo: p → q ` ¬q → ¬p: 1 : pçq 2: 3: Âq Âp premisa supuesto MT 2,1 4 : ÂqçÂp çi 2-3 • Adecuación de la regla de introducción del condicional: Si F |= G, entonces |= F → G. LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.6 DN: Regla de introducción del condicional • Ejemplo: ¬q → ¬p ` p → ¬¬q: 1 : ÂqçÂp 2: 3: 4: p ÂÂp ÂÂq 5 : pçÂÂq • Ejemplo 1: supuesto ÂÂi 2 MT 3,1 çi 2-4 (de teorema): ` p → p: p 2 : pçp LI 2004–05 premisa supuesto çi 1-1 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.7 DN: Regla de introducción del condicional • Ejemplo: 1: ` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r)): qçr supuesto 2: ÂqçÂp supuesto 3 4 5 6 7 p ÂÂp ÂÂq q r supuesto ÂÂi 3 MT 4,2 ÂÂe 5 çe 1,6 : : : : : 8: 9: pçr çi 3-7 (ÂqçÂp)ç(pçr) 10 : (qçr)ç((ÂqçÂp)ç(pçr)) LI 2004–05 Cc Ia çi 2-8 çi 1-9 Deducción natural proposicional 2.8 DN: Regla de introducción del condicional • Ejemplo: 1 : p¦qçr premisa p supuesto 2: LI 2004–05 p ∧ q → r ` p → (q → r): 3: 4: 5: q p¦q r supuesto ¦i 2,3 çe 1,4 6: qçr çi 3-5 7 : pç(qçr) çi 2-6 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.9 DN: Regla de introducción del condicional • Ejemplo: p → (q → r) ` (p ∧ q) → r: 1 : pç(qçr) premisa p¦q p q qçr r supuesto ¦e1 2 ¦e2 2 çe 1,3 çe 5,4 2 3 4 5 6 : : : : : 7 : (p¦q)çr LI 2004–05 çi 2-6 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.10 DN: Regla de introducción del condicional • Ejemplo: p → q ` p ∧ r → q ∧ r: 1 : pçq p¦r p r q q¦r supuesto ¦e1 2 ¦e2 2 çe 1,3 ¦i 5,4 7 : p¦rçq¦r çi 2-6 2 3 4 5 6 LI 2004–05 premisa : : : : : Cc Ia Deducción natural proposicional 2.11 DN: Reglas de la disyunción • Reglas de la disyunción: • Reglas • Regla de introducción de la disyunción: F ∨i F ∨G 1 de eliminación de la disyunción: F ∨G F ... H H • Ejemplo: G ... H ∨e p ∨ q ` q ∨ p: 1 : pëq premisa 2: 3: p qëp supuesto ëi2 2 4: 5: q qëp supuesto ëi1 4 6 : qëp LI 2004–05 G ∨i F ∨G 2 ëe 1,2-3,4-5 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.12 DN: Reglas de la disyunción • Ejemplo: q → r ` p ∨ q → p ∨ r: 1 : qçr 2: pëq supuesto 3: 4: p për supuesto ëi1 3 5: 6: 7: q r për supuesto çe 1,5 ëi2 6 8: për 9 : pëqçpër LI 2004–05 premisa ëe 2,3-4,5-7 çi 2-8 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.13 DN: Reglas de la disyunción • Ejemplo: (p ∨ q) ∨ r ` p ∨ (q ∨ r): 1 : (pëq)ër 2: pëq supuesto 3: 4: p pë(qër) supuesto ëi1 3 5: 6: 7: q qër pë(qër) supuesto ëi1 5 ë intro 6 8: pë(qër) ëe 2,3-4,5-7 9: 10 : 11 : r qër pë(qër) supuesto ëi2 9 ë intro 10 12 : pë(qër) LI 2004–05 premisa ëe 1,2-8,9-11 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.14 DN: Reglas de la disyunción • Ejemplo (distributiva): p ∧ (q ∨ r) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r): 1 : p¦(qër) 2: p 3 : qër 4: 5: 6: q p¦q (p¦q)ë(p¦r) supuesto ¦i 2,4 ë intro 5 7: 8: 9: r p¦r (p¦q)ë(p¦r) supuesto ¦i 2,7 ë intro 8 10 : (p¦q)ë(p¦r) LI 2004–05 premisa ¦e1 1 ¦e2 1 ëe 3,4-6,7-9 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.15 DN: Regla de copia • Ejemplo 1: LI 2004–05 (usando la regla hyp): ` p → (q → p): p supuesto 2: 3: q p supuesto hyp 1 4: qçp çi 2-3 5 : pç(qçp) çi 1-4 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.16 DN: Reglas de la negación • • Extensiones de la lógica para usar falso: • Extensión de la sintaxis: ⊥ es una fórmula proposicional. • Extensión de la semántica: v(⊥) = 0 en cualquier valoración. Reglas de la negación: ⊥ ⊥e F • Regla de eliminación de lo falso: • Regla de eliminación de la negación: • Adecuación F ¬F ¬e ⊥ de las reglas de la negación: * ⊥ |= F * {F, ¬F } |= ⊥ LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.17 DN: Reglas de la negación • Ejemplo ¬p ∨ q ` p → q: 1 : Âpëq 2: p supuesto 3: 4: 5: Âp Ù q supuesto Âe 2,3 Ùe 4 6: q supuesto 7: q 8 : pçq LI 2004–05 premisa ëe 1,3-5,6-6 çi 2-7 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.18 DN: Reglas de la negación • Regla de introducción de la negación: F ... ⊥ ¬i ¬F • Adecuación: • Ejemplo: Si F |= ⊥, entonces |= ¬F . p → q, p → ¬q ` ¬p: 1 : pçq , pçÂq 2 3 4 5 : : : : p Âq q Ù 6 : Âp LI 2004–05 premisas supuesto çe 1.2,2 çe 1.1,2 Âe 4,3 Âi 2-5 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.19 DN: Reglas de la negación • Ejemplo: p → ¬p ` ¬p: 1 : pçÂp 2: 3: 4: p Âp Ù 5 : Âp LI 2004–05 premisa supuesto çe 1,2 Âe 2,3 Âi 2-4 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.20 DN: Reglas de la negación • Ejemplo p ∧ ¬q → r, ¬r, p ` q: 1 : p¦Âqçr , Âr , p 2 3 4 5 : : : : Âq p¦Âq r Ù 6 : ÂÂq 7: q • Ejemplo: supuesto ¦i 1.3,2 çe 1.1,3 Âe 4,1.2 Âi 2-5 ÂÂe 6 p → (q → r), p, ¬r ` ¬q: 1 : pç(qçr) , p , Âr 2 : qçr 3 : Âq LI 2004–05 premisas premisas çe 1.1,1.2 MT 1.3,2 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.21 DN: Reglas del bicondicional • Regla de introducción del bicondicional: • Ejemplo: supuesto ¦e1 1 ¦e2 1 ¦i 3,2 5 : p¦qçq¦p çi 1-4 q¦p q p p¦q supuesto ¦e1 6 ¦e2 6 ¦i 8,7 10 : q¦pçp¦q 11 : p¦qêq¦p çi 6-9 êi 5,10 6 7 8 9 LI 2004–05 p ∧ q ↔ q ∧ p: p¦q p q q¦p 1 2 3 4 : : : : : : : : F →G G→F ↔i F ↔G Cc Ia Deducción natural proposicional 2.22 DN: Reglas del bicondicional • Reglas de eliminación del bicondicional: • Ejemplo: F ↔G ↔ e2 G→F p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q: 1 : pêq , pëq premisas 2 3 4 5 : : : : p pçq q p¦q supuesto êe 1.1 çe 3,2 ¦i 2,4 6 7 8 9 : : : : q qçp p p¦q supuesto êe 1.1 çe 7,6 ¦i 8,6 10 : p¦q LI 2004–05 F ↔G ↔ e1 F →G ëe 1.2,2-5,6-9 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.23 DN: Reglas derivadas: modus tollens • Regla derivada de modus tollens (MT): F → G ¬G MT ¬F • Derivación: 1 : FçG , ÂG 2: 3: 4: F G Ù 5 : ÂF LI 2004–05 premisas supuesto çe 1.1,2 Âe 3,1.2 Âi 2-4 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.24 DN: Reglas derivadas: introducción de doble negación • Regla de introducción de la doble negación: F ¬¬i ¬¬F • Derivación: 1: F ÂF Ù supuesto Âe 1,2 4 : ÂÂF Âi 2-3 2: 3: LI 2004–05 premisa Cc Ia Deducción natural proposicional 2.25 DN: Reglas derivadas: reducción al absurdo (RAA) • Regla de reducción al absurdo (RAA): ¬F ... ⊥ F RAA • Derivación: 1 : ÂFçÙ 2: 3: ÂF Ù 4 : ÂÂF 5: F LI 2004–05 premisa supuesto çe 1,2 Âi 2-3 ÂÂe 4 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.26 DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM) • Ley del tercio excluido (LEM): F ∨ ¬F LEM • Derivación: 1: Â(FëÂF) supuesto 2: 3: 4: F FëÂF Ù supuesto ëi1 2 Âe 3,1 5: 6: 7: ÂF FëÂF Ù 8 : ÂÂ(FëÂF) 9 : FëÂF LI 2004–05 Âi 2-4 ë intro 5 Âe 6,1 Âi 1-7 ÂÂe 8 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.27 DN: Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM) • Ejemplo: p → q ` ¬p ∨ q: 1 : pçq 2 : pëÂp 3: 4: 5: p q Âpëq supuesto çe 1,3 ë intro 4 6: 7: Âp Âpëq supuesto ë intro 6 8 : Âpëq LI 2004–05 premisa LEM ëe 2,3-5,6-7 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.28 DN: Reglas de deducción natural • Reglas de deducción natural: Introducción ∧ ∨ → LI 2004–05 F G ∧i F ∧G F F ∨ G ∨i1 G ∨i F ∨G 2 F .. G F →G→i Cc Ia Eliminación F ∧ G ∧e 1 F F ∨G F F .. H H F ∧ G ∧e 2 G G .. H ∨e F →G→e G Deducción natural proposicional 2.29 DN: Reglas de deducción natural • Reglas de deducción natural: Introducción ¬ Eliminación F .. ⊥ ¬F ¬i F ⊥ ⊥ ⊥e F ¬¬ ¬¬F ¬¬e F ↔ F →G G→F ↔i F ↔G • ¬F ¬e ⊥ F ↔G↔e 1 F →G F ↔G↔e 2 G→F Adecuación y completitud del cálculo de deducción natural. LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.30 Bibliografı́a • C. Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal. (Ariel, 2000) Cap. 16: Cálculo deductivo. • R. Bornat Using ItL Jape with X (Department of Computer Science, QMW, 1998) • J.A. Dı́ez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002) Cap. 4: Cálculo deductivo. Deducibilidad. • M. Huth y M. Ryan Logic in computer science: modelling and reasoning about systems. (Cambridge University Press, 2000) Cap. 1: Propositional logic. • M. Fitting First-Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd ed.) (Springer, 1995) Cap. 4.2: Natural deduction. • E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martı́n Lógica computacional (Thomson, 2003) Cap. 3.6: El método de la deducción natural. LI 2004–05 Cc Ia Deducción natural proposicional 2.31