La Enseñanza de la Demostración Matemática Parte 3 del

La Enseñanza de la Demostración Matemática
Parte 3 del Diagnóstico de la situación actual: Análisis de las concepciones de los
docentes de Matemática sobre la demostración de proposiciones y su enseñanza
Macías, Dora A. - Nápoles Valdés, Juan E. -Caputo, Silvia G. - Acosta, Julio C.
Espinoza, Ricardo R. - Jorge, María J. - Vilotta, Diego F.
Facultad de Cs. Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
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ANTECEDENTES
Una línea ampliamente trabajada en la investigación en educación es la relacionada con el conocimiento profesional del
profesor, constituído por una trama de ideas, valores, reglas de actuación, principios, etc. que fundamenta y justifica la
toma de decisiones que realiza en su actuación (Macchiarola, 1998). Se han realizado numerosos estudios sobre las
concepciones de los docentes sobre la ciencia que enseñan, el aprendizaje de los alumnos, el papel del profesor, el rol de
la institución y sobre las relaciones entre estas ideas y la forma en que el profesor enseña.
Por otra parte, Gimeno Sacristán (1995) señala que “la práctica profesional depende, desde luego, de decisiones
individuales, pero dentro de normas colectivas adoptadas por otros profesores y en el seno de marcos organizativos
muy reales que regulan de alguna forma las actuaciones.”
Desde la perspectiva analítica de Pierre Bordieu (1994), los docentes desarrollan una práctica social concreta que se
inserta en el campo educativo, históricamente construido, y realiza una serie de opciones condicionadas por éste y por
su habitus, es decir por sus “sistemas de esquemas generadores de percepción, de apreciación y de acción que son el
producto de una forma específica de acción pedagógica y que vuelven posible la elección de los objetos, la solución de
los problemas y la evaluación de las soluciones”. Los estudiantes interiorizan el campo concreto de relaciones sociales
en que se están formando, adoptando modos de pensar, entender y actuar socialmente validados en él, los cuales ellos
mismos validan, adoptan y comienzan a reproducir.
Consideramos por ello importante conocer la cultura instalada en la institución con respecto a la demostración ya que,
como destaca Gimeno Sacristán (1993) los centros educativos definen “un curriculum que si no se explicita no puede
gobernarse reflexivamente.”
En este trabajo nos concentramos en el estudio de dos aspectos: las concepciones acerca de la demostración de los
profesores del Departamento de Matemática de la FACENA y sus ideas sobre cómo se aprende a demostrar, lo que
permite también caracterizar sus concepciones sobre la enseñanza.
Para el primer aspecto, las concepciones se analizan a partir del concepto de demostración explicitado por Müller
(1980):
“Sea un sistema de expresiones X. Una demostración de la expresión Q es una sucesión finita de expresiones Q1, Q2,....,
Qn, Q que terminan en Q y que satisface para cada término Qi una de las condiciones siguientes: Qi pertenece a X, o Qi
puede deducirse de expresiones precedentes, o expresiones de X mediante una regla de inferencia”.
“Esta definición expresa claramente que una demostración no es una “cadena lineal” de expresiones Q en que cada
término Qi resulta exactamente del término precedente Qi-1”.
“Además se reconoce también que la definición del concepto demostración, naturalmente no indica de qué forma puede
encontrarse una demostración de un teorema especial”.
Tenemos en cuenta también lo que Bogart (1998) explica respondiendo a la pregunta de carácter amplio ¿Qué es una
demostración?, diciendo: ...“demostración de una proposición significa un argumento convincente de que la
proposición es verdadera”. Y en este sentido amplio menciona que las demostraciones de esta clase suelen encontrarse
fuera de los libros de matemática. Expresa Bogart que al escribir una demostración, es necesario ir a través de dos
procesos diferentes. El primero consiste en imaginar cuáles ideas se necesita reunir y en qué forma para llevar a cabo la
demostración (qué se necesita decir). El segundo proceso consiste en imaginarse cómo escribir estas ideas para que la
serie de proposiciones en el papel sea una demostración (cómo decir lo que se necesita decir). Afirma que en general las
demostraciones contienen una mezcla de resultados de ambos procesos.
Consideramos además las ideas acerca de lo que significa una demostración desde un punto de vista más puramente
lógico de Puyau y Roetti (1976) y Copi (1962).
También consideramos que la habilidad lógica “demostración de proposiciones” que, como tal, es un procedimiento
propio del quehacer matemático, además de poder estudiarse como un objeto en sí mismo, permite que a partir de la
elaboración, comprensión y reproducción de demostraciones, se expliquen mejor las teorías matemáticas, además de
solo “probar” sus resultados. En este sentido, su tratamiento y dosificación, desde el punto de vista didáctico, tiene un
gran valor, en cuanto también mejoran notablemente la calidad de los aprendizajes de los contenidos conceptuales y
actitudinales. Coll, Pozo, Sarabia y Valls (1992) se refieren a estas relaciones, a las características de cada tipo de
contenido, al aprendizaje y enseñanza de los mismos, como así también a su evaluación
Para el segundo aspecto, las concepciones se analizan a través de la óptica particular de los tres enfoques educativos
señalados por Morán Oviedo (1987), tomando en cuenta el conjunto de relaciones que se establecen entre los alumnos,
el objeto de conocimiento, el docente y las acciones que él realiza para generar interacciones entre los dos primeros:
• Didáctica Tradicional: la propuesta educativa consiste esencialmente en ofrecer elementos sensibles a la percepción y
observación de los alumnos. La función del docente es mostrar las nociones, proveer ejemplos, transmitir los saberes,
organizados de manera acumulativa y disciplinaria; la función del alumno es escuchar y atender las explicaciones
para repetir los procedimientos que el maestro le ha marcado como válidos para resolver problemas, ejercitarse,
aplicar lo que se le ha enseñado. Subyacen a este modelo dos concepciones principales: la del conocimiento como
absoluto, acabado, verdadero y la de aprendizaje receptivista, como capacidad para retener y repetir información:
aprender es un hecho individual y homogéneo, que puede estandarizarse y que consiste en apropiarse de dicho
conocimiento mediante un proceso de atención-captación-retención y fijación.
• Tecnología Educativa: como alternativa, se ha pretendido racionalizar los procesos de enseñanza, proponiendo la
descripción de los aprendizajes esperados en términos de conductas observables y la cuidadosa programación de los
medios que los hacen posible. Se privilegia la planeación y estructuración de la enseñanza y se da mucha importancia
a la motivación del alumno, quien desarrolla un conjunto de respuestas ante secuencias de actividades programadas;
su mayor o menor capacidad para desarrollar las conductas establecidas de antemano es un indicador del aprendizaje
conseguido. Subyace a este enfoque la concepción de que la enseñanza es la causa directa y única del aprendizaje y
que todo lo que se enseña bien puede ser aprendido, con técnicas que pueden ser aplicadas por distintas personas y en
diferentes situaciones con resultados similares.
• Didáctica Crítica: se considera que es toda la situación de aprendizaje la que educa, con todos los que en ella
intervienen; todos aprenden de todos y, fundamentalmente, de aquello que realizan en conjunto. El aprendizaje es un
proceso dialéctico, algo que se construye; el sujeto que aprende recorre un camino que no es lineal sino que implica
crisis, detenciones, retrocesos, resistencias al cambio y en el acto de aprender pone en juego toda su historia anterior.
Al planear las situaciones de aprendizaje, el profesor debe seleccionar las experiencias idóneas para que el alumno
realmente opere sobre el conocimiento, para lo cual propone y organiza situaciones didácticas que permiten al
alumno, a partir de sus concepciones preexistentes, reconstruir el saber socialmente constituido a través de
aproximaciones sucesivas; en consecuencia, el profesor deja de ser el mediador entre el aprendizaje y el grupo de
alumnos, para convertirse en un promotor de aprendizajes, a través de una relación más cooperativa, alternando
formas metódicas de trabajo individual con trabajo en pequeños grupos y sesiones plenarias, ya que juegan un rol
preponderante en el aprendizaje las interacciones que se establecen entre los alumnos, la confrontación de los
distintos puntos de vista, la elaboración de argumentaciones para defender los propios y cuestionar los de los otros.
MATERIALES Y METODOS
Se realizó un estudio de tipo exploratorio, aplicando una encuesta a 20 profesores del Departamento de Matemática de
la FACENA, que cumplen funciones en diferentes asignaturas del plan de estudios de las carreras Profesorado y
Licenciatura en Matemática. Se presentó un cuestionario integrado por preguntas abiertas, algunas de las cuales fueron:
¿Qué es demostrar? ¿Enseña Usted a demostrar? Si la respuesta es afirmativa ¿cómo?
En el estudio de los resultados se utilizó una metodología mixta, analizando los datos en forma cuantitativa y
cualitativa.
Al analizar las respuestas, se establecieron categorías, clasificando las relacionadas con cada cuestión, según la
siguiente tabla:
CUESTION
CATEGORIAS
Qué es demostrar. Los docentes entienden Basarse en conocimientos previos.
que
demostrar
una
proposición Probar su verdad
matemática significa:
Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis.
Encadenar una serie de razonamientos deductivos.
Aplicar propiedades, principios o leyes.
Es un razonamiento.
Verificar que una proposición matemática es
verdadera o es falsa.
Es una cuestión lógica.
...es para que el alumno se de cuenta... que es algo
que existe por lógica.
En el método deductivo, la verdad de la conclusión
depende de la verdad de las ideas de partida y de
la corrección de los pasos lógicos empleados.
Es un procedimiento.
Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.
SI
Enseña a demostrar
NO
CUESTIÓN
Los alumnos aprenden a demostrar por
CATEGORÍAS
Comprensión de demostraciones y asimilación de
procesos
Imitación de los estilos deductivos del profesor
Entrenamiento en los procesos de demostración
Identificación de los procesos formales de prueba
Adquisición de estilos heurísticos
Ensayo-error
Intercambio con los pares
Discusión de demostraciones propias y ajenas.
Reflexión sobre los propios procesos de
demostración.
DISCUSION DE RESULTADOS
a) Qué es demostrar
b) Enseñanza y aprendizaje de la demostración
Al analizar el plan de estudios de la carrera es posible observar que en ningún lugar se menciona explícitamente el tema,
ni como contenido mínimo de alguna asignatura ni entre las capacidades que se busca desarrollar en el futuro profesor.
La idea expresada acerca de qué es demostrar, se acerca en mayor o menor medida a la definición de demostración de
Müller, aproximadamente en la medida en que los docentes manifiestan que sí enseñan a demostrar, encontrándose un
núcleo de ocho docentes que expresan ideas más o menos equivalentes al respecto. Algunos manifiestan no estar muy
seguros de que sus ideas al respecto sean claras (los menos), y una docente expresa textualmente:... “es increíble que
uno se pase haciendo demostraciones y al momento de explicar qué es demostrar, cuesta encontrar la forma de
expresar”... Los que contestan con menor claridad son los que declaran que no enseñan a demostrar.
Siete de los docentes entrevistados declaran que no enseñan a demostrar; dos de ellos manifiestan que hacen
demostraciones en sus clases, pero que no enseñan a demostrar, lo que permite inferir una concepción sobre la
enseñanza: mostrar cómo se demuestra no es la manera de enseñar a demostrar.
Uno de ellos relata que ha intentado enseñar a demostrar hace algunos años en la escuela secundaria, lo cual era posible
entonces porque había más interés de lo alumnos hacia la matemática, pero que en la actualidad es difícil
entusiasmarlos; confiere un papel fundamental a la motivación de los alumnos, evidenciando la idea de que demostrar
gusta o no gusta y que es un proceso eminentemente individual. Al hablar de la asignatura que tiene a su cargo en la
Facultad, declara que no puede enseñar a demostrar porque trabaja con grupos muy numerosos; una concepción
interesante sobre la realización de demostraciones aparece cuando manifiesta que en esa asignatura se pretende que los
alumnos del Profesorado resuelvan problemas más que realicen demostraciones, con lo cual se excluye a éstas de la
categoría de problemas.
Uno de los profesores entrevistados responde a la encuesta desde su rol de docente del nivel medio: enseña a demostrar
a alumnos que participan en Olimpiadas Matemáticas (pero no dice cómo) y a los demás los inicia en el proceso
deductivo a partir de formular conjeturas, verificarlas y generalizarlas y/o justificar proposiciones sencillas, o proponer
contrajemplos.
De los once docentes que consideran que sí enseñan a demostrar, dos no explican cómo lo hacen; las respuestas de los
nueve restantes han originado las categorías antes señaladas, aunque ninguna respuesta se encuadra en una sola de las
mismas. Para realizar el análisis de estas respuestas, se ha llamado P1, P2, ..... P9 a estos nueve profesores.
P1 y P2 consideran que enseñan a demostrar porque desarrollan demostraciones en sus clases haciendo mucho hincapié
en el procedimiento, la justificación de cada paso, etc., es decir, en la comprensión del proceso seguido por el docente.
Por lo tanto, conciben el aprendizaje de la demostración como la asimilación de procesos y la imitación de los estilos
deductivos del profesor, ubicándose en un perspectiva marcadamente tradicional. En particular, P2 pone en duda que se
pueda enseñar a demostrar porque demostrar “no se puede transmitir”, con lo cual prácticamente explicita la concepción
de enseñanza como transmisión.
En ambos casos predomina la lógica disciplinar en la enseñanza de las demostraciones, pues éstas se realizan en los
momentos en que los contenidos del programa lo hacen necesario.
La misma concepción de asimilación e imitación aparece en las respuestas de P3, pero con la incorporación del
entrenamiento en los procesos de demostración, a partir de lo que podríamos llamar “demostraciones tipo”: primero el
profesor muestra una demostración y luego los alumnos intentan la realización de demostraciones análogas.
En los seis restantes (P4, P5, P6, P7, P8 y P9) están presentes distintos elementos, en mayor o menor medida, de una
concepción de aprendizaje activo. En todas sus respuestas aparece el concepto de aprender haciendo, lo cual es
especialmente explicitado por P4 al decir que enseña a demostrar “haciendo demostrar”. Coinciden en que dan
orientaciones generales (los métodos de demostración, algunos procedimientos específicos y otros especiales a partir de
algunos ejemplos), proponiendo después demostraciones a los alumnos y orientando el proceso. Es decir, consideran
que el aprendizaje se realiza a partir de la identificación de los elementos de los procesos formales de prueba y la
adquisición de estilos heurísticos.
P5 muestra una posición cercana al aprendizaje por descubrimiento: dice que propone a los alumnos pensar una
demostración, luego va dando indicaciones en forma individual si los alumnos así lo requieren y si se hace necesario
los “lleva de la mano” hasta llegar a la tesis. La concepción de aprendizaje como proceso individual, es destacada
también por P6.
P7 describe con mucha claridad cómo organiza el proceso de la enseñanza, desde una posición que puede calificarse de
tecnológica: conocimiento inicial de conceptos “claves” (definición, axioma, teorema, proposición, lema, demostración,
comprobación), lógica proposicional y métodos de demostración con la realización por parte del alumno, desde el
inicio, de demostraciones primero muy sencillas y cada vez más complejas. Sin embargo, destaca como elementos
facilitadores la no disociación entre teoría y práctica y el trabajo en grupos, para la elaboración de procedimientos en
forma colectiva.
P8 se extiende al describir cómo hacer que los alumnos identifiquen los procesos fundamentales: búsqueda de relaciones
entre la hipótesis y la tesis, escritura de ambas de diferentes maneras para encontrar el camino que lleve de una a otra;
reducción de los posibles métodos de demostración a tres “para contener un poco la ansiedad”; deducción de
proposiciones a partir de la negación de la tesis, para hacer aparecer una contradicción...
Se detiene en la importancia de la creación de espacios de construcción colectiva del conocimiento, en el cual surjan
interacciones diferentes a la tradicional profesor-alumno, elemento que también aparece en las respuestas de P9. Ambos
docentes son los únicos que hablan del salón de clases como un espacio de construcción conjunta y de negociación de
significados; incluso, P9 manifiesta que en numerosas ocasiones ha aprendido a partir del trabajo de los alumnos.. Pero
es P8 el único entrevistado que habla de momentos de las clases destinados específicamente a este efecto, a partir de la
discusión y el debate, cuando dice: “trabajar en la clase sobre las producciones, que se hagan algunos análisis de cuáles
fueron los caminos utilizados, que el mismo autor de la demostración cuente que usó, cómo lo pensó” y, al referirse a
las clases de otros docentes, opina que “en las clases ... se desaprovechan los puntos de vista”.
Además, destaca la importancia que tiene en el proceso de enseñanza de la demostración la elaboración de ciertos
contenidos actitudinales, lo que aparece igualmente en las respuestas de P4 ; ambos docentes son también los únicos que
aportan elementos relacionados con aspectos metacognitivos, destacando la necesidad de promover la reflexión de los
alumnos sobre sus propias ideas.
CONCLUSIONES
La enseñanza de la demostración no es una problemática instalada hasta el momento en la formación de los profesores
de Matemática que se realiza en la FACENA. No se la explicita en el plan de estudios de la carrera, algunos docentes no
la toman a su cargo y la mayoría de los que sí lo hacen, no manifiestan haberse planteado en profundidad el cómo,
procediendo de una manera intuitiva. Es llamativo además, que las prácticas educativas de casi todos los profesores
encuestados son muy similares, lo que relacionamos con la “impronta” del espacio en que se desarrollan.
En la mayoría de los docentes parecen convivir características de diversas tendencias sobre la naturaleza de la
demostración matemática, su enseñanza y aprendizaje, predominando el modelo tradicional de enseñanza por
transmisión. Creemos que este predominio puede explicarse desde el hecho de que los profesores, en nuestro ejercicio
profesional, tendemos a reproducir los modelos en que hemos sido formados.
La elaboración del presente trabajo nos ha servido para reflexionar sobre nuestras propias concepciones y creencias,
sobre nuestros propios modos de obrar en el aula, ya que al analizar el modelo de cada docente hemos re-elaborado en
cierta forma el nuestro. Por eso, no consideramos este trabajo como el final de un proceso, sino que esperamos que se
convierta en un punto de partida de nuevos estudios, con la participación de los profesores involucrados, que permitan
la construcción de proyectos y programas para la formación de los futuros profesores.
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