Ejemplo: Tensores. Tensor de fuerzas superficiales sobre una partícula fluida 1. Fuerzas de superficie Las fuerzas superficiales que actúan sobre un Vf ( t ) , es decir, sobre su superficie, dependen de la posición, del tiempo y de la orientación del elemento de superficie sobre la cual actúan, es decir, del vector normal a dicho elemento de superficie. Si se considera un punto fijo de un campo fluido. En un instante dado, pasará por ese punto, una partícula fluida. En ese punto e instante de tiempo, una normal n1 a la superficie de dicha partícula (para otro instante de tiempo en este mismo punto, o para cualquier otro punto del campo fluido la normal puede ser distinta). Las fuerzas superficiales dependen por tanto, en general, además de la posición y del tiempo, de la orientación del elemento de superficie. Fs f s ds f s f s ( x, t , n ) s Dependiendo de la orientación del elemento de superficie, la f s se puede descomponer en una componente normal y otra tangencial. Considerando así un Vf ( t ) sumergido en otro fluido, este ejercerá sobre un elemento “ dS ” una fuerza f s que se puede descomponer en un esfuerzo normal y otro tangencial, n fsn fs f s f sn f st fst Figura 1. Descomposición de las fuerzas superficiales. Las fuerzas superficiales se pueden descomponer también, según un sistema de ejes cartesianos “ xyz ”, por lo que se necesitan, en general, nueve componentes para poder definir el estado de fuerzas en una superficie elemental “ dS ”. Dado que la fuerza superficial y la superficie (definida por su vector normal n ) sobre la que actúa son magnitudes vectoriales, el esfuerzo va a ser una magnitud “tensorial”. 2 Tensor de esfuerzos sobre una partícula fluida Las fuerzas superficiales unitarias f s f sx i f sy j f sz k actuarán sobre el área “ dS ”, que a su vez viene representada por un vector unitario normal n n x i n y j n z k . Representando las proyecciones según el sistema de ejes “ xyz ” del elemento “ dS ” y las componentes de las fuerzas superficiales según las tres direcciones, se pueden definir los esfuerzos unitarios para cada superficie proyectada, z z dAz dFz zz zy dFy dFx dFy dFy yy xz yx y dFx dFz yz zx dFz y xy dAy xx dFx dAx x x a) b) Figura 2 a) Fuerzas sobre un elemento diferencial de superficie b) Esfuerzos superficiales. Sobre el elemento de superficie “ dA x ” los esfuerzos son, dFy dFx dFz xx xy xz dA x dA x dA x sobre el elemento de superficie “ dA y ”, yx dFx dA y yy dFy dA y yz dFz dA y zz dFz dA z y sobre el elemento de superficie “ dA z ” , zx dFx dA z zy dFy dA z Se puede expresar matricialmente de la forma, f sx xx f sy xy f sz xz yx yy yz zx n x zy n y zz n z de forma compacta, fs n siendo, , el tensor de esfuerzos superficiales para el elemento de superficie definido por la normal n . El tensor de esfuerzos superficiales es simétrico, es decir, xy yx xz zx yz zy El tensor de esfuerzos superficiales se puede descomponer en otros dos, un tensor de esfuerzos normales de compresión y un tensor de esfuerzos viscosos. Esto es posible debido a que en un fluido en “reposo”, no puede haber esfuerzos cortantes (si los hubiera dejaría de estar en reposo, por definición de fluido), de modo, que en este caso particular de fluidos en reposo, el tensor de esfuerzos se reduce a, 0 n x f sx p 0 f sy 0 p 0 n y f 0 0 p n z sz donde, p representa el esfuerzo normal de compresión que soporta el volumen fluido. Se puede por tanto escribir de forma general que el tensor de esfuerzos superficiales es suma de un tensor de esfuerzos normales mas un tensor de esfuerzos viscosos, n f s pn ' n siendo, ' , el tensor de esfuerzos viscosos. Por lo tanto, dicho tensor se puede expresar de la siguiente manera, p xx yx zx xy p yy zy yz p zz xz los elementos del tensor son, para flujo laminar, incompresible y despreciando el segundo coeficiente de viscosidad, u xx 2 x v u xy x y w u xz x z v yy 2 y v u yx x y w v yz y z w zz 2 z w u zx x z w v zy y z