1) La aproximación de fuente puntual. (Más tarde se puede generalizar fácilmente a una aproximación de multiples fuentes puntuales.) 2) La funcion Green, mejor dicho su derivada espacial Gip,q. Representa la “funcion de transferrencia” del medio. Necesita el conocimiento de la posición del foco, la posición de las estaciones y el modelo de la corteza terrestre. Se calcula mediante el metodo discreto de numero de onda (discrete wavenumber, DW). 3) Mpq, el tensor momento sísmico, una descripción matemática de la fuente. Representa un efecto integral de toda la fuente. (Se pueded escribir como la integral de la densidad superficial de momento a lo largo del plano de falla.) 4) Es conveniente representar Mpq como una combinación lineal de los seis momentos elementales M1, M2 ... M6. Recuerde la denotación de los coeficientes de la combinación, los llamados “coeficientes a”. Sólo estos a (a1, a2 ... a6) son los principales parámetros que se invierten a partir de formas de onda en ISOLA. 5 5) Cada fuente elemental tiene su tensor simple y su patron de radiación especial (the beachball). Cinco de ellos representan los tensores de cizalla pura de diferentes orientaciones. El sexto tensor representa un cambio de volumen (explosión). 6) Si se conocen los coeficientes a, podemos calcular el tensor de momento. Luego, sus propiedades se pueden determinar de forma rutinaria, tales como los valores y vectores propios, strike, dip, rake, momento escalar, etc. 6 7) El momento escalar Mo se calcula en ISOLA por medio de la norma euclidiana. 8) Si sabemos Mo se puede calcular la magnitud de momento Mw (según Hanks y Kanamori). Mo aqui es en Nm. La magnitud de momento Mw se encuentra cerca de Ms para Ms < 8 (Ms es la magnitud de las ondas superficiales), pero, a diferencia de Ms, la magnitud Mw no se satura, es decir, terremotos grandes tienen Mw >9. En las redes sísmicas locales se deben establecer relaciones de magnitud local ML y Mw. Como regla general, ML = const1. Mw + const2, donde const1 es cercano a 1. 9) Vamos a sustituir la expresión de Mpq (usando una combinación lineal de los momentos elementales) en la ecuación de arriba. Reordenando los términos se puede introducir Mjpq * Gip, q = Ej para cada de los seis momentos elementales Mjpq. Ej se llama el sismograma elemental. 10) La definición adoptada de los sismogramas elementales E supone que la variación temporal de cada momento elemental es la misma y conocida. Más a menudo se supone la variación temporal del momento de tipo del paso? escalon? (Heaviside). Esto significa que la tasa? derivada? de momento es la función delta (Dirac). ISOLA trabaja con la funcion delta o, alternativamente, con un triángulo simétrico de la duración prescrita por el usuario. 11) Finalmente, el desplazamiento u (en cada estación y cada de componentes) es una combinación lineal de seis sismogramas elementales E. Los coeficientes de esta combinacion son los mismos coeficientes a, introducidos arriba. 7 12) Como regla general, tenemos muchas estaciones (las formas de onda), cada uno en tres componentes, y muchas muestras de tiempo para cada coponente. Por lo que el número de "datos" es mucho mayor que el número de desconocidos "parámetros" (el 6 coeficinetes a). Formalmente, esta es un sobre-determinado problema lineal inverso. Se puede characterizar a partir de la matriz, las columnas de la cual son los sismogramas elementales E. 13) El sistema sobre-determinado (las ecuaciones más numerosos que los parametros incógnitos) suele ser resuelto por el método de mínimos cuadrados. El papel fundamental T T en este procedimiento es desempeñado por la matriz E E, donde E denota transpuesta de E, por lo que ET E es una matriz cuadrada, 6x6, cuyas propiedades son esenciales para toda la inversión. (ET E)-1 denota la matriz inversa. Si ET E está cerca de singular, la inversión puede ser inestable. 14) La sobre-determinación es buena, porque los datos siempre contienen errores, por lo que seis parámetros desconocidos no se puede determinar a partir de 6 puntos de datos, es decir, a partir de 6 ecuaciones. Necesitamos mucho más ecuaciones, y normalmente los tenemos. 15) Naturalmente, si tenemos muchas ecuaciones, pero todos ellos procedentes sólo de muestras de tiempo en una sola estación, el problema podría ser aún formalmente sobredeterminado, pero físicamente sub-determinado. La solución no puede ser encontrada, el sistema es inestable, su matriz ET E está cerca de singularidad. ISOLA hace possible comprobar las propiedades del problema inverso, haciendo uso de la razón entre los valores propios máximo y mínimo de la matriz ET E. Por supuesto, la situacion similar tiene lugar si el número de estaciónes no es sólo uno, pero aún pequeño. [Por otro lado, no tengan miedo, ISOLA no necesita muchas estaciones de una buena cobertura azimutal para determinar correctamente strike, dip y rake.] 8 16) La solución es matemáticamente equivalente a la minimización del cuadrado de la diferencia entre los datos reales (u) y los datos sintéticos (a.E). Es por eso que a menudo hablan también de la solución en la norma-L2. En principio este procedimiento es correcto sólo para los datos que tienen errores con la distribucion estadistica de tipo normal (de Gauss). 17) Si se resuelve el problema inverso mediante el método de LSQ nos encontramos con sólo una única solución, es decir, el procedimiento proporciona la mejor minimización de la diferencia residual (∆). En otras palabras, se obtienen un "pequeño" valor de ∆, aunque no un valor cero. El valor de la diferencia residual ∆ sirve como una medida global de la calidad del ajuste de los datos observados y sintéticos. 18) Otra de las medidas de uso frecuente es la llamada reducción de la varianza, VR, o varred. ISOLA ofrece VR (pero contiene también algunas otras medidas de ajuste). 19) En otra parte de esta discusion vamos a demostrar que la raiz cuadrada de VR, es equivalente a la correlación entre las formas de onda observadas y sintéticas. 20) Arriba se asumió una fuente puntual de una posición conocida. Ahora está claro que si se define una red, o grilla, espacio-tiempo, podemos repetir el cálculo del tensor momento para cada punto de la red. Estos son los llamados puntos (o fuentes) de prueba. Entonces, podemos llevar a cabo la otra mimizacion - es decir, reducción al mínimo del valor de la diferencia residual ∆ - que proporciona el ‘mejor’ punto de prueba y su tensor momento 9 sísmico. Lo mismo se puede efectur para cada punto en la red temporal, lo que nos da el tiempo optimal de la fuente. En otras palabras, podemos decir que tensor momento final se obtiene mediante la solución de tipo LSQ que se repite en la red espacio-temporal. Aplicación de la búsqueda en la red es necesaria debido al hecho que la dependencia del tensor de momento respecto a la posición y el tiempo de la fuente no es lineal. (Por lo tanto el método LSQ no se puede utilizar para resolver la variación espacial y temporal.) Una formulación equivalente es que resolvemos un problema lineal inversa para el tensor de momento por el método de LSQ, mientras que el problema inverso no lineal para la posición de la fuente, y su tiempo se resuelta por la búsqueda de la red. 10