Transición electrónica fundamental en pozos cuánticos

Revista Digital de la Universidad Autónoma de Zacatecas
Nueva época. Publicación cuatrimestral. Enero-Abril 2007, volumen 3, número 1.
ISSN 1870-8196
Transición electrónica fundamental en pozos cuánticos cúbicos de InGaN
Fundamental electronic transition of InGaN cubic quantum wells
David Armando Contreras Solorio
Jesús Madrigal Melchor
Unidad Académica de Física
Universidad Autónoma de Zacatecas
Heriberto Hernández Cocoletzi
Facultad de Ingeniería Química
Jesús Arriaga
Instituto de Física
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
e–mail: dacs10@yahoo.com.mx
Resumen
En este trabajo se calculó la energía de transición entre el primer nivel de huecos
y el primero de electrones (1h-1e) en pozos cuánticos de InyGa1-yN/InxGa1xN/InyGa1-yN
con estructura cúbica. Los cálculos fueron realizados mediante la
aproximación empírica de amarre fuerte (tight binding) con una base de
orbitales atómicos sp3s*, interacción a primeros vecinos e incorporando el
acoplamiento espín-órbita, en conjunto con el método de empalme de las
funciones de Green de superficie. Los parámetros de amarre fuerte de la
aleación fueron obtenidos a partir de los parámetros de los compuestos binarios
GaN
e
InN
usando
la
aproximación
del
cristal
virtual.
Se
analizó
el
comportamiento de la energía de transición como función del ancho del pozo
para dos conjuntos de concentraciones: x = 0.15, y = 0.02 y x = 0.3, y = 0.05,
tomando en cuenta la deformación elástica en el pozo. Para el segundo
conjunto de concentraciones, el cálculo se realizó con valores del band offset de
30 % y 50 % en las bandas de valencia.
PACS: 73.21.Fg, 71.55.Eq, 71.22.+i
Palabras clave: pozos cuánticos, nitruros semiconductores.
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Abstract
In this work we calculate the transition energy from the first level of holes to the first
level of electrons (1h-1e) for cubic InyGa1-yN/InxGa1-xN/InyGa1-yN quantum wells.
We employ the empirical tight binding approach with an sp3s* orbital basis,
nearest neighbors interactions and the spin-orbit coupling, together with the
surface Green function matching method. We obtain the tight binding
parameters of the alloy from those of the binary compounds GaN and InN using
the virtual crystal approximation. We study the transition energy behavior varying
the well width for two sets of concentrations: x = 0.15, y = 0.02 and x = 0.3, y = 0.05,
taking into account the strain in the well. For the second set of concentrations, we
make the calculations using values for the band offset of 30 % and 50 %.
PACS: 73.21.Fg, 71.55.Eq, 71.22.+i
Keywords: quantum wells, semiconductor nitrides.
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Introducción
Los compuestos III-V, GaN, AlN, InN, llamados nitruros semiconductores, han
despertado gran interés en los últimos años debido a su aplicación potencial en
dispositivos optoelectrónicos, ya que la brecha energética prohibida o gap de
sus aleaciones puede ir desde 0.9 eV hasta 6.2 eV variando la composición. De
forma especial, los semiconductores basados en la aleación InGaN han sido
utilizados en el diseño de dispositivos comerciales como diodos emisores de luz
(LED´s) y diodos láser (LD´s) con longitudes de de onda 320-405 nm [1,2]. La
importancia de los dispositivos optoelectrónicos basados en nitruros es debido a
que presentan una alta eficiencia y un tiempo de vida grandes. Es por esto que
tienen enormes aplicaciones en la vida cotidiana, como puede ser comprobado
con la aparición de displays, semáforos y lámparas de iluminación casera hechas
con LED’s basados en nitruros, y también con la creación de LD´s de longitud de
onda de 405 nm empleados en los nuevos discos ópticos llamados blue-ray disc,
que tienen una mayor capacidad de almacenamiento, de entre 25 y 50 GB.
La parte esencial de un LED y de un LD es un pozo cuántico. Los pozos cuánticos
de GaN/InGaN/GaN han sido estudiados anteriormente debido a su uso como
regiones activas en láseres; por ejemplo, estos pozos con relación de espesor de
pozo/barrera de 2/12 nm han mostrado alta eficiencia en diodos láser [3].
Además, heteroestructuras hechas con éstos, muestran intensa luminiscencia y
fotoluminiscencia [4] y presentan baja sensibilidad a los cambios de temperatura
[5]. Adicionalmente, Haberer y colaboradores [6], han fabricado microdiscos
utilizando pozos cuánticos múltiples de InGaN como región activa con el método
de grabado foto-electroquímico. En particular, en la literatura se han publicado
trabajos experimentales sobre diodos láser con emisión en el azul, basados en
pozos cuánticos con la estructura hexagonal de wurtzita, del tipo InyGa1yN/InxGa1-xN/InyGa1-yN
con bajas concentraciones de InN en las barreras, del
orden de y = 0.02-0.05 [7-9].
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Hasta ahora, la mayoría de los trabajos dedicados a pozos cuánticos basados en
nitruros se ha concentrado en la parte experimental, dejando el lado teórico con
poca atención. En este trabajo se realizó un cálculo de pozos cuánticos (001) con
estructura cúbica de zincblenda, del tipo InyGa1-yN/InxGa1-xN/Iny-1GaN. Se estudió
de manera teórica la energía de transición 1h-1e como función del ancho del
pozo, para dos conjuntos de concentraciones, x = 0.15, y = 0.02 y x = 0.3, y = 0.05.
El band offset (BO) en heteroestructuras cuánticas es una información
fundamental para el diseño de dispositivos. Para los nitruros hay pocos datos y
varían mucho los valores del BO [10-12], por esa razón los cálculos también se han
llevado a cabo variando el valor del BO para analizar su efecto en las energías
de transición. Los cálculos fueron efectuados mediante la aproximación de
amarre fuerte empírico (ETB) junto con el método Surface Green Function
Matching (SGFM), tomando en cuenta la tensión en el pozo.
Modelo Teórico
El estudio se emprendió en cuatro etapas. En la primera, se calculó la estructura
electrónica de los compuestos binarios volúmicos puros GaN e InN. En la
referencia [13] está descrita la obtención de la estructura electrónica de ellos,
usando ETB con una base de orbitales atómicos sp3s*, interacción a primeros y
segundos vecinos y tomando en cuenta el acoplamiento espín-órbita. En este
trabajo se hizo un estudio de las propiedades electrónicas de pozos cuánticos en
el centro (punto Γ) de la zona de Brillouin (ZB) bidimensional, incorporando sólo
primeros vecinos. Se consideró que no era importante tomar en cuenta
interacciones hasta segundos vecinos, ya que incluir éstos sólo modificaría un
poco la estructura de bandas de los materiales puros en el punto L de la ZB, y las
propiedades optoelectrónicas más importantes provienen del centro de la ZB. Los
parámetros ETB (ETBP) se obtuvieron ajustando a datos experimentales de
estructura de bandas o cálculos de primeros principios.
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Después, en la segunda etapa, se empleó la aproximación de cristal virtual (VCA)
[13-18] para obtener los ETBP de la aleación InGaN para las concentraciones x y
y. En el marco de la VCA, los ETBP de la aleación se calcularon promediando con
la siguiente fórmula
EInGaN (x) = (1 − x)EGaN + xEInN ,
(1)
donde Ej (j = GaN, InN) son los ETBP de los compuestos binarios dados en la Tabla
1. La VCA trata una aleación como un cristal perfectamente periódico,
suponiendo que su estructura es idéntica a la de los constituyentes. Por lo tanto,
no describe los distintos entornos atómicos locales en materiales inhomogéneos y
falla para semiconductores inusuales [14]. Sin embargo, la VCA tiene la ventaja
de su simplicidad y de que es eficiente de forma computacional. Ya ha mostrado
ser útil en cálculos de TB [13,15]. Además, esa aproximación se ha usado de
manera exitosa para obtener las propiedades estructurales y termodinámicas de
algunos materiales [16], y las propiedades dieléctricas y piezoeléctricas de otros
más [17]. También explica el ferromagnetismo como función de la concentración
en algunos casos [18].
En la tercera etapa del cálculo se tomó en cuenta la tensión en el pozo. Para las
concentraciones que se utilizaron, la constante de red de la aleación InxGa1-xN
fue de apreciación mayor que la del InyGa1-yN. Se asumió que en la
heteroestructura, el InyGa1-yN, que es el material de la barrera, permanecía
relajado con su constante de red original y que la constante de red del material
del pozo, el InxGa1-xN, se acoplaba a la del InyGa1-yN. Por lo tanto, el InxGa1-xN
está sujeto a tensión biaxial compresiva. Este efecto se incorporó escalando los
ETBP del InGaN, para las concentraciones x y y, obtenidos mediante la Ecuación
1 usando la siguiente expresión
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⎛r⎞
E 'j = E j ⎜ ⎟
⎝ r0 ⎠
− ηαβ
(2)
siendo α y β los tipos de orbitales de los ETBP de la Tabla 1. El cociente r/r0 es la
distancia de los átomos de la red deformada entre la distancia de los átomos de
la red sin deformar.
La primera parametrización que se usó en la literatura para el valor del
exponente en el cociente fue la de Harrison [19], quien tomó el valor ηαβ = 2 para
todos los tipos de orbitales. Uno de los coautores de este trabajo (J. Arriaga),
realizó con anterioridad [20] un estudio teórico de la dependencia de la brecha
energética prohibida (gap) de los materiales GaAs y GaP bajo presión
hidrostática, empleando diferentes exponentes. Encontró que usando la
parametrización ηss = 3.7 y para los demás tipos de orbitales ηαβ = 2, se
reproducían mejor los datos experimentales. Estos valores de exponentes eran
similares a los obtenidos de manera previa por Priester y colaboradores [21]. Los
datos experimentales para la variación del gap de los nitruros cúbicos con la
presión hidrostática o tensión biaxial o uniaxial, son escasos y es difícil hacer un
ajuste. En este trabajo se realizaron los cálculos usando los valores de exponentes
de la referencia [20] antes mencionados.
En la etapa final del cálculo, el tratamiento teórico de la heteroestructura se hizo
con el llamado método de SGFM, que incorpora los efectos de las dos interfaces
del pozo de una forma adecuada. Mediante este método se calcularon las
energías de los estados ligados de huecos y electrones como función del número
de monocapas de InxGa1-xN. Este método está descrito en detalle en la
referencia [22].
Resultados y Discusión
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Los valores de los parámetros de red y las constantes elásticas de los compuestos
GaN e InN con estructura de zincblenda se tomaron de las referencias [23,24]. Los
ETBP correspondientes están dados en la Tabla 1 [10]. Ambos semiconductores
son de gap directo con valores de 3.3 eV y 0.8 eV. Asimismo, sus constantes de
red son 4.52 y 4.98 Å, de manera respectiva. En la Figura 1 se presenta la
evolución del gap como función de la concentración de In para la aleación
ternaria en los puntos de alta simetría Γ, X y L. Los diamantes constituyen
resultados experimentales de fotoluminiscencia en películas de InGaN [25].
Después, se estimaron los estados electrónicos de pozos cuánticos de InyGa1yN/InxGa1-xN/InyGa1-yN
crecidos en la dirección (001) en el centro de la ZB. Se
realizó variando el número n de monocapas de InxGa1-xN con 2 ≤ n ≤ 20. Una
monocapa contiene dos capas atómicas, una de aniones y otra de cationes. Se
calculó la energía de transición 1h-1e para los valores de concentración x = 0.15,
y = 0.02, suponiendo que el band offset en las bandas de valencia era de 30 %.
Estos resultados se muestran en la Figura 2, en la que se observa que al aumentar
el ancho del pozo, la energía de transición disminuye. Dicho comportamiento se
debe a que al ensancharse el pozo, la energía del estado base de electrones y
de huecos se mueve hacia el fondo del pozo. En el límite, cuando el ancho del
pozo tiende a infinito, la energía de transición se inclina al valor del gap del
In0.15Ga0.85N tensionado, que es 2.88 eV. Lo anterior resulta porque, al hacerse el
pozo infinitamente ancho, el comportamiento de los huecos y de los electrones
sería el de partículas libres y su estado base el del fondo del pozo. La tensión en el
pozo de In0.15Ga0.85N la ocasiona el acoplamiento de su constante de red a la de
la barrera de In0.02Ga0.98N relajado.
Del mismo modo, se calculó la energía 1h-1e para las concentraciones x = 0.3, y =
0.05; en este caso se realizaron las estimaciones para valores del band offset de
30 % y 50 %. Los resultados se exponen en la Figura 3. Al igual que en el caso
anterior, la energía de transición disminuyó al aumentar el ancho del pozo y
convergió al valor del gap del In0.3 Ga0.7N tensionado, 2.42 eV. En esta ocasión, la
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tensión en el pozo de In0.3Ga0.7N la ocasionó el acoplamiento de su constante de
red a la de la barrera de In0.05Ga0.95N relajado. Además, se observó que al
aumentar el valor del band offset, la energía de transición disminuyó, lo que es
más notorio para pozos estrechos. Los anchos de monocapa para el In0.15Ga0.85N
y el In0.3 Ga0.7N tensionados fueron 2.3191 Å y 2.3872 Å, de manera respectiva.
Conclusiones
Se calculó la energía de la transición fundamental 1h-1e en el centro de la ZB, de
pozos cuánticos cúbicos InyGa1-yN/InxGa1-xN/InyGa1-yN crecidos en la dirección
(001). Se utilizó la aproximación de amarre fuerte a primeros vecinos con una
base de orbitales atómicos sp3s*, en conjunto con el método SGFM. Se realizó la
estimación para dos conjuntos de concentraciones, x = 0.15, y = 0.02 y x = 0.3, y =
0.05, variando el ancho de los pozos de 2 a 20 monocapas. Para el primer
conjunto de concentraciones se hizo el cálculo suponiendo un band offset de 30
% en las bandas de valencia.
En el caso del segundo conjunto de concentraciones, se emplearon dos valores
del band offset, 30 % y 50 %. Se tomó en cuenta la deformación elástica del pozo
usando el valor de 3.7 para el exponente del escalamiento de los ETBP con
orbitales s-s y de 2 para el resto de los tipos de orbitales. Al aumentar el ancho de
los pozos, la energía de transición tendió a la del gap de la aleación InGaN del
pozo tensionado. El aumento en el valor del BO de la banda de valencia
ocasionó que las energías de transición disminuyeran, efecto que fue más
notable en los pozos estrechos.
Agradecimientos. Este trabajo fue parcialmente apoyado por
SEP-CONACYT,
Proyecto #2003-01-21-001-051.
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Tabla 1. Parámetros de amarre fuerte de los compuestos GaN e InN (en eV)
E(s,a)
E(p,a)
E(s,c)
E(p,c)
E(s*,a)
GaN -12.9156
3.2697
-1.5844
9.1303
14.0000
14.0000 -8.8996 5.4638
InN -12.8605
2.7081
-0.3994
8.7518
15.0000
15.0000 -4.2285 4.8684
V(x,y)
V(sa,pc) V(sc,pa) V(s*a,pc) V(pa,s*c)
E(s*,c)
V(s,s)
V(x,x)
λa
λc
Δ0
GaN
8.7208
6.7152
7.3524
7.8440
2.3827
0.003
0.015
0.018
InN
6.7505
3.3231
5.6091
8.9764
3.0144
0.003
0.002
0.010
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Figura 1. Brecha energética prohibida (gap) de la aleación InxGa1-xN en la estructura
de zincblenda como función de la concentración de In. Los diamantes
representan resultados experimentales [25].
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Figura 2. Energía de transición como función del ancho del pozo para
concentraciones x = 0.15, y = 0.02, para band offset de 30 %. La línea
recta a trazos es el valor 2.88 eV del gap del In0.15Ga0.85N tensionado.
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Figura 3. Energía de transición como función del ancho del pozo para concentraciones x
= 0.3, y = 0.05, para valores del band offset de 30 % y 50 %. La línea recta
a trazos es el valor 2.42 eV del gap del In0.3 Ga0.7N tensionado.
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