SOLUCIóN DE INECUACUACIONES 1. 3𝑥 < 4𝑥 + 4 Solución La inecuación es equivalente a: −4 < 4𝑥 − 3𝑥. De donde se tiene −4 < 𝑥 Por consiguiente el C.S. (C.S. = Conjunto Solución) es: 2. 6 − 𝑥 ≥ 2𝑥 + 9 Solución La inecuación es equivalente a: De donde Por lo tanto el C.S. es: −∞; −3 3. 2 𝑥 5 −4; ∞ 6 − 9 ≥ 2𝑥 − 𝑥 −3 ≥ 𝑥 1 + 1 < 5 − 2𝑥 Solución 2 𝑥 5 La inecuación es equivalente a: Reduciendo Multiplicando por el reciproco 5 12 Por consiguiente el C.S. es: −∞; − queda: 1 3 1 + 2𝑥 < 5 − 1 12 𝑥 5 4 < −5 𝑥<− 1 3 4. −1 < 𝑥 − 5 < 7 Solución La inecuación es equivalente a: −1 < 𝑥 − 5 𝑦 𝑥 − 5 < 7 (por propiedades de inecuaciones) Reduciendo las desigualdades se tiene: 4 < 𝑥 𝑦 𝑥 < 12, donde el conjunto solución viene dado por la intersección de las soluciones de las inecuaciones. Gráficamente podemos ver: Por consiguiente el C.S. es: 4; 12 5. −2 < 8 − 2𝑥 ≤ −1 Solución Haciendo el mismo análisis que el caso anterior: −2 < 8 − 2𝑥 𝑦 8 − 2𝑥 ≤ −1 2𝑥 < 10 𝑦 8 + 1 ≤ 2𝑥 𝑥<5 𝑦 9 2 ≤𝑥 Gráficamente: C.S. 9 ;5 2 6. 2 7𝑥 − 3 ≤ 12𝑥 + 16 Solución La inecuación es equivalente a: Reduciendo las operaciones 14𝑥 − 6 ≤ 12𝑥 + 16 2𝑥 ≤ 22 𝑥 ≤ 11 Gráficamente: Por consiguiente el C.S. es: 7. −∞; 11 𝑥+2 𝑥−3 ≤ 0 Solución Previamente se determina los valores de x para los cuales anula la expresión y dichos valores colocamos en la recta numérica en donde divide a la recta en tres intervalos. Seguidamente se determina el signo del polinomio estudiando el signo de ambos factores en la siguiente tabla: Signo 𝑥+2 𝑥−3 𝑥+2 𝑥−3 −∞; −2 − − + −2; 3 + − − 3; +∞ + + + Se observa que los puntos del intervalo −2; 3 son soluciones de la inecuación 𝑥 + 2 𝑥 − 3 ≤ 0 Y como los extremos del intervalo no verifican la desigualdad, se deduce que −2; 3 es solución de esta inecuación. 8. 2𝑥 2 + 𝑥 ≥ 1 Solución Esta inecuación es equivalente a: 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 ≥ 0 Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces, obteniéndose: 𝑥 = Por lo tanto la inecuación queda factorizado de la forma: Hacemos el mismo análisis que el caso anterior. Signo 2𝑥 − 1 𝑥+1 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 −∞; −1 − − + 1 2 y 𝑥 = −1 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 ≥ 0 −1; − + − Se observa que los puntos que se encuentran sobre los intervalos 1 2 1 ; +∞ 2 + + + −∞; −1 desigualdad, por lo tanto el conjunto solución viene dado por −∞; −1 ∪ Los ejercicios que vienen a continuación son similares a los ya estudiados. 9. 𝑥 2 < 3 𝑥 + 6 Solución 𝑥2 − 3 𝑥 + 6 < 0 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 < 0 𝑥−6 𝑥+3 < 0 C.S. −3; 6 . 10. 𝑥 2 < 4 Solución 𝑥2 − 4 < 0 𝑥−2 𝑥+2 < 0 C.S. −2; 2 . 11. 𝑥 3 − 4𝑥 ≥ 0 Solución 𝑥 𝑥2 − 4 ≥ 0 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 ≥ 0 C.S. −2; 0 ∪ 2; +∞ . 12. 16𝑥 ≥ 2𝑥 4 Solución La inecuación es equivalente a: Factorizando 2𝑥 tenemos: Por propiedades de factorización: 2𝑥 4 − 16𝑥 ≤ 0 2𝑥 𝑥 3 − 8 ≤ 0 2 2𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2𝑥 + 4 ≤ 0 1 ; +∞ 2 y . 1 ; +∞ 2 verifican la Omitimos las soluciones de 𝑥 2 + 2𝑥 + 4 por tener raíces complejas. En forma grafica: Por consiguiente C.S. es: 0; 2 . 13. 6−2𝑥 9 > 1−𝑥 6 Solución 6−2𝑥 La inecuación es equivalente a: − 9 6 6 6−2𝑥 −9 1−𝑥 9×6 Reduciendo: Cambiando de signo resulta: 1−𝑥 >0 >0 36 − 12𝑥 − 9 + 9𝑥 > 0 27 − 3𝑥 > 0 −27 + 3𝑥 < 0 3𝑥 < 27 𝑥<9 Por lo tanto, C.S. es: −∞; 9 . 14. 2𝑥 3 − 4𝑥 − 7𝑥 ≤ −𝑥 2 + 𝑥 + 3 Solución La inecuación es equivalente a: 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 8𝑥 − 3 ≤ 0 Para poder expresar en factores hacemos uso de la división por Ruffini. -1 2 3 2 -3 -2 -5 6 1 2 -8 5 -3 3 0 -3 3 0 El polinomio queda expresado en factores de la forma: 𝑥 + 1 𝑥 − 3 2𝑥 + 1 ≤ 0 Seguidamente buscamos los valores de que x que anulen el polinomio y dichos valores los ubicamos sobre la recta real y por el método practico determinamos la solución. La solución se encuentra en los intervalos que presenta el signo negativo y como nuestra desigualdad es menor igual. 1 Por lo tanto C.S. es: −∞; −1 ∪ − 2 ; 3 . 1 1 15. (𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 2)2 < 𝑥 Solución 4 𝑥 Por propiedades de factorización se tiene: 1 2 <𝑥 2𝑥 < 𝑥 𝑥<0 C.S. −∞; 0 . 16. −6𝑥 4 + 11𝑥 3 + 94𝑥 2 + 11𝑥 − 30 ≤ 0 Solución La inecuación es equivalente a: 6𝑥 4 − 11𝑥 3 − 94𝑥 2 − 11𝑥 + 30 ≥ 0 (este resultado se obtuvo cambiando el signo). Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan sus raíces utilizando la división por Ruffini. −3 6 5 6 1 2 −2 3 6 −11 −18 −29 30 1 −94 +87 −7 5 −2 6 3 4 +2 0 6 −4 0 −11 21 10 −10 0 +30 −30 0 Luego, la inecuación expresado como el producto de 4 factores lineales, será: 𝑥 + 3 𝑥 − 5 𝑥 − 1 2 𝑥 + 2 3 ≥ 0 , luego determinamos los valores de x los cuales anulan el polinomio, seguidamente los valores que anulan el polinomio los ubicamos sobre una recta real en donde nos divide en cuatro intervalos y hacemos el mismo análisis que los ejercicios 7. Y 8. Obteniéndose como 2 1 3 2 conjunto solución el intervalo: −∞; −3 ∪ − ; Instructor: Oscar Tomaiconza ∪ 5; +∞ .