Deducción del principio de indeterminación de Heisenberg

Deducción del principio de indeterminación de Heisenberg
Sean A y B dos observables mecánico-cuánticos cualesquiera representables por matrices
de 2×2:
a  a
a
A   11 12    1
 a21 a22   a
a

a2 
b b   b b 
B   11 12    1

 b21 b22   b b2 
Su conmutador está dado por:

ab  ab
 A, B  AB  BA   

 a  b1  b2    a2  a1  b
 a1  a2  b  a  b2  b1  


ab  ab
Cuyo complejo conjugado es:
 A, B


ab  ab
 
 a  b1  b2    a2  a1  b
 a1  a2  b  a  b2  b1  
ab  ab


El cuadrado del primer elemento de matriz es entonces:
 A, B  11
2
  ab  ab  ab  ab 
 2 a b  a 2b 2  a  2 b 2
2
2
   ab  ab 
2
Y su norma viene dada por:
 A, B
 i  ab  ab 
Por otro lado, las varianzas para cada matriz vienen dadas por:
 A
2
 B 
2
2

a
a  a1  a   a2  


 A  A 
2
 a  a  a  a 

a
1
2


2

b
b  b1  b  b2  
2
2

 B  B 
2
 b  b  b  b 

b
1
2


2
2
Noten que la varianza para los elementos en la diagonal depende únicamente de los
elementos fuera de la diagonal en las matrices de los observables. Lo que implica que
observables diagonales no tienen dispersión.
El producto de varianzas para el primer elemento de matriz es entonces:
 A  B 
2
2
a b
2
2
Y las desviaciones estándar:
A  B  a b
¿Qué relación guarda este producto con el elemento correspondiente del conmutador?
A  B ?
 A, B
Sustituyendo lo encontrado anteriormente:
a b ? i  ab  ab 
Recordemos que los elementos fuera de la diagonal son complejos, por lo que pueden
escribirse como:
a  x  yi
b  w  zi
Cada lado de la inecuación anterior puede reescribirse como:
a b
x
2
 y 2  w2  z 2 
 x 2 w2  x 2 z 2  y 2 w2  y 2 z 2
i  ab  a b   i  x  yi  w  zi    x  yi  w  zi  
 i  xw  yz   wy  xz  i  xw  yz   xz  yw  i 
   2wy  2 xz 
 2 xz  wy
Y la inecuación queda:
x 2 w2  x 2 z 2  y 2 w2  y 2 z 2 ? 2 xz  wy
Elevando ambos lados al cuadrado:
x2 w2  x2 z 2  y 2 w2  y 2 z 2 ?4  x 2 z 2  2 xywz  w2 y 2 
Si el lado derecho se divide entre 4, la inecuación se puede reducir a:
x2 w2  y 2 z 2 ? 2 xywz
Esta expresión es una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwartz, de acuerdo a la cual la
relación queda definida como:
x2 w2  y 2 z 2  2 xywz
Retomando los pasos anteriores, dicha desigualdad es equivalente a:
 A  B 
2
2

 A, B
2
4
O bien, en términos de las desviaciones estándar:
A  B 
 A, B 
2
Que es el enunciado del principio de indeterminación de Heisenberg para dos operadores
cualesquiera.