Tema 9: Filtros analógicos - Universidad Complutense de Madrid

TEMA 9: FILTROS ANALÓGICOS
Francisco J. Franco Peláez
p
.u
c
m
m
o
w
:/
/
w
w
id
e
rs
tt
p
h
U
n
iv
Pa
ra
u
so
de
C
alu
m
a
d
n
os
de
la
lu
.e
te
s
n
se
d
e
M
a
d
ri
Electrónica en la Facultad de Físicas de la Universidad Complutense de Madrid.
d
Apuntes para uso en la asignatua Electrónica Analógica, impartida en la Ingeniería Superior
1
Filtros analógicos
Tema 9
Índice
1. Propiedades matemáticas de los ltros
4
2. Tipos de ltro con arreglo a la frecuencia
5
3. Implementación de ltros con funciones de primer y segundo orden
5
Filtros LP:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2.
Filtros HP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3.
Filtros BP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.4.
Filtros BR: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5.
Filtros AP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
ri
d
3.1.
M
a
4. Normalización y escalado
e
5. Filtros LP de orden superior a 2 basados en funciones matemáticas especiales
9
9
10
Filtros LP de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.2.
Filtros LP de Bessel
11
5.3.
Filtros LP de Chebyshev
5.4.
Otros ltros LP de características especiales
d
5.1.
lu
.e
te
s
n
se
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de
la
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
os
6. Diseño de ltros distintos HP, BP y BR a partir del ltro equivalente LP
12
14
14
. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
6.2.
Creación de ltro BP a partir de un LP equivalente
. . . . . . . . . . . . . . . . .
15
6.3.
Creación de ltro BR a partir de un LP equivalente
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
w
19
Conguraciones de Sallen-Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
7.2.4.
w
w
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
:/
/
Conguraciones de polo simple
Conguraciones realimentadas con bucle múltiple
tt
p
U
n
7.2.3.
. . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Conguraciones de immitancia generalizada
Filtros activos LP
h
7.3.
id
18
iv
7.2.2.
7.4.
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
rs
7.2.1.
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Filtros activos. Conguraciones generales.
Pa
ra
u
7.2.
Filtros pasivos. Red RC en escalera
so
7.1.
.u
de
7. Implementación física de ltros
c
m
C
o
m
Creación de ltro HP a partir de un LP equivalente
alu
m
a
d
n
6.1.
7.3.1.
Filtros LP con conguraciones inversoras y no inversoras
7.3.2.
Filtro LP de Sallen-Key
7.3.3.
Filtro LP con conguración de bucles de realimentación multiples
7.3.4.
Filtro LP con conguración de immitancia generalizada
Filtros activos HP
. . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . .
22
. . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.4.1.
Filtros HP con conguraciones inversoras
7.4.2.
Filtro HP de Sallen-Key
Electrónica Analógica
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ingeniería Superior en Electrónica
2
Filtros analógicos
Tema 9
7.6.
7.4.4.
Filtro HP con conguración de immitancia generalizada
Filtros activos BP
. . . . .
24
. . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7.5.1.
Filtros BP con conguraciones inversoras y no inversoras
. . . . . . . . . .
25
7.5.2.
Filtro BP con conguración de bucles de realimentación múltiples . . . . . .
25
7.5.3.
Filtro BP con conguración de immitancia generalizada
. . . . . . . . . . .
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
7.6.1.
Filtro BR basado en conguración de realimentación por bucles múltiples . .
26
7.6.2.
Filtro BR basado en conguración de immitancia generalizada
. . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Filtros activos BR
Filtros activos AP
p
.u
c
m
m
o
w
:/
/
w
w
id
e
rs
tt
p
h
U
n
iv
Pa
ra
u
so
de
C
alu
m
a
d
n
os
de
la
lu
.e
te
s
n
se
d
e
M
a
d
ri
7.7.
Filtro HP con conguración de bucles de realimentación multiples
d
7.5.
7.4.3.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
3
Filtros analógicos
Tema 9
Se entiende por ltro como todo sistema que relaciona una señal de entrada con otra de salida y
en el que la relación depende de la frecuencia de la señal de entrada. En otras palabras, si suponemos
que ambas entradas son tensiones:
VOU T (s)
= H (s)
VIN (s)
Siendo
H(s)
una función de
s = j ·ω ,
con
ω = 2·π ·f
y
f
(1)
la frecuencia fundamental de la señal de
la entrada.
En este tema, todas las entradas se consideran analógicas por lo que los ltros son analógicos.
Un ltro es activo si el sistema cuenta en su interior con componentes activos, generalmente
d
amplicadores operacionales. Por el contrario, si no existen el ltro se denomina pasivo y en su
M
a
d
ri
interior hay solo resistencias, bobinas y condensadores.
e
1. Propiedades matemáticas de los ltros
d
Los ltros reales que pueden ser construidos con componentes pasivos o activos tienen en general
D(s)
y
dos polinomios con coecientes reales. Generalmente, el grado del numerador
de
N (s)
(2)
la
H(s) =
Siendo
N (s)
D (s)
lu
.e
te
s
n
se
la forma:
os
es igual o menor que el del denominador por motivos de estabilidad.
p
m
alu
m
a
d
n
Como consecuencia de que los polinomios tengan coecientes reales, sus raíces son o bien
o
números reales, o bien pares de números complejos conjugados. Por tanto, el numerador y el de-
(s + a)
.u
de estabilidad ya que, si fueran negativos, podrían aparecer polos o ceros positivos
3.
1
s2 +a1 ·s+b1
4.
s+a2
s2 +a1 ·s+b1
5.
s2 +a2 ·s+b2
s2 +a1 ·s+b1
w
h
tt
p
n
U
podría descomponerse en productos de
/
s+a2
s+a1
que desestabi-
:/
2.
iv
1
s+a1
e
rs
Pa
ra
u
la forma siguiente:
H (s)
1
w
w
id
so
lizarían el sistema. De este modo, cualquier función
1.
o de la forma
Los parámetros a, b y c son números reales y generalmente positivos por motivos
de
(s + b · s + c).
c
m
2
C
nominador pueden factorizarse como un producto de términos de la forma
Por supuesto, a todos estos factores puede añadirse un término
KF , independiente de la frecuencia,
que sería la ganancia del ltro. Por ejemplo:
H (s) =
N (s)
4·s2 + 12·s + 8
s+1
s+2
= 3
= 4·
·
2
2
D (s)
s + 6·s + 10·s + 3
s + 3 s + 3·s + 1
1 Recordemos que un cero es el valor de s tal que la función de transferencia se anula.
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4
Filtros analógicos
Tema 9
Ocurre que todas las fracciones de segundo grado son fácilmente implementables mediante
ltros activos que, colocados en cascada, multiplicarían sus funciones de transferencia. Por tanto, la
estrategia de diseño que veremos en este tema constará de los siguientes pasos:
Determinar las características del ltro que deseamos (ganancia y frecuencias de interés).
Buscar alguna función
H(s)
que cumpla estas características y que no tenga demasiadas
desventajas.
Descomponerla en producto de fracciones.
d
ri
d
Diseñar uno a uno cada bloque y colocarlos en cascada.
M
a
Existen otras técnicas pero, por simplicidad, nos ceñiremos a ésta.
e
2. Tipos de ltro con arreglo a la frecuencia
categorías siguientes:
lu
.e
te
s
n
se
d
De acuerdo con su comportamiento en frecuencia, todo ltro pertenece a una de las cinco
la
Pasa-Baja (Low Pass, LP): Atenúa todas las componentes de la señal cuya frecuencia sea
de
superior a una determinada, llamada frecuencia de corte , y mantiene las restantes.
m
alu
m
a
d
n
y mantiene las superiores.
p
os
Pasa-Alta (High Pass, HP): Atenúa todas las componentes con frecuencia inferior a la de corte
c
m
C
o
Pasa-Banda (Band Pass, BP): Permite el paso de componentes cuya frecuencia esté compren-
.u
de
dida entre dos valores de frecuencia de corte y elimina el resto.
w
so
Rechazo de Banda (Band Reject, BR): Su comportamiento es opuesto al anterior, permitiendo
w
w
id
e
rs
Pa
ra
u
el paso de todas las frecuencias excepto las comprendidas entre dos valores determinados.
Pasa-Todo (All pass, AP): En este caso, la ganancia es un número complejo, con un valor
/
tt
p
U
n
retardos.
:/
iv
absoluto constante pero con variación del ángulo polar. Se utilizan para introducir desfases y
Fig. 1-5 resumen las características mencionadas anteriormente. En la práctica, es imposible con-
h
seguir un comportamiento ideal. Por ello, el diseñador se conforma con que se cumplan ciertas
especicaciones como se muestra en el conjunto Fig. 6-9.
3. Implementación de ltros con funciones de primer y
segundo orden
Todas las funciones simples que aparecen en el apartado 1 equivalen a ltros de cualquier tipo
siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones.
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Ingeniería Superior en Electrónica
5
Filtros analógicos
Tema 9
e
M
a
d
ri
d
Figura 1: Característica ideal de un ltro LP.
p
c
m
m
o
C
alu
m
a
d
n
os
de
la
lu
.e
te
s
n
se
d
Figura 2: Característica ideal de un ltro HP.
.u
w
:/
/
w
w
id
e
rs
tt
p
Figura 4: Característica ideal de un ltro BR.
h
U
n
iv
Pa
ra
u
so
de
Figura 3: Característica ideal de un ltro BP.
Figura 5: Característica ideal de un ltro AP.
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Ingeniería Superior en Electrónica
6
Filtros analógicos
Tema 9
de paso (Pass band) está delimitada por la frecuencia
ganancia entre 0 dB y
−AM AX (dB).
y se permite en ella cualquier valor de
La banda de rechazo (Stop band) está delimitada por
−AM IN (dB).
ωS
y
p
m
o
/
w
w
id
:/
h
tt
p
n
U
desempeñan el mismo papel que en Fig. 6.
e
rs
iv
Pa
ra
u
c
m
ωP
.u
y
so
AM AX , AM IN , ωS
ltro HP real con normalización de la ganancia a 1. Los parámetros
w
de
Figura 7: Característica de un
C
alu
m
a
d
n
os
de
la
lu
.e
te
s
n
se
d
e
no se permiten ganancias superiores a
ωP
d
con normalización de la ganancia a 1. La banda
d
ri
ltro LP real
M
a
Figura 6: Característica de un
Figura 8: Característica de un
AM AX , AM IN , ωS
y
ωP
ltro BP real con normalización de la ganancia a 1. Los parámetros
desempeñan el mismo papel que en Fig. 6 aunque, en el caso de las
frecuencias, es necesario duplicar los subíndices.
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7
Filtros analógicos
Tema 9
Figura 9: Característica de un
ltro BR real con normalización de la ganancia a 1. Mismos comen-
d
ri
d
tarios que en Fig. 8.
e
ω0
s + ω0
d
H (s) = KLP ·
M
a
3.1. Filtros LP:
la
es la frecuencia de corte,
el
p
c
m
.u
w
H (s) = KHP ·
w
w
id
QF
s2
s2 +
ω0
QF
s + ω02
·
la ganancia a frecuencia innita y
QF
el factor Q del
:/
/
KHP
s
s + ω0
tt
p
U
n
ltro.
la ganancia a frecuencia cero o ganancia DC y
H (s) = KHP ·
es la frecuencia de corte,
iv
ω0
e
rs
Pa
ra
u
so
de
C
alu
m
a
d
n
3.2. Filtros HP:
os
factor Q del ltro .
Donde
KLP
de
2
m
ω0
o
Donde
ω02
s2 + QωF0 ·s + ω02
lu
.e
te
s
n
se
H (s) = KLP ·
h
3.3. Filtros BP:
H (s) = KBP ·
√
ω0
·
QF s2 +
s
ω0
QF
s + ω02
·
ω0 es la frecuencia central del ltro tal que, siguiendo las deniciones
0
ωP 1 ·ωP 2 , QF = ωP 2ω−ω
y KBP la ganancia en la frecuencia central.
P1
Donde
2 Recordemos que el factor de calidad de un ltro,
banda de la zona de interés, sea de paso o rechazo,
de Fig. 8,
ω0 =
Q, es el cociente entre la frecuencia central f0 y el ancho de
∆f .
En muchas ocasiones, se dene este ancho de banda como
aquella zona en la que la ganancia no es inferior a 3 dB respecto a la ganancia máxima.
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Ingeniería Superior en Electrónica
8
Filtros analógicos
Tema 9
3.4. Filtros BR:
H (s) = KBR ·
√
s2 + ω02
s2 + QωF0 ·s + ω02
ω0 es la frecuencia central del ltro tal que, siguiendo las deniciones de Fig. 8, ω0 =
0
ωP 1 ·ωP 2 , QF = ωP 2ω−ω
y KBR la ganancia a baja y alta frecuencia. En este caso, se han seguido
P1
Donde
las deniciones de Fig. 9.
ω0
s2 +
M
a
s + ω02
·
s + ω02
·
es la frecuencia en la que se produce un cambio de fase de 90º,
QF
KAP
la ganancia del
el factor de calidad.
la
ltro, que es constante, y
lu
.e
te
s
n
se
Donde
ω0
QF
ω0
QF
s2 −
e
H (s) = KAP ·
s − ω0
s + ω0
d
H (s) = KAP ·
d
ri
d
3.5. Filtros AP:
p
m
alu
m
a
d
n
os
de
4. Normalización y escalado
Todas las funciones mencionadas en el apartado anterior se caracterizan por la presencia ubicua
c
m
asociado a las frecuencias características del ltro.
o
ω0 ,
C
de un parámetro, llamado
En general, los ltros suelen normalizarse mediante el cambio de variable
s
. De este modo,
ω0
ω00 = 1 y las funciones adquieren una forma más sencilla. Así,
.u
de
la frecuencia característica tiene valor
s0 =
w
H (s) = KLP ·
1
s+1
:/
/
w
w
id
e
rs
tt
p
U
n
iv
Pa
ra
u
so
las ecuaciones asociadas al ltro LP serían:
H (s) = KLP ·
1
s2
+
1
QF
s+1
·
h
Por otra parte, es costumbre realizar un escalado de la ganancia de tal modo que el máximo de
ganancia sea 1. Así, en las ecuaciones anteriores, donde el máximo se alcanza en
eliminar las constantes
s = 0,
habría que
KLP .
En general, todas las características de los ltros se escalarán a 1 (0 dB) antes de la obtención
de la función de transferencia. Debe tenerse en cuenta que este proceso es reversible de manera
inmediata volviendo a multiplicar la función de transferencia por el factor eliminado.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
9
Filtros analógicos
Tema 9
5. Filtros LP de orden superior a 2 basados en funciones
matemáticas especiales
Las funciones descritas en los apartados anteriores permiten diseñar ltros de todo tipo. Sin
embargo, por comodidad, nos centraremos en la creación de ltros LP pues, como veremos más
adelante, todo ltro lleva asociado un ltro LP con características similares realizando unas transformaciones especiales sobre la variable s (Apartado 6).
Por otro lado, podríamos estar interesados en diseñar ltros con características especiales. Por
d
ejemplo, quizás necesitamos un ltro en el que la ganancia sea constante en un determinado rango de
d
ri
frecuencias sin importarnos demasiado el desfase que se introduzca. O bien al revés. Para conseguirlo,
existen funciones matemáticas con características especiales que dotan a los ltros de propiedades
M
a
bastante interesantes para el diseñador.
Estos ltros son los ltros de Butterworth, de Bessel y de Chebyshev. No son los únicos tipos
e
pero sí los más populares.
frecuencia.
de
la
5.1. Filtros LP de Butterworth
lu
.e
te
s
n
se
d
A partir de ahora, se sobreentiende que todos los ltros han sido escalados y normalizados en la
m
o
1
1 + ω 2N
(3)
c
m
ω
|H (ω)|2 =
C
Siendo
alu
m
a
d
n
ltro y cuyo valor es:
p
os
Son ltros que se caracterizan por un valor de ganancia muy constante en la zona pasante del
la frecuencia normalizada y N el orden del ltro. Estos ltros se caracterizan por un
ω = 0,
.u
de
descenso monotónico, con un máximo en
w
id
so
Para obtener Eq. 1 es necesario sustituir s por
DN (s)
w
w
e
rs
Pa
ra
u
1/D (s) siendo N el orden del ltro y
N
y sin presencia de rizado en la ganancia.
j ·ω
en funciones racionales de la forma
HN (s) =
un polinomio de la tabla en el cuadro 1. En Fig. 10, se
proporcionan los valores de la gananciade los ltros Butterworth de orden 1 a 5.
/
:/
1
tt
p
U
n
iv
N u orden de ltros
2
h
2
4
5
DN (s)
s√+ 1
2
s + 2·s + 1
(s + 1) · (s2 + s + 1)
(s2 + 1,84776·s + 1) · (s2 + 0,76537·s + 1)
(s + 1) (s2 + 1,61803·s + 1) · (s2 + 0,61803·s + 1)
Cuadro 1: Denominadores de los ltros de Butterworth hasta orden 5.
¾Cómo podemos saber de qué orden nos interesa el ltro Butterworth? En el caso de los ltros
LP con unas especicaciones conocidas y reejadas en Fig. 6, el orden del ltro debe ser tal que:
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
10
Filtros analógicos
AM IN
y
AM AX
d
ri
e
(4)
están expresados en dB. Recordemos que, en los casos prácticos, las
de
5.2. Filtros LP de Bessel
ωP = 1.
la
frecuencias están normalizadas y, por tanto,
lu
.e
te
s
n
se
Donde
d
N>
100,1·AM IN −1
100,1·AM AX −1
2·log10 ωωPS
log10
M
a
Figura 10: Ganancia de un ltro LP Butterworth
d
Tema 9
p
os
Son ltros caracterizados por un óptimo comportamiento en la fase en detrimento de un ritmo de
m
alu
m
a
d
n
caída peor al sobrepasar la frecuencia de corte. Son muy útiles cuando se desea que las componentes
c
m
o
de la señal por debajo de la frecuencia de corte no lleguen desfasadas entre sí.
C
Por otro lado, su respuesta temporal a la función escalón o umbral no presenta sobredisparos.
.u
de
La construcción de estos ltros en el dominio de Laplace normalizado es bastante sencilla pues se
w
DN (0)
DN (s)
(5)
/
w
w
id
e
rs
HN (s) =
:/
tt
p
U
n
DN (s) el polinomio inverso de Bessel de grado N cuya expresión general se encuentra
cuadro 2. DN (0) se introduce para escalar la función de transferencia. Fig. 11 muestra la
siendo
en el
iv
Pa
ra
u
so
obtienen directamente a partir de la expresión:
h
ganancia de estas funciones de transferencia.
N u orden de ltros
0
1
2
3
4
N
DN (s)
1
s+1
s2 + s + 3
s3 + 6·s2 + 15·s + 15
4
s + 10·s3 + 45·s2 + 105·s + 105
(2N − 1) ·DN (s) + s2 ·DN −2 (s)
Cuadro 2: Polinomios inversos de Bessel de grado N.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
11
Filtros analógicos
TN (x)
1
x
2
2·x − 1
4·x3 − 3·x
8·x4 − 8·x2 + 1
TN +1 = 2·x·TN − TN −1
M
a
N u orden de ltros
d
ri
Figura 11: Ganancia de un ltro LP Bessel
d
Tema 9
0
1
e
2
d
3
la
N
lu
.e
te
s
n
se
4
de
Cuadro 3: Polinomios de Chebyshev de grado N.
p
os
En general, se necesita un factor muy elevado de N para obtener una ganancia entre entrada y
ωP
con el grado mínimo del ltro por lo que se debe recurrir a un método de
.u
de
C
tanteo para realizar la estimación.
c
m
y
o
AM AX , AM IN , ωS
m
alu
m
a
d
n
salida sucientemente abrupta. No se ha encontrado en la literatura ninguna relación sencilla entre
w
id
so
5.3. Filtros LP de Chebyshev
w
w
e
rs
Pa
ra
u
Un inconveniente de los ltros Butterworth y Bessel es que la caída a partir de la frecuencia de
iv
corte es bastante lenta. Para casos en los que se necesite una caída más abrupta en la ganancia con
/
:/
n
ltros de orden más bajo, es necesario recurrir a los ltros de Chebyshev, que tienen los inconvenientes
tt
p
U
de un rizado en la función ganancia en la banda pasante y de un mal comportamiento de fase.
Estos ltros utilizan las características de los polinomios de Chebyshev para alcanzar propiedades
h
óptimas en el dominio de la ganancia. Los polinomios de Chebyshev tienen la propiedad de que,
en el intervalo [-1, 1], su valor absoluto es menor que 1. Asimismo, el valor absoluto del polinomio
crece rápidamente una vez que estamos fuera de dicho intervalo. Por otra parte, el polinomio de
Chebyshev de grado N tiene (N-1) máximos y/o mínimos en el intervalo [-1, 1]. Los polinomios de
Chebyshev se encuentran en el cuadro 3.
En estas circunstancias, el ltro de Chebyshev se dene como aquél que tiene la siguiente función
de transferencia:
|HN (ω)|2 =
Electrónica Analógica
1
1+
ε2 ·TN2
(ω)
Ingeniería Superior en Electrónica
(6)
12
Filtros analógicos
.
Se supuso
ε = 0,2.
Al estar denido el polinomio
d
ri
Figura 12: Ganancia de un ltro LP Chebyshev
d
Tema 9
de Chebyshev para valores de frecuencia positivos y estar elevado al cuadrado, aparecen N máximos
ε
la frecuencia normalizada y
KM AX
el factor de rizado que se dene como
e
donde
ω
es la ganancia máxima permitida (1 en un ltro escalado) y
d
Siendo
M
a
y mínimos por debajo de la frecuencia unidad.
KM IN
q
KM AX
KM IN
−1
la ganancia
lu
.e
te
s
n
se
mínima permitida dentro de la banda de paso, denida para frecuencias por debajo de la frecuencia
de corte. No deben expresarse en decibelios sino en unidades naturales. Como es habitual trabajar
KM AX = 1
la
con ltros escalados, es más sencillo tomar
y
KM IN = 10−0,1 AM AX >> 10−0,1 AM IN .
·
·
p
m
(7)
c
m
o
N>
100,1·AM IN −1
100,1·AM AX −1
cosh−1 ωωPS
cosh−1
C
alu
m
a
d
n
os
tipo Chebyshev se calcula como:
de
En estas condiciones, el orden mínimo necesario para cumplir los requerimientos de un ltro LP
.u
de
Recordemos que las ganancias están expresadas en dB. ¾Cómo se determina la función de trans-
sN
w
+ αN −1
A
N −1
·s
+ αN −2 ·sN −2 + ... + α1 ·s1 + α0
s = j ·ω . Separaremos parte real e imaginaria del denominador y obtendremos
tt
p
y haremos el cambio
U
w
w
/
HN (s) =
:/
n
iv
e
rs
con el método propuesto en Eq. 6. A continuación, propondremos una función de la forma
Pa
ra
u
|HN (ω)|2
id
so
ferencia que necesitamos en el dominio de Laplace normalizado? En primer lugar, determinaremos
h
el cuadrado del módulo teórico de la función compleja. A continuación, igualaremos con la expresión
obtenida de Eq. 6. Como cada término en
ω
es igual en cada miembro, obtendremos un sistema de
ecuaciones que habrá que resolver.
En Fig. 12 se detalla la ganancia de distintos ltros de Chebyshev con grado creciente. Obsérvese
el rizado, el número de mínimos y máximos y la caída abrupta de la ganancia en torno a la frecuencia
de corte.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
13
Filtros analógicos
Tema 9
5.4. Otros ltros LP de características especiales
Los ltros descritos en los apartados anteriores no son los únicos aunque sí los más populares.
Existen otras familias de ltros con denominación propia:
1.
Filtros LP Legendre: Usan los polinomios de Legendre para crear la función de transferencia.
Parecidos a los ltros de Butterworth aunque con caída de ganancia más abrupta.
2.
Filtro LP elíptico o Cauer:
Su construcción es similar a los de Chebyshev aunque se
utiliza la función elíptica racional. Caídas extraordinariamente abruptas aunque con un pésimo
d
comportamiento en el desfase. Presenta rizado tanto en la banda de paso como en la de
Filtro LP Chebyshev inverso:
También llamados Chebyshev II aceptando que los ltros
M
a
3.
d
ri
rechazo.
descritos en el apartado 5.3 son de tipo Chebyshev I. Se obtiene reemplazando en Eq. 6 la
ε2 ·TN2 (ω)
por
1
2 (ω) . De este modo, los roles de la banda de paso y de rechazo se
ε2 ·TN
e
expresión
d
intercambian de tal manera que la banda de paso no tiene rizado y sí la de rechazo. No son
lu
.e
te
s
n
se
muy utilizados pues, en general, requieren más componentes que el tipo I.
p
m
alu
m
a
d
n
os
de
la
6. Diseño de ltros distintos HP, BP y BR a partir del
ltro equivalente LP
y
s = j ·ωP ,
.u
s=0
que tras la normalización se convierten en
id
w
la ganancia máxima normalizada es 1 (0 dB) y la mínima permitida es
so
s = 1,
de
1. Entre las frecuencias
c
m
C
ciones:
o
En el apartado anterior, se aprendió a crear un ltro LP que cumpliera las siguientes especica-
s=0
−AM AX .
y
Este
w
w
e
rs
Pa
ra
u
rango de frecuencias se llama banda de paso .
s = j ·ωS ,
que se normaliza a
/
iv
2. A partir de una frecuencia
:/
tt
p
U
n
tal que la máxima ganancia permitida por el ltro es
Con estas premisas, es posible obtener una función
s = j · ωωPS ,
la banda de rechazo es
−AM IN .
H (s) que debe ser implementada con la circuitería
h
apropiada optimizando la estabilidad de la ganancia en la banda de paso (Butterworth), la fase
(Bessel) o la caída abrupta en la zona intermedia (Chebyshev) (Apartado 7).
Por otra parte, se puede encontrar fácilmente un ltro HP, BP o BR con especicaciones de
ganancia similares al ltro LP por medio de transformaciones matemáticas sencillas que veremos a
continuación.
Finalmente, téngase en cuenta que los ltros AP se tratan de distinto modo puesto que la
ganancia es la misma a cualquier frecuencia. Estos ltros se diseñan directamente a partir de las
ecuaciones descritas en el apartado 3.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
14
Filtros analógicos
Tema 9
6.1. Creación de ltro HP a partir de un LP equivalente
Supongamos que se desea construir un ltro HP con las condiciones siguientes:
Se mantendrá la zona de altas frecuencias de tal modo que, a partir de una frecuencia
ganancia del ltro es superior a
−AM AX ,
la
siendo 0 dB la ganancia máxima encontrada.
Se rechazará la zona de bajas frecuencias con lo que, por debajo de una frecuencia
la ganancia del ltro es inferior a
ωP ,
−AM IN ,
s = j · ωS ,
expresada en decibelios.
ωEP =
2. Normalizamos el ltro respecto a la ganancia
y AM IN sean los del ltro HP pero
1
1
y la de la banda de rechazo, ωES =
.
ωP
ωS
d
ri
la frecuencia límite de la banda de paso es
AM AX
M
a
1. Creamos las características de un ltro LP tal que
d
Para crearlo, usaremos un ltro LP equivalente por medio de las siguientes reglas:
s = ωEP .
d
e
3. Creamos la función de transferencia apropiada del tipo que se adapte mejor a nuestros deseos.
por
s−1
en dicha función y reordenamos la función
lu
.e
te
s
n
se
s
4. Realizamos el cambio de la variable
de
la
racional. Por ejemplo, si tenemos la función
m
C
HHP (s) =
1
s2
=
s−2 + s−1 + 2
2·s2 + s + 1
.u
de
1
+s+2
c
m
o
alu
m
a
d
n
crearíamos la nueva función
s2
p
os
H (s) =
w
w
w
ωP .
Pa
ra
u
la frecuencia
id
so
5. Esta función sería la del ltro HP buscado en el dominio de Laplace normalizado con respecto a
e
rs
De esta manera, se obtendría la función equivalente. En el caso de los ltros BP y BR, el
/
:/
n
iv
procedimiento es algo más complejo pero el método es, básicamente, el mismo.
tt
p
U
6.2. Creación de ltro BP a partir de un LP equivalente
h
En este caso, las condiciones del ltro son las siguientes:
Entre dos frecuencias
s = ωP 1
y
s = ωP 2 ,
Para todas las frecuencias menores de
a
la ganancia está situada entre 0 dB y
s = ωS1
y mayores que
s = ωS2 ,
−AM AX .
la ganancia es inferior
−AM IN .
Cualquier otra frecuencia tiene una ganancia entre
Electrónica Analógica
−AM AX
Ingeniería Superior en Electrónica
y
−AM IN .
15
Filtros analógicos
Tema 9
El primer paso que se debe hacer es convertir el ltro en simétrico pues es necesario que se cumpla
que
ωP 1 · ωP 2 = ωS1 · ωS2 .
Si esto no fuera así, hay que endurecer o suavizar las exigencias al ltro
para que esto se cumpla.
A continuación, denimos un ltro LP con las condiciones siguientes:
y
−AM IN
conservan su función en las bandas de paso y rechazo.
2. La banda de paso tiene como límite superior la frecuencia
y la de rechazo como límite inferior
ωES = ωEP ·
ωEP =
√
√
ωP 1 · ωP 2 = ωS1 · ωS2
ωS1 −ωS2
ωP 1 −ωP 2
3. Se normaliza el ltro LP y se obtiene la función de transferencia
HE (s)
ciones.
s2 +1
donde
BBP ·s
BBP =
ωP 2 −ωP 1
ωEP
M
a
4. Se realiza el cambio de la variable s por
con estas especica-
d
−AM AX
d
ri
1. Las ganancias
ωEP .
e
5. Se desnormaliza el ltro BP obtenido sabiendo que la frecuencia de normalización es
d
Debe tenerse en cuenta un hecho importante: El orden de un ltro BP es el doble del ltro LP
la
lu
.e
te
s
n
se
simétrico por lo que se necesitaría el doble de elementos reactivos para construirlo.
de
6.3. Creación de ltro BR a partir de un LP equivalente
p
o
alu
m
a
d
n
frecuencias menores que
m
ωP 1 < ωS1 < ωS2 < ωP 2 y dos límites de ganancia, −AM AX para
ωP 1 y mayores que ωP 2 , y −AM IN para frecuencias situadas entre ωS1 y
frecuencias características,
.u
de
caso anterior.
c
m
(Fig. 9). Debe notarse que los subíndices se distribuyen de una manera algo distinta a la del
C
ωS2
os
El procedimiento es muy parecido al del ltro BP teniendo en cuenta que se denen cuatro
ωP 1 · ωP 2 = ωS1 · ωS2 .
w
id
so
En primer lugar, se simetrizan los valores de las frecuencias haciendo que
w
w
Pa
ra
u
Si fuera necesario, endurecer o suavizar las especicaciones del ltro.
e
rs
A continuación, se sigue este procedimiento:
y
/
−AM AX
−AM IN
conservan su función en las bandas de paso y de rechazo
:/
iv
1. Las ganancias
tt
p
U
n
en la creación del ltro LP.
2. La banda de paso del ltro LP tiene como límite superior la frecuencia
ωS1 · ωS2
h
√
y la de rechazo como límite inferiorωES
= ωEP ·
ωEP =
√
ωP 1 · ωP 2 =
ωP 1 −ωP 2
ωS1 −ωS2
3. Se normaliza el ltro LP y se obtiene la función de transferencia
HE (s)
con estas especica-
ciones.
4. Se realiza el cambio de la variable s por
BBR ·s
donde
s2 +1
BBR =
ωP 2 −ωP 1
.
ωEP
Se desnormaliza el ltro BR obtenido sabiendo que la frecuencia de normalización es
ωEP . Como en
el caso anterior, el orden del ltro se dobla respecto al equivalente LP simétrico.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
16
Filtros analógicos
Tema 9
M
a
d
ri
d
Figura 13: Filtro pasivo en escalera.
Figura 14: Filtro RC en escalera con un cero y dos polos.
d
e
7. Implementación física de ltros
lu
.e
te
s
n
se
En los apartados anteriores, se aprendió a crear una función de transferencia
H (s) con una serie
la
de características deseadas relacionadas con la ganancia en las bandas de paso y de rechazo y lo
abrupto de la zona de transición entre ambas bandas.
de
El paso siguiente consiste en diseñar un circuito que cumpla estas especicaciones. Para ello,
p
m
alu
m
a
d
n
os
existen dos modos: Filtros pasivos y filtros activos. Comencemos por los primeros.
c
m
C
o
7.1. Filtros pasivos. Red RC en escalera
de
Un método inmediato para crear ltros consiste en el uso de redes RLC. Un ejemplo típico de
.u
ello es la red en escalera, cuya forma general es la de Fig. 13.
w
id
so
Aunque nada impide utilizar cualquier elemento reactivo en esta red, es costumbre evitar el uso
w
w
e
rs
Pa
ra
u
de inducciones pues su tolerancia es mucho mayor que las de las resistencias o capacidades. Además,
iv
su volumen es grande y no pueden insertarse en circuitos integrados. En consecuencia, la red anterior
/
:/
n
se convierte en una red RC en escalera.
de la red,
ZV K
tt
p
U
Esta red tiene las siguientes características generales. En primer lugar, todo par K de elementos
ZHK
y
suelen ser resistencia y condensador. En esta estructura, hay tantos polos
h
como condensadores existan en la red. Por el contrario, aparecerá un cero por cada condensador que
se encuentre en posición horizontal. Pongamos como ejemplo la red RC de Fig. 14.
Hay dos condensadores y uno de ellos está en posición horizontal por lo que la función de
transferencia tiene un cero y dos polos. Analizando el circuito, se llega a la siguiente conclusión:
1
VOU T (s)
=
·
VIN (s)
R1 ·C1 s2 +
s
1
R1 ·C1
+
1
R2 ·C1
+
1
R2 ·C2
s+
·
1
R1 ·C1 ·R2 ·C2
(8)
Lo cual nos permite identicar esta función como típica de un ltro paso de banda, con frecuencia
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
17
Filtros analógicos
Tema 9
central en
ω0 =
q
1
y factor Q calculable a partir de
R1 ·C1 ·R2 ·C2
1
R1 ·C1
+
1
R2 ·C1
+
1
. De este
R 2 · C2
modo, podríamos elegir adecuadamente los valores de estos elementos para conseguir la forma
deseada.
Lamentablemente, estos circuitos presentan una serie de desventajas. Enumerémoslas a continuación:
1. Ganancia inferior a 1. Al carecer de elementos activos, la ganancia nunca es superior a 1 sea
cual sea la frecuencia de trabajo.
2. Impedancia de entrada baja. En algunos casos, estos elementos ofrecen una impedancia de
d
ri
d
entrada muy baja y dependiente de la frecuencia de trabajo.
M
a
3. Impedancia de salida alta. Análogamente, la impedancia de salida de este circuito es del orden
de la resistencia más cercana al nudo de salida.
e
4. Factor Q. En general, con estos ltros no se suele conseguir un factor Q apropiado.
d
Esto nos lleva a pensar en estrategias alternativas basadas en ltros activos que incluyen ampli-
lu
.e
te
s
n
se
cadores operacionales. Sin embargo, debe recordarse que los ltros pasivos tienen otras ventajas.
la
En primer lugar, son sencillos de construir por lo que pueden utilizarse en circunstancias donde nos
de
podamos permitir un atenuación razonable en la banda de paso. Por otra parte, los ltros activos
tienen una frecuencia de trabajo limitada por el amplicador operacional. Por ello, los ltros pa-
c
m
m
o
alu
m
a
d
n
utilizarse circuitos de microondas.
p
os
sivos continúan utilizándose en aplicaciones de radiofrecuencia. Para frecuencias superiores deben
.u
de
C
7.2. Filtros activos. Conguraciones generales.
w
id
so
Los ltros activos se caracterizan por la presencia de uno o varios amplicadores operacionales.
w
w
Pa
ra
u
Éstos están realimentados casi exclusivamente con resistencias y capacidades, evitándose el uso de
e
rs
elementos inductivos cuya tolerancia es muy grande y que impiden la construcción en masa de ltros
/
iv
sea factible. Existen conguraciones básicas que ayudan a crear funciones como las descritas en el
tt
p
U
conguraciones:
:/
n
Apartado 3 con ventajas e inconvenientes adicionales. En estos apuntes, se tratarán las siguientes
h
Conguraciones inversoras y no inversoras
Conguraciones Sallen-Key
Conguraciones realimentadas por bucle múltiple
Conguraciones de immitancia generalizada
No son las únicas conguraciones posibles pero sí las más populares. Estas otras conguraciones
serían, por ejemplo, la de oset nulo, la conguración de Twin-T, la conguración de variables de
estado, la conguración Bi-quad, etc. Se remite al estudiante a textos especializados para conocerlas.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
18
Filtros analógicos
Tema 9
Figura 15: Filtro Sallen-Key generalizado.
d
ri
d
7.2.1. Conguraciones de polo simple
M
a
Estas conguraciones están basadas en las conguraciones inversora y no inversora de los amplicadores operacionales. Básicamente, se limitan a añadir uno o dos elementos capacitivos para
generar polos y ceros en la tensión de salida.
1+K
colocado tras la salida
d
e
Un ejemplo sencillo sería un amplicador no inversor con ganancia
de una red RC en escalera. Son circuitos extremadamente sencillos de concebir. Sin embargo, su
lu
.e
te
s
n
se
principal problema radica en el gran número de componentes necesarios ya que, en general, necesitan
la
más elementos que otras conguraciones que veremos a continuación.
de
Por otra parte, es necesario que siempre haya un camino de realimentación resistivo conectado
os
a la salida del amplicador operacional. Además, las características del ltro son muy sensibles a la
p
m
alu
m
a
d
n
variación de los valores de los elementos pasivos.
c
m
C
o
7.2.2. Conguraciones de Sallen-Key
.u
de
Esta red es extraordinariamente popular para conseguir ltros activos con muy pocos compo-
Zi son o bien resistencias,
A = 1 + K o simplemente
A
w
w
:/
Z1 +Z2
Z4
tt
p
n
U
VOU T (s)
=
VIN (s)
/
e
rs
si es un seguidor de tensión. Operando con este circuito, se puede deducir que:
iv
A=1
es un amplicador no inversor con ganancia
id
Pa
ra
u
o bien capacidades y
w
so
nentes. Su esquema básico es el mostrado en Fig. 15. En esta estructura,
A
+ (1 − A) · ZZ13 + 1 +
Seleccionando adecuadamente los valores de
Zi
y
A
Z1 ·Z2
Z3 ·Z4
(9)
se puede generar cualquier función que se
h
precie con uno o dos polos y ceros. Este tipo de ltros se suelen utilizar para ltros LP y HP.
La principal ventaja de esta conguración es que, con 4 o 6 elementos se consiguen funciones
de transferencia bastante buenas. Además, suelen tener una elevada impedancia de entrada y los
valores de las resistencias y condensadores suelen ser del mismo orden de magnitud.
Los inconvenientes de esta topología son los siguientes: En primer lugar, suelen ser ltros muy
sensibles a las variaciones de los valores de las resistencias y condensadores. Por otra parte, solo la
frecuencia central del ltro y el factor
QF
es fácilmente ajustable pues la ganancia del ltro depende
de ambos valores.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
19
Filtros analógicos
Tema 9
Figura 16: Filtro generalizado con realimentación de bucle múltiple.
d
ri
d
7.2.3. Conguraciones realimentadas con bucle múltiple
M
a
La estructura general de esta conguración se muestra en Fig. 16. En este circuito, puede
demostrarse que la ganancia es:
(10)
lu
.e
te
s
n
se
d
e
Z4 ·Z5
VOU T (s)
=
VIN (s)
Z3 ·Z4 + Z1 ·Z4 + Z1 ·Z3 + Z1 ·Z5
Estos circuitos son útiles para crear ltros LP, HP, BP y, con leves modicaciones, BR. La principal
la
ventaja de estas estructuras es la escasa sensibilidad del ltro a las variaciones de las resistencias
os
muy distintos.
p
de
y condensadores aunque, por desgracia, es necesario utilizar resistencias y condensadores de valores
c
m
m
o
alu
m
a
d
n
7.2.4. Conguraciones de immitancia generalizada
C
Immitancia es un concepto utilizado en electrónica para agrupar los conceptos de IMpedancia
.u
de
y adMITANCIA. Carece de sentido físico y es solo una abreviatura. En general, estos circuitos se
w
id
so
caracterizan por lo siguiente:
w
w
e
rs
Pa
ra
u
Dos amplicadores operacionales
/
:/
n
iv
Las entradas inversoras de los operacionales están cortocircuitadas
tt
p
U
La salida de uno de los amplicadores se bifurca teniendo una rama un condensador y otra
h
una resistencia que atacan las entradas del otro amplicador
La salida del amplicador 2, que suele ser la del propio ltro, realimenta la salida del amplicador 1.
En general, esta familia de conguraciones permite crear cualquier tipo de ltro (LP, HP, BP, BR y
AP). Otras ventajas son la posibilidad de ajuste de los parámetros del ltro, la baja sensibilidad a la
variación de los componentes, los altos valores de
QF
obtenibles, etc. Como inconveniente principal
se tiene que, lamentablemente, necesita dos amplicadores operacionales y al menos 7 elementos
pasivos.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
20
Filtros analógicos
Tema 9
Figura 17: Filtros LP reales con un único polo basados en conguraciones inversoras y no inversoras
d
e
M
a
d
ri
d
de un amplicador operacional.
de
la
7.3. Filtros activos LP
lu
.e
te
s
n
se
Figura 18: Filtros LP Sallen-Key.
Como se dijo anteriormente, es posible construir ltros LP con cualquiera de las cuatro congu-
p
m
alu
m
a
d
n
os
raciones mostradas en el apartado anterior. Examinemos algunas de ellas en los siguientes apartados.
c
m
C
o
7.3.1. Filtros LP con conguraciones inversoras y no inversoras
de
Figs. 17 muestran unos circuitos LP en los que la existencia de un condensador crea un ltro LP
.u
con un único polo. Obsérvese que siempre hay un camino de realimentación resistivo entre la salida
ωP = 1/RC y una
G = 1 + K en el segundo.
w
en el primer caso y
w
w
G = −K
e
rs
Pa
ra
u
frecuencias de valor
id
so
y el terminal inversor. En ambos casos, aparece un polo en
ganancia para bajas
Téngase en cuenta que este último caso no es sino una continuación de los ltros RC pasivos en
/
:/
iv
escalera. Así, se podría añadir un amplicador no inversor a cualquier circuito similar a los de Fig.
tt
p
U
n
13 y Fig. 14 y crear un ltro activo. Dada su simplicidad, no se seguirán estudiando en los apuntes
los ltros con conguración no inversora.
h
7.3.2. Filtro LP de Sallen-Key
Z1 y Z2 resistencias y Z3 y Z4 capacidades
en Fig. 15. Por otra parte, haremos el amplicador no inversor de ganancia 1 + K (Fig. 18). En esta
Esta conguración permite hacer un ltro LP haciendo
estructura, puede observarse que:
1
VOU T (s)
=
·
VIN (s)
R1 ·R2 ·C3 ·C4 s2 +
Electrónica Analógica
1+K
1
R1 C3
+
1
R 2 C3
−
K
R 2 C4
Ingeniería Superior en Electrónica
s+
·
1
R1 R2 C3 C4
(11)
21
Filtros analógicos
Tema 9
lu
.e
te
s
n
se
d
e
M
a
d
ri
d
Figura 19: Filtros LP con conguración de bucles de realimentación múltiples.
la
Figura 20: Filtros LP con conguración de immitancia generalizada.
QF
ω02 =
1
con ganancia en DC
R1 R2 C3 C4
1 + K,
y factor
del ltro ajustable si variamos K. Debe tenerse en cuenta que, si K es muy alto, el
os
de calidad
de
En consecuencia, la frecuencia de corte es
p
m
alu
m
a
d
n
circuito podría tener polos con parte real positiva e inestabilizarse.
c
m
C
o
7.3.3. Filtro LP con conguración de bucles de realimentación multiples
Z4
y
y capacitivas las impedancias
Z2
y
.u
Z3
id
w
del modelo general (Fig. 16). En este caso, puede verse que el circuito se convierte en el de Fig.
so
Z5
de
En este caso, haremos resistivas las impedanciasZ1 ,
w
w
e
rs
Pa
ra
u
19, siendo la función de transferencia la siguiente:
/
:/
n
iv
1
VOU T (s)
=−
·
VIN (s)
R1 ·R3 ·C2 ·C5 s2 +
tt
p
U
En este caso, la frecuencia del polo es
QF
+
1
R 3 C2
+
1
R4 C2
s+
·
1
R3 R4 C2 C5
1
y la ganancia en continua es
R3 R4 C2 C5
se modica variando
(12)
−R4/R1 .
El
R1 .
h
ltro es siempre estable y el factor
ω02 =
1
1
R1 C2
7.3.4. Filtro LP con conguración de immitancia generalizada
Un circuito típico es el mostrado en Fig. 20. En este circuito, el valor de la función de transferencia
es:
VOU T (s)
1
=
·
VIN (s)
R3 ·R7 ·C1 ·C4 s2 +
Con lo que la frecuencia del polo es
Electrónica Analógica
ω02 =
1+
1
·s
R1 C1
R6
R2
+
R6
R2 R3 R7 C1 C4
R6
y la ganancia en continua es
R2 R3 R7 C1 C4
Ingeniería Superior en Electrónica
(13)
1 + R2/R6 .
22
Filtros analógicos
Tema 9
M
a
d
ri
d
Figura 21: Filtros HP basado en conguración inversora.
d
e
Figura 22: Filtros HP basado Sallen-Key.
R1 .
de
la
7.4. Filtros activos HP
lu
.e
te
s
n
se
Estos ltros son estables y el factor de calidad se modica variando
p
os
Los ltros HP pueden construirse con cualquiera de las cuatro conguraciones propuestas.
m
o
alu
m
a
d
n
7.4.1. Filtros HP con conguraciones inversoras
c
m
C
Construir un ltro HP en esta conguración es relativamente sencillo. Así, basta con recolocar
w
w
w
id
e
rs
Pa
ra
u
so
7.4.2. Filtro HP de Sallen-Key
.u
de
la resistencia R y el condensador C de Fig. 17 y obtendríamos el circuito buscado (Fig. 21).
Esta conguración permite construir un ltro HP haciendo
Z1
y
Z2
capacidades y
Z3
y
Z4
/
iv
resistencias en Fig. 15. En otras palabras, exactamente al revés que en el ltro LP de Fig. 18.
:/
n
Haremos el amplicador no inversor de ganancia
A=1+K
(Fig. 22).
tt
p
U
En esta estructura, puede observarse que:
h
VOU T (s)
= (1 + K) ·
VIN (s)
s2 +
En consecuencia, la frecuencia de corte es
de calidad
QF
s2
1
R 4 C1
+
ω02 =
1
R4 C2
−
K
R 4 C1
s+
·
(14)
1
C1 C2 R3 R4
1
con ganancia en DC
C1 C2 R3 R4
1+K
y factor
del ltro ajustable. Como en el caso del ltro LP, un excesivo valor de K podría
desestabilizar el sistema.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
23
Filtros analógicos
Tema 9
d
e
M
a
d
ri
d
Figura 23: Filtros HP con conguración de bucles de realimentación múltiples.
lu
.e
te
s
n
se
Figura 24: Filtros HP con conguración de immitancia generalizada.
de
la
7.4.3. Filtro HP con conguración de bucles de realimentación multiples
os
Intercambiaremos las posiciones y condensadores del ltro LP de Fig. 19. Así, el circuito adquiere
p
m
alu
m
a
d
n
la forma de Fig. 23. Siendo la función de transferencia la siguiente:
id
c
m
1
C3
+
1
C4
+
C1
C4 C3
s+
·
(15)
1
R2 R5 C4 C3
1
y la ganancia en continua es
R2 R5 C4 C3
ω02 =
−C1/C4 .
w
En este caso, la frecuencia del polo es
so
s2
.u
de
C
o
VOU T (s)
C1
=− ·
VIN (s)
C 4 s2 +
w
w
e
rs
Pa
ra
u
7.4.4. Filtro HP con conguración de immitancia generalizada
/
tt
p
U
n
es:
:/
iv
Un circuito típico es el mostrado en Fig. 24. En este circuito, el valor de la función de transferencia
VOU T (s)
R2
= 1+
VIN (s)
R6
ω02 =
R8 .
h
Con lo que la frecuencia del polo es
factor
QF
del ltro se ajusta variando
·
s2
s2 + R81C7 ·s +
(16)
R2
R1 R4 R6 C3 C7
R2
y la ganancia en continua es
R1 R4 R6 C3 C7
1 + R2/R6 .
El
7.5. Filtros activos BP
Los ltros BP se construyen con las cuatro conguraciones propuestas salvo la Sallen-Key.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
24
Filtros analógicos
Tema 9
d
e
M
a
d
ri
d
Figura 25: Filtros BP basados en amplicador operacional inversor.
lu
.e
te
s
n
se
Figura 26: Filtros BP con conguración de bucles de realimentación múltiples.
de
la
7.5.1. Filtros BP con conguraciones inversoras y no inversoras
Es posible construir ltros de estas características con dos condensadores que combinan las
p
os
propiedades pasa-baja y pasa-alta. El dispositivo más sencillo de construir es el circuito inversor ya
m
o
alu
m
a
d
n
que necesita solo cuatro elementos pasivos (Fig. 25). La función de transferencia de este ltro es:
c
m
(17)
.u
de
C
VOU T (s)
1
s
=−
·
VIN (s)
R·C2 (s + 1/RC1 ) · (s + 1/kRC2 )
w
w
w
si ambos polos están separados por más de una década en la frecuencia. Sin embargo,
e
rs
−k
Pa
ra
u
banda es
id
so
Vemos que los polos que delimitan la banda de paso son 1/RC1 y 1/kRC2 . La ganancia de esta
−C1/C2 .
/
iv
si estuvieran muy juntos, la ganancia se aproximaría a
:/
tt
p
U
n
7.5.2. Filtro BP con conguración de bucles de realimentación múltiples
Para conseguir estos ltros, es necesario reemplazar
Z1 , Z2
y
Z3
por resistencias y
Z4
y
Z5
por
h
capacidades en Fig. 16. Así, el sistema se convierte en el de Fig. 26. A partir de esta estructura, se
puede deducir que la ganancia es:
VOU T (s)
1
=−
·
VIN (s)
R1 C4 s2 +
s
1
C3
+
1
C4
·
1
·s
R5
Con lo que la frecuencia central del ltro se establece en
QF
se calcula a partir de los condensadores y
Electrónica Analógica
+
1
R1
+
1
R2
1
R1
+
1
R2
ω02 =
·
1
R5 C3 C4
·
(18)
1
y el parámetro
R5 C3 C4
R5 .
Ingeniería Superior en Electrónica
25
Filtros analógicos
Tema 9
Filtros BR con conguración de immitancia generalizada.
Filtros BR con conguración de bucles de realimentación múltiples.
la
Figura 28:
lu
.e
te
s
n
se
d
e
M
a
d
ri
d
Figura 27:
de
7.5.3. Filtro BP con conguración de immitancia generalizada
p
m
alu
m
a
d
n
os
En este caso, la forma que adopta el ltro es la de Fig. 27, siendo la ganancia del ltro:
1
VOU T (s)
R2
=
·
1+
VIN (s)
R7 C8
R6
ω02 =
R2
.
R1 R4 R6 C3 C8
+
1
·s
R7 C8
s
+
R2
R1 R4 R6 C3 C8
(19)
.u
s2
w
w
e
rs
Pa
ra
u
7.6. Filtros activos BR
·
w
id
so
de
Con lo que
c
m
C
o
/
iv
Es posible onstruir ltros rechazo de banda utilizando versiones modicadas de los ltros BP. En
:/
n
muchos casos, el fundamento es restar a la señal original la función de transferencia del ltro BP.
tt
p
U
Veamos dos conguraciones que consiguen esto.
h
7.6.1. Filtro BR basado en conguración de realimentación por bucles múltiples
El circuito propuesto incorpora un par de nuevos elementos (Fig. 28). En este ltro, la función
de transferencia es:
R2
1
1
s2 + R51C4 + R51C3 − R
·
·s +
VOU T (s)
R6
R1 R5 C4 C3
6 R1 C4
=
·
VIN (s)
R6 + R2
s2 + R51C4 + R51C3 ·s + R1 R51C4 C3
Con lo que la frecuencia central del ltro es
Electrónica Analógica
ω02 =
(20)
1
.
R1 R5 C4 C3
Ingeniería Superior en Electrónica
26
Filtros analógicos
Tema 9
d
e
M
a
d
ri
d
Figura 29: Filtros BR con conguración de immitancia generalizada.
lu
.e
te
s
n
se
Figura 30: Filtro AP sencillo.
de
la
7.6.2. Filtro BR basado en conguración de immitancia generalizada
p
os
En este caso, la forma que adopta el ltro es la de Fig. 29. cuya ganancia es:
c
m
m
o
C
alu
m
a
d
n
1
2
2
s2 + R
·
− R51R8 ·s + R1 R4R
VOU T (s)
C7
R2 R7
R5 C3 C7
=
2
VIN (s)
s2 + C17 R17 − R18 ·s + R1 R4R
R5 C3 C7
R2
.
R1 R4 R5 C3 C7
w
w
w
id
e
rs
Pa
ra
u
so
7.7. Filtros activos AP
ω02 =
.u
de
Por lo que la frecuencia central de rechazo es
(21)
Para concluir este tema, se proponen dos ltros que pueden funcionar como pasa-todo con una
/
:/
iv
inversión de fase para altas y bajas frecuencias. Uno de ellos es el mostrado en Fig. 30. La función
tt
p
h
U
n
de trasferencia asociada a este circuito es:
s−
VOU T (s)
=
VIN (s)
s+
1
RC
1
RC
(22)
Esta función siempre tiene una ganancia igual a 1. Sin embargo, a bajas frecuencias es inversora
s=
Para implementar ltros de segundo orden con factor de calidad QF
pero a altas frecuencias no inversoras. La transición se produce en
1
.
RC
optimizable, debe recurrirse
a una conguración de immitancia generalizada como la propuesta en Fig. 31. En este circuito, la
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
27
Filtros analógicos
Tema 9
Figura 31: Filtros AP de segundo orden con conguración de immitancia.
d
ri
1
·s
R 8 C7
1
·s
R 8 C7
R2
R1 R4 R5 C3 C7
R2
R1 R4 R5 C3 C7
+
+
e
y se transformaría en:
(24)
lu
.e
te
s
n
se
s2 −
VOU T (s)
= 2
VIN (s)
s +
R2 = R5
d
Que se convierte en un ltro AP si hacemos
(23)
M
a
R2
2
·s +
s2 − R5 R
VOU T (s)
R8 C7
R1 R4 R5 C3 C7
= 2
2
VIN (s)
s + R81C7 ·s + R1 R4R
R5 C3 C7
d
función ganancia es fácil de calcular como:
la
Con esta estructura, naliza el capítulo dedicado al diseño de ltros activos. Debe tenerse en
de
cuenta que, si se consulta la literatura, puede encontrarse mucha más información sobre el asunto:
os
Nuevas estructuras, funciones, etc.
p
m
alu
m
a
d
n
Recuérdese también que estos circuitos no son válidos para frecuencias muy altas debido a las
características del amplicador operacional. Por otro lado, hay que intentar evitar que el ltro entre
c
m
.u
w
:/
/
w
w
id
e
rs
tt
p
h
U
n
iv
Pa
ra
u
so
de
C
o
en oscilación por medio de las técnicas que se describen en capítulo correspondiente a osciladores.
Electrónica Analógica
Ingeniería Superior en Electrónica
28