Desarrollo de aplicaciones financieras Objetivos Contenido Procedimiento ejemplos Bibliografía y Material de Apoyo Hoy en día es inminente la necesidad para los directivos empresariales, conocer las matemáticas financieras, operándolas con claridad y rapidez, con el fin de apoyar oportunamente en la toma de decisiones gerenciales. Por tal razón, esta asignatura ofrece al estudiante el aprendizaje para llegar a identificar las modalidades de las tasas de interés que operan en Colombia y manejar las transacciones de valores en dinero en el tiempo, bajo los diferentes esquemas que utiliza el Sistema Financiero Colombiano. [arriba] Objetivos Al finalizar la asignatura el estudiante estará en capacidad de: a. Identificar y operar las tasas de interés utilizadas en el Sistema Financiero Colombiano, que conlleva a la toma de decisiones de endeudamiento e inversión beneficiosas. b. Proyectar y operar flujos de caja en el tiempo para la toma de decisiones financieras óptimas. c. Calcular tasas reales de rendimiento para determinar tasas de rendimiento esperadas según condiciones de mercado y costos de oportunidad. d. Interpretar y operar indicadores de evaluación financiera de proyectos para concluir la viabilidad de un proyecto de inversión. [arriba] Contenido Unidad 1: Interés simple e interés compuesto. Al finalizar la unidad el estudiante estará en capacidad de identificar y realizar transacciones financieras con interés simple o compuesto, manejando el concepto de capitalización. Unidad 2: Clasificación de tasas de interés. Al finalizar la unidad el estudiante estará en capacidad de identificar, convertir y aplicar las tasas de interés fijas y variables a las transacciones financieras, tal y como lo hace el Sistema Financiero Colombiano. Unidad 3: Anualidades y tablas de amortización. Al finalizar la unidad el estudiante logrará calcular rentas, valores presentes y futuros de rentas y analizar proyecciones de pagos, de tal manera que podrá decidir cuando será conveniente para la empresa refinanciar obligaciones. Unidad 4: Criterios en la evaluación financiera de proyectos de inversión. Al terminar la unidad el estudiante estará en capacidad de operar y analizar los indicadores financieros básicos utilizados en la evaluación financiera de proyectos de inversión, a través de flujos de caja con gradientes, rentas y pagos únicos, que lo llevará a la toma de decisiones de proyectos de inversión. Bibliografía y Material de Apoyo ÁLVAREZ, Alberto. Matemáticas BACA Currea, Guillermo. Ingeniería BACA Currea, Guillermo. Matemáticas GUZMÁN Cruz, Aída. Modulo Matemáticas Financieras. Económica. Mc Fondo Financieras. Financieras, Graw Educativo Politécnico Universidad Panamericano. Gran Jorge Hill. Colombiano. Tadeo Lozano. GARCÍA Jaime A, Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita. Cuarta Edición, Pearson. MIRANDA Miranda Juan José, Gestión de Proyectos, MM Editores. INFANTE Villareal Arturo, Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, Editorial Norma. Periódicos: La República y Portafolio Ver Unidad 1 Unidad 1: Interés simple e interés compuesto Introducción Interés simple Interés compuesto Ejemplos de Interés Compuesto Ejercicios para desarrollar Introducción El valor del dinero, en el tiempo, es un elemento determinante en la gestión de los negocios, por lo tanto la adecuada medición y administración de los resultados facilita efectuar un análisis de la generación de valor, contando para ello, con varios instrumentos de organización y procesamiento de las variables transaccionales, que permiten precisar los efectos sobre la disponibilidad del efectivo y consecuentemente sobre la situación económica de las personas o empresas. Un instrumento que contribuye a plasmar e interpretar correctamente la información financiera es la línea de tiempo-valor (flujograma) y consiste en dibujar una línea horizontal, la cual representa el tiempo total transcurrido en la transacción, desde su inicio hasta su final. Ésta línea horizontal se fracciona identificando los momentos en los cuales se generan ingresos o egresos, representado: días, semanas, meses, trimestres, semestres, años o cualquier otro período determinado en la negociación. La diferencia existente entre el valor actual de la inversión o del crédito y el valor futuro se determina por el efecto causado por el interés acordado: El interés no es más que el dinero adicional, que resulta después de haber invertido y/o ahorrado un capital inicial. Es el precio por el uso del dinero durante un determinado tiempo, está dado en términos de unidad monetaria. De éste concepto de Interés se desprenden dos formas de calcularlo: interés simple e interés compuesto. 1.1 Interés simple Para la aplicación del interés simple, se debe tener en cuenta las siguientes variables: I = Monto de Interés VA = Capital Inicial VF = Saldo final obtenido después de transcurrido el tiempo de la inversión Ejemplo: Si se invierte hoy $1.000.000 y al cabo de un año se recibe $1.250.000, simplemente se determina que el interés ganado al invertir $1.000.000 es de $250.000. I = $1.250.000 - $1.000.000 = $250.000 Entonces se deduce que: I = VF - VA Pero no siempre las cosas son tan sencillas, no se puede esperar que transcurra el tiempo, para determinar el rendimiento de la inversión inicial, sino que se debe anticipar a éste valor resultante, identificando la tasa de interés que se reconoce por la transacción financiera. Ahora se agregan dos variables más para resolver el ejercicio: i = Tasa de interés (%) t = 1 año I=$ 250.000 VA = $1.000.000 VF = $1.250.000 Por lo tanto la formula a utilizar es: I = VA x i x t i =(I / VA) / t $250.000 = $1.000.000 x i x 1 i = 250.000 / 1.000.000 / 1 = 25% Lo que quiere decir que la inversión tuvo una tasa de interés del 25% anual: I = VA x i x t I = $1.000.000 x 0,25 x 1 I = $250.000 1.2 Interés compuesto En el interés compuesto existen los llamados períodos de capitalización (n), es decir, en el interés simple se pagan los intereses al finalizar la transacción, o sea, presenta un solo período de tiempo y un solo capital. En el interés compuesto existen períodos en donde los intereses que se generaron en el período inmediatamente anterior se suman al capital, conformándose nuevos capitales; a esto es lo que se llama capitalización o valor cronológico del dinero. Ejemplo: Teniendo como base el ejemplo de interés simple y se trabaja con interés compuesto, períodos de capitalización trimestrales, se encontrará: VA = $1.000.000 VF = ? n = 4 ( 4 períodos de capitalización en 1 año) i = 5.74% trimestral PERÍODO Interés Nuevos capitales Trim. 0 1 2 3 4 $1.000.000 1.000.000 * 0,0574 = 57.400 1.057.400 * 0,0574 = 60.694.76 1.118.094.76 * 0.0574 = 64.178.64 1.182.273.40 * 0.0574 = 67.682.40 $1.057.400 $1.118.094.76 $1.182.273.40 $1.250.135.89 En cada uno de los períodos, resultan nuevos capitales por la suma de los intereses generados. Esto en cambio, no sucede en el interés simple. Cuando existen numerosos períodos de capitalización sería muy tedioso realizar la tabla anterior; para esto existen las siguientes fórmulas: VF = VA (1 + i)n VF =Saldo final obtenido o valor futuro VA =Capital inicial o capital invertido o valor presente i =Tasa de interés n =Número de períodos de capitalización a que hay lugar durante en la transacción Siguiendo el mismo ejemplo: VF = 1.000.000 (1 + 0,0574)4 VF = $1.250.135.89 Ahora bien, se desea hacer lo contrario, es decir, obtener el valor actual conociendo el valor futuro, se aplica la siguiente formula: VA = VF (1 + i)-n VA = $1.250.135.89 x (1 + 0,0574)-4 VA = $1.000.000 Muchas veces para facilitar la interpretación de problemas de valores presentes y valores futuros, se usa la línea del tiempo. Para afianzar los conceptos se presentan a continuación, a manera de ejemplo, algunas transacciones que se realizan en la vida real. 1.2.1 Ejemplos de Interés Compuesto 1° Ejemplo. Pago de una Deuda La señora Betty Páez tiene una deuda, la cual deberá cancelar dentro de dos años y medio, por valor de $5'300.000, a una tasa de interés del 2.5% mensual. Si la señora desea cancelar la deuda hoy, ¿Cuánto debe pagar? La representación en la línea del tiempo es: VA = ? VF = $5.300.000 i = 2.5% mensual n = 30 meses Una observación importante es que si los períodos de capitalización están en meses, la tasa debe ir expresada en términos mensuales. Es decir, la magnitud del tiempo de capitalización, debe ser la misma magnitud de tiempo en que esté expresada la tasa. Identificadas las variables, el valor actual de la deuda se estima mediante la formula: VA = VF (1 + i)-n VA = 5.300.000 (1 + 0,025)-30 VA = $2.526.736,25 Valor a cancelar hoy $ 2.526.736,25 2° Ejemplo. Apertura de una Cuenta de Ahorros José Prieto va a depositar en una cuenta de ahorros hoy $500.000 y no hará ningún otro tipo de depósito o de retiro durante 2 años. Tiene las siguientes alternativas a. Banco de Bogotá: reconoce un rendimiento del 2% mensual b. Banco BBVA reconoce un rendimiento del 5% trimestral c. Bancafé: reconoce un rendimiento del 6% semestral d. Banco Colmena: reconoce un rendimiento del 4.5% bimestral ¿Cuál será la mejor opción? Para determinar la alternativa más conveniente es necesario estimar el valor futuro (VF) de cada posibilidad y la mayor será la mejor, desde el punto de vista de generación de valor. a. Banco de Bogotá Representación en la línea del tiempo: VA = $500.000 VF = ? n = 24 meses i = 2% mensual Estimación del valor futuro (VF): VF = VA (1 + i)n VF = 500.000 (1 + 0,02)24 VF = $ 804.218.62 Valor acumulado en 2 años capitalizable mensualmente $ 804.218.62 b. Banco BBVA Representación en la línea del tiempo: VA = $500.000 VF = ? n = 8 meses i = 5% mensual Estimación del valor futuro (VF): VF = VA (1 + i)n VF = 500.000 (1 + 0,05)8 VF = $738.727,72 Valor acumulado en 2 años capitalizable trimestralmente $738.727,72 c. Bancafé Representación en la línea del tiempo: VA = $500.000 VF = ? n = 4 semestres i = 6% semestral Estimación del valor futuro (VF): VF = VA (1 + i)n VF = 500.000 (1 + 0,06)4 VF = $ 631.238,48 Valor acumulado en 3 años capitalizable semestralmente $631.238,48 d. Banco Colmena Representación en la línea del tiempo: VA = $500.000 VF = ? n = 12 bimestres i = 4.5 % bimestral Estimación del valor futuro (VF): VF = VA (1 + i)n VF = 500.000 (1 + 0,045)12 VF = $ 847.940,72 Acumulado en 2 años capitalizable bimestral $847.940,72 Esta última es la mejor opción, ya que presenta el mayor valor futuro o monto acumulado de todas las alternativas del mercado. 1.2.2 Ejercicios de Interés Compuesto para desarrollar Ejercicio No. 1 Adquisición de un CDT (Certificado de Depósito a Término) Usted, trabajador incansable, logró invertir $15.000.000 en un CDT que paga el 2.5% trimestral. ¿Cuánto obtendrá al cabo de 1 año? Ejercicio No. 2 Adquisición de un CDT Si yo quiero invertir en un CDT que me ofrece una tasa del 1.5% trimestral y por cada trimestre que deje el dinero me incrementa el 0.2% y planeo que en 2 años, para viajar a Europa, debo reunir $30.000.000, ¿con cuánto debo abrir hoy este CDT? Ejercicio No. 3 Selección de la mejor opción de inversión Existen 3 alternativas de inversión sobre un capital disponible de $17.000.000, ¿cuál es la más rentable, sabiendo que el dinero se dejará invertido durante 8 meses? Alternativa 1: Invertir en una empresa productora de bienes, donde se proyecta una rentabilidad del 9%. Alternativa 2: Invertir en Banca Davivienda a través de un CDT pactado al 3.8% semestral. Alternativa 3: Prestarle el dinero a un amigo de toda la vida, que le garantiza que le devolverá $18.500.000. Nota: El riesgo es indiferente, solo interesa la mayor rentabilidad. Ejercicio No. 4 Cálculo Valor futuro sobre un depósito inicial Siete años después de la apertura de una cuenta de ahorros con $3.500.000, ganando un interés del 0.9% mensual, la tasa de interés fue modificada al 1% mensual, ¿cuánto habrá en la cuenta diez años después de la modificación de la tasa? Ejercicio No. 5 Variación de tasa de interés sobre un depósito de ahorro Si se depositó hoy $1.800.000 en una cuenta de ahorros. Por el 1er año se reconoce el 0.8% mensual, por el 2do año se reconoce el 1.17% bimestral y por el 3er año se reconocen el 5% semestral. ¿Cuánto se tendrá acumulado al cabo de los 3 años? Nota Adicional El manejo de valores presentes y valores futuros, se hace más interesante cuando sabemos, conocemos e identificamos los tipos de tasas que se manejan financieramente. Clasificación de tasas de interés En la vida cotidiana se realizan transacciones, cuyos resultados económicos, de una u otra forma se ven afectados por la forma como se pactan los costos financieros, influenciados principalmente por las tasas de interés. Es rutinario la celebración de contratos de crédito, apertura de una cuenta de ahorro, la suscripción de un pagaré o cualquier otro título valor y sin embargo no se conoce cómo manejar y calcular las tasas de interés. Cuando en una entidad financiera se escuchan afirmaciones como: "reconocemos interés por sus ahorros al 8%", o "se presta al 26%", o "por el CDT se reconoce el 7.5% Anual Trimestre Anticipado", no siempre se reconoce el tipo de tasa y mucho menos cómo se calcula y convierte para obtener el dato final, porque cada tasa tiene una expresión diferente y por ende tiene un resultado de rentabilidad o de costo financiero diferente. Existen tres maneras de expresar una tasa de interés asociada a cualquier transacción financiera y son: Tasa Efectiva Periódica Tasa Nominal Tasa Efectiva Anual Es importante anotar que para las matemáticas financieras la unidad de tiempo es el año. Tasa Efectiva Periódica En interés compuesto, para las transacciones financieras existen varios períodos de capitalización llamados "n" en un año. La tasa efectiva periódica es la que se paga o cobra por un "n" o por cada uno de los períodos de capitalización. Tasa Nominal Es una tasa expresada anualmente que multiplica la tasa efectiva periódica por el número de capitalizaciones que hay en un año. Tasa Efectiva Anual Es una tasa expresada también en año e incluye los intereses generados por la capitalización en 1 año. La diferencia radical con la nominal es que en la efectiva anual, incluye los intereses por la capitalización y la nómina anual no los incluye. Es importante, primero identificar cada una de estas tasas, luego convertirlas y por último aplicarlas: Tasa Efectiva Periódica Al afirmar que un préstamo cobran el 2.2% mensual, quiere decir que por cada mes cobran efectivamente el 2.2%. Toda tasa efectiva periódica siempre debe ir acompañada por su período correspondiente de capitalización. Ejemplos: 2,2% mensual 4,0% trimestral 9,0% semestral 3,5% bimestral El 4% trimestral quiere decir que por cada trimestre se cobra o se paga el 4% sobre un capital determinado y que la periodicidad de capitalización es cada trimestre, es decir, que los intereses generados en el período anterior se suman al capital originando un nuevo capital y así sucesivamente hasta que la transacción termine. Tasa Nominal La tasa nominal es la resultante de multiplicar la tasa efectiva periódica por el número de capitalizaciones que hay en un año. Considerando las mismas tasas del ejemplo anterior y realizando la multiplicación por el número de períodos al año, se obtendrá la tasa nominal: 2,2% mensual * 12 4,0% trimestral * 4 = = 26,40% Anual Mes Vencido 16,00% Anual Trimestre Vencido 9,0% semestral * 2 = 18,00% Anual Semestre Vencido 3,5% bimestral * 6 = 21,00% Anual Bimestre Vencido Como se observa, las tasas nominales van acompañadas de la periodicidad de capitalización y si se trata de tasas anticipadas o vencidas. Tasa vencida significa que los intereses se suman al capital, al finalizar cada período de capitalización. Tasa anticipada significa que los intereses se suman al inicio de cada período de capitalización. En el medio financiero, una tasa en donde no se anuncie que es anticipada, se toma siempre como vencida. Otra manera de identificar que la tasa es nominal es: 38,40% Convertible mensualmente ó 20,00% Capitalizable trimestralmente Al hablar de tasas vencidas se quiere decir que los intereses se suman al capital al finalizar cada período de capitalización mientras que con las tasas anticipadas se suman los intereses al inicio de cada período de capitalización. Nota: Suele suceder que quienes conocen y manejan a diario las tasas de interés, omiten la palabra anual, sin embargo, sí identifican que es una tasa nominal. Para efectos del curso se identificará la tasa nominal con la palabra anual y las otras que la acompañan. Tasa Efectiva Anual Las tasas efectivas anuales, que incluyen los intereses que se han generado por la capitalización durante un año, se reconocen porque van sin ninguna palabra que las acompañe, acompañadas de la frase efectiva anual o simplemente la palabra anual. Ejemplo: 38% 21,55% Efectivo anual Toda tasa efectiva periódica tiene su equivalente nominal y su equivalente efectiva anual y viceversa. Ejercicio de identificación de tasas Identificar las tasas en cada uno de los siguientes casos: (Nota: Para confrontar su respuesta, pase el puntero del mouse sobre el espacio blanco) 20% Convertible mensualmente Tasa Nominal 1,2% Mensual Tasa Efectiva periódica 1,5% Mes anticipado Tasa Efectiva periódica 22% Efectivo Anual 10% Anual Trimestre Anticipado (A.T.A.) 12% Anual Bimestre Vencido (A.B.V) 6% Semestral 17% Anual 6% Bimestre Vencido 18% Convertible Bimestre Anticipado 25% Anual Anticipado 25% Anual Vencido 21% A. M. V. 23% A. M. A. Tasa Efectiva Anual Tasa Nominal Tasa Nominal Tasa Efectiva periódica Tasa Efectiva Anual Tasa Efectiva Periódica Tasa Nominal Tasa Nominal Tasa Efectiva Anual Tasa Nominal Tasa Nominal 3,8% Bimestral Tasa Efectiva Periódica 4% Bimestral Anticipado Tasa Efectiva Periódica 16% Convertible Bimestre Vencido Tasa Nominal 11% A. S. V. 2% Mensual Tasa Nominal Tasa Efectiva Periódica 2.1 Conversión de Tasas El anterior gráfico, ayudará a comprender mejor el manejo que se deberá tener para la conversión de las tasas de interés: Es necesario identificar la tasa efectiva periódica (efectiva periódica periodicidad X). Estimación de la tasa nominal equivalente. Estimación de la tasa efectiva anual equivalente. Con la tasa efectiva anual, se podrá estimar cualquier tasa nominal, en periodicidad anticipada o vencida, según se requiera. En el gráfico interpretamos que la tasa efectiva anual es como la tasa neutra y que a partir de ésta podemos estimar la tasa que requiera, ya sea nominal o efectiva periódica. Hay que tener claro, para no caer en el error que comúnmente se comete, que si se negocia una tasa anual mes vencido y se quiere estimar la tasa efectiva periódica trimestral equivalente, no debe tomar la tasa nominal mensual y dividirla en cuatro ya que la periodicidad es diferente. Se ha de calcular la equivalente efectiva anual, estimar la tasa nominal trimestral y luego dividir ésta última por cuatro, para encontrar la tasa trimestral. Las siguientes cuatro (4) formulas de conversión ayudarán a clarificar el proceso de estimación de tasas de interés equivalentes (inicialmente analizaremos la conversión de tasas vencidas, posteriormente se estimarán las tasas anticipadas): 1. Para convertir una Tasa Nominal en Efectiva Anual ie = (1 + j/n)n - 1 donde: ie = Tasa Efectiva Anual j = Tasa nominal n= Número de periodos de capitalización durante la transacción financiera 2. Para convertir una Tasa Efectiva Anual en Nominal in = [(1 + ie)1/n - 1] . n donde: in = Tasa Nominal 3. Para convertir una Tasa Efectiva Anual en Efectiva Periódica ip = (1 + ie)1/n - 1 donde: ip = Tasa efectiva periódica 4. Para convertir una Tasa Nominal en Efectiva Periódica ip = ( j / n ) 2.1.1 Ejemplos de conversión de tasas 1. Convertir una tasa de 24% A.M.V en efectiva anual y luego identificamos que debemos aplicar siendo la fórmula (1). Identificar qué tasa es el 24% A. M. V tasa nominal. Seleccionar la formula o método para estimar: ie = (1 + j/n)n - 1 ie = (1 + 0,24/12)12 - 1 La capitalización se realiza mensualmente porque la misma tasa nominal lo dice y siempre se tiene como base 1 año. En un año hay 12 meses, por lo tanto el n es igual a 12. ie = 26,82% Efectivo Anual El 24% A. M. V. y 26,82% efectiva anual son tasas equivalentes. 2. Convertir el 31.08% efectivo anual a Anual Trimestre Vencido Como vamos a convertir una tasa efectiva anual en nominal, utilizamos la fórmula (2) Identificar qué tasa es el 31.08% tasa efectiva anual. Seleccionar la fórmula o método para estimar: in = [(1 + ie)1/n - 1].n in = [ (1 + 0,3108)1/4 - 1] . 4 in = 28% A. T. V El valor "n" es igual a 4 porque la nominal a que queremos llegar es trimestral y en un año hay 4 trimestres. El 31.08% efectivo anual es equivalente al 28% A.T.V. 3. Convertir el 25% en efectiva bimestral Identificar qué tasa es el 25% tasa efectiva anual. Seleccionar la fórmula o método para estimar: ip = (1 + ie)1/n - 1 ip = (1 + 0,25)1/6 - 1 ip = 3,79% bimestral El 25% es equivalente al 3,79% bimestral 4. Convertir el 22.73% A. M. V en una tasa mensual Identificar qué tasa es el 22.73% A.M.V. Tasa Nominal. Seleccionar la formula o método para estimar: ip = ( j / n ) ip = 0,2273 / 12 ip = 1,89% mensual El 22.73% A.M.V. es equivalente al 1,89% mensual 2.1.2 Ejercicios para desarrollar de conversión de tasas 1. Hallar la tasa efectiva anual equivalente al 18% A.B.V. 2. Convertir el 16% A.B.V en efectiva periódica bimestral 3. Convertir el 2% mensual en efectiva semestral 4. Convertir el 3% bimestral en efectiva trimestral 5. Convertir el 20% A.B.V. en efectiva anual 6. Convertir el 28% en efectivo periódico trimestral 2.2 Ejemplos prácticos de valor futuro con conversión de tasas Es muy importante anotar que para trasladar una tasa a fórmulas de valor presente o valor futuro, tiene que estar expresada en forma efectiva periódica. Ejemplo No. 1 Ahorro y Financiación Seis años después de haber abierto una cuenta de ahorros con $2.650.000, ganando un interés del 18% A.T.V, la tasa fue modificada al 22,5% efectivo anual, manteniéndose las capitalizaciones trimestrales ¿cuánto habrá en la cuenta tres años después de haber sido cambiada la tasa? Durante los primeros 6 años o sea durante los 24 trimestres iniciales, la entidad financiera donde se abrió la cuenta de ahorros, pagó el 18% ATV, esta tasa es una Nominal y se debe estimar la efectiva periódica trimestral para aplicarla en la fórmula; entonces: ip = ( j/n ) ip = 18% / 4 ip = 4,5% trimestral Para estimar el valor al momento de la modificación de la tasa de interés, se debe aplicar la siguiente formula: VF = VA x (1 + ip)n VF = 2.650.000 (1 + 0,045)24 VF = $7.621.436,66 Valor final obtenido al sexto año $ 7.621.436,66 El valor final obtenido al cabo de los seis años se convierte en el "VA" o capital para averiguar el saldo final, tres años después de modificada la tasa de interés. La tasa dada es del 22,5% Efectiva Anual, se debe estimar su equivalente efectiva periódica trimestral, para así poder determinar el valor del saldo en la cuenta de ahorros, transcurridos los tres años después de la modificación de la tasa de interés: ip = (1 + ie)1/n - 1 ip = (1 + 0,0225 )1/4 - 1 ip = 5,2 % trimestral Tasa que trasladaremos a la fórmula VF = VA (1 + ip)n VF = 7.621.436,66 (1 + 0,052)12 VF = $14.003.149,40 Valor final, tres años después de que la tasa fue cambiada $ 14.003.149.40. Ejemplo No. 2 Ahorro Si hoy se abre una cuenta de ahorros, en el Banco Agrario con $900.000, con una tasa de interés del 2% mensual durante los 2 primeros años; por los 2 años siguientes me pagan el 25.5% A.M.V ¿Cuánto dinero obtendré al cabo de estos 4 años? VF = 900.000 (1 + 0,02)24 = $1.447.593,52 Para la segunda parte del ejercicio la tasa es 25,5% A.M.V, una tasa nominal, se divide en 12 para conseguir la efectiva periódica mensual y ésta trasladarla a la fórmula. ip = 25,5% / 12 = 2,13% mensual VF = 1.447.593,52 (1 + 0,0213)24 VF = $2.400.637,56 Valor total final al cabo de los 4 años $2.400.637.56 Ejercicio No. 3 Comparación de tasas Si el Banco Interbanco presta $5.000.000 a una tasa del 31% A.M.V a 36 meses y el Banco Ganadero presta al 32.5% A.S.V. a 36 meses, pagadero semestral. ¿Qué opción es la más conveniente para solicitar un crédito? Hay dos maneras de resolver este problema: Una es convertir las tasas a efectivas anuales, compararlas y escoger la más barata, dado que se ésta solicitando un crédito. La segunda es llevar los $5.000.000 al correspondiente valor futuro y escoger el valor futuro más bajo. Conversión de tasas a efectivas anuales: Banco Interbanco : 31% A.M.V Efectiva Anual ie = (1 + j/n)n - 1 ie = (1 + 0,31/12)12 - 1 ie = 35,81% Efectivo Anual Banco Ganadero: 32.5% A.S.V Efectiva Anual ie = (1 + 0,325/2)2 - 1 ie = 35,14% Efectivo Anual Es más barata la tasa del Banco Ganadero, por lo tanto es la opción más conveniente. La otra forma llevar los $5.000.000 a Valor Futuro: Banco VA = 5.000.000 Interbanco: n = 36 meses i = 31% A.M.V. 2,58% mensual VF = ? VF = 5.000.000 (1 + 0,0258)36 VF = $12.509.127.37 Valor Futuro Banco 32,5% A.S.V. 32,5 / 2 = 16,25% Ganadero: semestral VF = 5.000.000 (1 + 0,1625)6 VF = $12.340.358,42 Valor Futuro La opción del Banco Ganadero resulta más barata que el Banco Interbanco 2.3 Tasas utilizadas en el sector financiero colombiano como base de liquidación 2.3.1 Tasa fija La tasa fija es la tasa que se paga o se cobra sin variarla durante el tiempo que dure la transacción. Ejemplos: Si se adquiere un CDT por 6 meses al 20%, se firma y se sella por las partes. Durante esos 6 meses no podrán modificar la tasa. Si se contrata una deuda al 3,2% mensual durante 36 meses; esta tasa cobrada al cliente no se podrá subir, ni bajar, hasta que la transacción finalice, a menos que acuerden entre las partes un cambio de términos. 2.3.2 Tasa variable La Tasa Variable, como lo dice la palabra, varía durante el tiempo que dure la transacción financiera. Varía dependiendo de las condiciones de mercado o condiciones económicas del momento. Las tasas variables más conocidas y utilizadas en el medio financiero colombiano son la DTF (Tasa promedio ponderada de los Depósitos a Término Fijo) y la TCC, (Tasa de Captación de Corporaciones Financieras) de las cuales se hablará en detalle más adelante. Para entender mejor la utilización de las tasas fijas y variables, se hará una pequeña introducción de las operaciones financieras. Una institución financiera (Banca Comercial, Banca Hipotecaria, Corporación Financiera, Compañías de Financiamiento Comercial y compañías de Leasing), realiza operaciones pasivas y operaciones activas de crédito. Las operaciones pasivas hacen referencia a la captación de dinero y las operaciones activas corresponden a la colocación de recursos (crédito). Cuando se habla de tasa pasiva, se hace referencia a la tasa de interés que paga la institución financiera a los clientes que dejaron su dinero allí. Cuando se habla de una tasa activa, se hace referencia a la tasa que pagan los clientes por los créditos a la institución financiera. La diferencia entre la tasa de colocación y la tasa de captación (tasa activa - tasa pasiva), se conoce como Margen de Intermediación o Spread. Es de anotar que la denominación del Spread siempre está en términos nominales, por ejemplo: 28% A.T.A +1, el Spread de 1, es 1% A.T.A, y siempre se suma a la tasa anual nominal, correspondiente para hacer las conversiones requeridas. TCC (Tasa de Captación de las Corporaciones Financieras): Es la tasa promedio de captación a término de 90 días que realizan las Corporaciones Financieras. El Banco de la República recibe los reportes de estas operaciones realizadas de viernes a jueves y emite el dato. Esta tasa varía cada semana, todos los lunes aparecen en los periódicos una nueva TCC. DTF (Tasa promedio ponderada de los Depósitos a Término Fijo): La única diferencia con la TCC, es que la DTF promedia a todas las instituciones financieras. En el sistema financiero se acostumbra a trabajar tanto la DTF como la TCC en términos de anual trimestre anticipado para ello entonces se debe de tener en cuenta las siguientes 2 fórmulas, para trabajarlas constantemente: Convertir de Nominal a Anual Anticipada a Efectiva Anual ie = ( 1 - j/n)-n - 1 Convertir de Efectiva Anual a Nominal Anticipada in = [1 - (1 + ie)-1/n] . n 2.3.3. Ejemplos de Tasa Variable y Tasa Fija utilizadas en el sistema financiero Una institución financiera al captar recursos a término, lo hace a través del título valor denominado certificado de depósito a término CDT, entre otras alternativas. El vencimiento del CDT oscila entre 1 mes y 1,5 años y puede negociarse a tasa de interés fija o variable. A medida que la transacción se realice a más corto plazo se pacta con tasa fija y si la transacción se hace a largo plazo, se negocia con tasa variable, es decir asociada al movimiento de las tasas en el mercado. Ejemplos 1. Un cliente de una institución financiera, adquirió un CDT por $3.000.000 a 6 meses, conviniendo los intereses vencidos a una tasa fija del 19,09% anual semestral vencido. ¿Cuánto dinero obtendrá este cliente? VA = $3.000.000 n = 1 semestre VF = ? i = 19,09 % A.S.V. 9,55% semestral VF = 3.000.000 ( 1 + 0,0955)1 VF = $3.286.500 El cliente obtendrá $ 3.286.500 seis meses después de la apertura del CDT 2. Un cliente abre un CDT por $3.000.000 al TCC + 1, a 6 meses, al día de hacer la liquidación la TCC de esa semana era 12% A.T.A. ¿Cuánto dinero obtendrá el cliente? 12% A. T. A. + 1 = 13% A. T. A 13% A. T. A. Efectivo Anual ie = (1 - j/n)-n - 1 ie = (1 - 0,13/4)-4 - 1 ie = 14,13% Efectivo Anual 14,13% Efectivo Anual Periódica Semestral ip = (1 + ie)1/n - 1 ip = (1 + 0,1413)1/2 - 1 ip = 6,83% Semestral VF = 3.000.000 (1 + 0,0683)1 VF = $3.204.900 El cliente obtendrá $ 3.204.900 seis meses después de la apertura del CDT 3. Si un banco otorga créditos al TCC + 11 y una compañía de financiamiento comercial presta al 3,2% mensual. ¿Qué opción es más barata hoy, para un cliente? TCC = 27.5% A. T. A. Banco: TCC + 11 27,5% + 11 = 38,5% A. T. A 38.5% A. T. A Efectiva anual ie = (1 - j/n)-n - 1 ie = (1 - 0,385 / 4)-4 - 1 ie = 49,90 % Efectivo Anual 49.90% Efectivo Anual Mensual Efectiva Periódica ip = (1 + ie)1 /n - 1 ip = (1 + 0,4990)1/12 - 1 ip = 3.43% mensual Financiamiento comercial: 3.2 % mes. La opción más conveniente para un cliente que requiere recursos es la compañía de financiamiento comercial al 3.2 % mensual. 2.3.4. Ejercicios de Tasa Fija y Variable para desarrollar Ejercicio No. 1 Si el Banco Tequendama paga por invertir en su entidad la DTF + 1 y el Banco Granahorrar paga el 0,9% mensual. ¿En cuál entidad financiera es más conveniente colocar el dinero? Liquidar con la DTF A. T. A vigente Ejercicio No. 2 Si la TCC es el 7.65% A.T.A y la tasa activa de la Corporación Financiera Internacional es el 1,34% mensual. ¿Cuántos puntos adicionales a la TCC están cobrando al cliente? Ejercicio No. 3 Si la DTF es el 8% A.T.A. y la tasa pasiva de Leasing Colmena es el 0,9% mensual. ¿Cuántos puntos adicionales a la DTF está pagando esta compañía de Leasing? Ejercicio No. 4 Si el Banco Mercantil presta al TCC + 10. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando hoy?. (Trabajar con TCC vigente). Ejercicio No. 5 Si la Financiera Crecer, presta al DTF + 9. ¿Qué tasa efectiva anual le está cobrando hoy?. (Trabajar con la DTF vigente). Ejercicio No. 6 Cuál de las 2 instituciones financieras siguientes está cobrando más barato hoy, al trabajar con tasas activas de: Banco Davivienda TCC + 9.5 Megabanco 1.5% mensual Trabajar con la TCC vigente Ejercicio No. 7 ¿Cuál institución bancaria está cobrando más caro hoy? Banco BBV: DTF + 8 Bancolombia: 21% Trabajar con DTF vigente Ejercicio No. 8 ¿Cuál institución financiera está pagando más por los ahorros? Financiera Andina: DTF + 1 Financiera Compartir: 2% trimestral Trabajar con DTF vigente 2.3.5 Tasa Deflactada o Tasa Real En el momento de invertir recursos, es necesario realizar un análisis teniendo en cuenta que la inflación afecta la tasa de rentabilidad, deseándose siempre que la inflación sea inferior a la tasa esperada de rentabilidad. Para calcular la rentabilidad total de una inversión es necesario tener en cuenta la siguiente formula: it = (f + iR)+ (f X iR) Donde: It = Rentabilidad total de proyecto de inversión F = Inflación, esta tasa siempre se da en términos de tasa efectiva anual. iR = Tasa real (tasa descontada la inflación) Para obtener la tasa real de la inversión, simplemente despejamos la fórmula antes enunciada, quedando así: iR = (it - f)/(1+ f) Ejemplos: 1) Calcular la rentabilidad real que gana el inversionista, si la inflación del año es del 18% y se sabe que la rentabilidad fue del 27.2%. iR = (27,2% - 18%)/(1 + 18%) iR = 7.8% Efectivo anual 2) Suponiendo que una persona tiene un préstamo del IPC + 4, ¿cuál será el spread si se cambia a otro plan cuya tasa es la DTF + 4; conociéndose que el IPC es del 8% y la DTF del 18.67% A.T.A.? IPC + 4 = DTF + 4 Utilizamos la fórmula de tasa combinada: it =(i1 +i2) +( i1 x i2) it = (0,08+0,04)+ (0,08 x 0,04) it = 12,32% E.A. eqivalente al 11,45% A.T.A. 11,45% A.T.A. = DTF + X 11,45% A.T.A. = 18,67% + X X = - 7,22 A.T.A. 3) Si se tiene una DTF del 7.46% A.T.A. y un IPC del 6% efectivo anual, se requiere conocer cuántos puntos adicionales hay que sumarle a la DTF, de tal manera que sea equivalente al IPC + 5. IPC + 5 it = (0,06+0,05)+ (0,06 x 0,05) it =11.30% equivalente al 10.56% A.T.A. = DTF + X 10.56% A.T.A. = 7.46% A.T.A. + X X = 3.10 puntos adicionales a la DTF Anualidades vencidas Una anualidad hace referencia a una serie de pagos iguales en intervalos de tiempo iguales. En esta unidad, se tratará el tema de Anualidades Ciertas y Ordinarias, cuyos pagos son efectuados al final de cada intervalo de tiempo, por ejemplo: Pago de rentas mensuales Pagos iguales mensuales de créditos Pagos iguales trimestrales de créditos empresariales Pagos iguales de intereses sobre bonos 3.1 Valor presente de una anualidad Cuando se conocen los pagos iguales a intervalos de tiempo iguales y se podrá estimar su equivalente a valores de hoy; a esta operación se le llama obtener el valor presente de la anualidad. Por ejemplo, si se considera una anualidad de $1.500.000 trimestrales durante 1 año al 6% trimestral. Se necesita hallar el valor presente de esta anualidad: Para hallar el valor presente común y corriente, necesitamos trasladar cada uno de los $1.500.000 al momento 0, como se indica en la gráfica: Valor presente (Anualidad): VP = A = 1.500.000(1+0,06)-1 + 1.500.000(1+0,06)-2 + 1.500.000(1+0,06)-3 + 1.500.000(1+0.06)-4 VP = A = $5.197.658,42 En este ejemplo es muy fácil calcular el valor presente, pero en caso de que no fueran tres trimestres sino 36, 48, 60 o muchos más, sería muy difícil y largo calcularlo como se realizó anteriormente. Para facilitar la estimación se podrá utilizar la siguiente fórmula: Fórmula para hallar el Valor Presente de una Anualidad: A = Valor presente de la anualidad R = Renta, pago o cuota i = Tasa de interés efectiva periódica n = Número de pagos Al replantear el ejemplo anterior, aplicando la fórmula, se tendrá: A = $5.197.658,42 El valor presente de la anualidad es $ 5.197.658,42 3.2 Valor futuro de una anualidad Para calcular el valor futuro de la anualidad, es decir, para determinar cual es el valor equivalente a la serie de pagos, es necesario llevar los valores regulares trimestrales al final del cuarto trimestre, considerando la misma tasa de interés (6%). Valor Futuro = VF = S VF = S = 1.500.000(1+0,06)3 + 1.500.000(1+0,06)2 + 1.500.000(1+0,06)1 + 1.500.000 VF = S = $6.561.924 Se podrá utilizar, para simplificar la estimación, la siguiente fórmula: Fórmula para hallar el Valor Futuro de una Anualidad: S = Valor futuro de la anualidad R = Renta, pago o cuota i = Tasa de interés efectiva periódica n = Número de pagos En el ejemplo: S = $6.561.924 El valor futuro de la anualidad es $ 6.561.924 3.3 Pagos, anualidad o cuotas Es importante recordar: Anualidad es una serie de pagos iguales en un período determinado a intervalo de tiempos iguales. Que en la anualidad la tasa de interés pactada se mantiene constante. VP es el valor presente de la anualidad, al igual que "C" (capital) y "A" (anualidad). Cuando se solicita un crédito y se debe pagar cuotas iguales anuales de determinado valor, eso es una anualidad. Continuando con el ejercicio anterior: Suponga que el VP = C = A es el valor del préstamo aprobado a un año o valor del capital recibido como préstamo, en cuotas trimestrales y al 6%. Se debe estimar el valor de la cuota a pagar en cada período (R): A = $5.197.658,42 R=? n=4 i = 6% trimestrales Para hallar el valor del pago se utiliza la siguiente fórmula: Fórmula para hallar el valor de la cuota conociendo el valor presente: RA = Renta, pago periódico o cuota A = Valor presente de la anualidad i = Tasa de interés efectiva periódica n = Número de pagos En el ejemplo: RA = $1.500.000 $ 1.500.000, es el valor del pago a realizar trimestralmente, finalizando cada período, por un crédito otorgado de $ $ 5.197.658,42 Ahora bien, si se conoce el Valor Futuro de la anualidad y se desea estimar el valor del pago, se aplica la siguiente fórmula: Fórmula para hallar el Valor de la Anualidad conociendo el Valor Futuro: RS = Renta, anualidad, pago o cuota S = Valor futuro de la anualidad i = Tasa de interés efectiva periódica n = Número de pagos En el ejemplo: RS = $1.500.000 $ 1.500.000, es el valor del pago a realizar trimestralmente, finalizando cada período, por un crédito otorgado de $ $ 5.197.658,42 y con valor futuro de $ 6.561.924 3.3.1 Ejemplos de anualidades Ejemplo No. 1 Hallar el valor presente y valor futuro de una cuota de $2.275.000, cada 6 meses; durante 8 años y medio, al 18% anual semestre vencido A=? S=? R = $2.275.000 n = 17 semestres i = 18% A.S.V. 9% semestral Valor presente de la anualidad: A = $19.436.761,37 Valor futuro de la anualidad: S = $84.115.117,87 El valor actual de la anualidad es de $ 19.436.761,37 y el valor futuro de la anualidad es de $84.115.117,87 Ejemplo No. 2 Al Sr. Pérez un banco le presta $10.000.000 y las condiciones del crédito son: Tasa de interés = 18.5% efectivo anual Pagadero en cuotas trimestrales iguales durante un año y medio ¿Cuál es el valor de la cuota? A = $10.000.000 n = 6 trimestres i = 18,5% R=? Hay que obtener la tasa trimestral 18,5% efectivo anual Efectivo periódico trimestral ip = (1 + 0,185)1/4 - 1 ip = 4,34% trimestral Entonces la cuota será: R = $1.928.786,45 El valor de la cuota trimestral de $ 1.928.786,45 3.3.2 Ejercicios de anualidades para desarrollar Ejercicio No. 1 En los últimos 10 años, Jorge ha depositado $500.000 al final de cada año en una cuenta de ahorros que le paga el 10% ¿Cuánto habrá en la cuenta inmediatamente después de haber realizado el décimo depósito? Ejercicio No. 2 El día de hoy Mauricio realiza un negocio con la Fiduciaria Alianza, se compromete a pagar $2.500.000 anuales durante 15 años, con una tasa de interés de 27% anual. ¿Cuál es el valor hoy de la anualidad? Ejercicio No. 3 La compañía de T.V. Telejuntas Ltda. tiene en oferta una máquina de vídeo, la cual se entrega al cliente con $200.000 de cuota inicial y $25.000 mensuales por los próximos 12 meses. Si Telejuntas Ltda. cobra un interés del 18% A.M.V., ¿Cuánto vale de contado esta máquina de vídeo? Ejercicio No. 4 El señor Ramírez, buscando un futuro económico feliz, deposita cada seis meses, en un fondo $2.000.000. Este fondo paga el 9% A.S.V. El primer depósito lo hizo el Sr. Ramírez cuando cumplió 40 años y el último lo realizó cuando cumplió 68 años. El dinero permaneció en la cuenta y lo retiró cuando cumplió 75 años. ¿Cuánto dinero recibió el señor Ramírez? Ejercicio No. 5 Para liquidar una deuda, con un interés del 25% convertible mensualmente, se acuerda hacer pagos de $500.000, al final de cada mes por los próximos 17 meses y además un pago final al mes 18 por $925.000. ¿Cuál es el valor presente de esta deuda? Ejercicio No. 6 Para financiar la compra vehículo por $25.000.000, se realizó un sondeo de ofertas en el sector financiero y éstos fueron los resultados: Banco Caja Social: presta al 27%, con pagos iguales mensuales durante 3 años. Banco Agrario: presta al 25% A.T.A, pagadero en cuotas iguales mensuales durante 3 años. Compañía de Financiamiento Comercial Suleasing: presta al 2.3% mensual, durante 36 meses, pagos iguales mensuales. Compañía de Financiamiento Comercial Sufinanciamiento: lo arrienda al 2.1% mensual y un pago final del 10%, pagadero durante 36 meses. ¿Qué opción será mejor?. Realizar el ejercicio comparando tasas de interés y valor de cuotas. Ejercicio No. 7 Un padre de familia debe reunir para dentro de cuatro años $36.000.000; con este fin abre una cuenta de ahorros con $8.000.000, proponiéndose en adelante consignar cuotas iguales. El interés reconocido es del 9.5%. Hallar el valor de la cuota mensual a depositar (R), de tal manera que el padre de familia cumpla su objetivo de reunir los $36.000.000. Ejercicio No. 8 Una persona deposita $600.000 mensuales, durante 4 años, en una entidad financiera que reconoce un interés del 18% ATV. Al cabo de ese tiempo, empieza a retirar la suma de $600.000 mensuales durante 4 años. ¿Cuál es el saldo que le debe quedar en su cuenta al final de los 8 años? Ejercicio No. 9 Para cancelar una deuda de $15.000.000, se hacen pagos mensuales de $500.000, tanto tiempo como sea necesario. La tasa de financiación es del 36%. Se pregunta: a) ¿Cuántos pagos completos de $500.000 se deben realizar? b) ¿Con qué pago adicional hecho en la fecha del último pago de $500.000 cancelará la deuda? Ejercicio No. 10 El Señor Pérez realiza una serie de depósitos en un fondo de ahorros donde le reconocen las siguientes tasas de interés: El primer año el 14%, el segundo año el 14.5% A.S.V. y de ahí en adelante el 0.98% mensual. Durante el primer año realizó depósitos iguales bimestrales de $400.000; durante el segundo año realizó depósitos iguales trimestrales de $800.000. Retira el dinero acumulado al finalizar el cuarto año. a) ¿Cuál es el valor acumulado al final del cuarto año b) ¿Cuál el valor equivalente en el momento cero? 3.4 Tablas de amortización y saldos Una obligación que causa intereses se liquida mediante una serie de pagos. El saldo de la obligación (capital insoluto) justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún falta por hacer. Amortizar es reducir el saldo de una obligación. Una tabla de amortización y saldos va actualizando con cada pago (anualidad) que se realiza, indicando cuánto amortiza a capital, cuánto paga por interés y cuál es el saldo de la deuda, descontando del saldo anterior la amortización a capital de éste último pago. Períodos Valor Cuota Intereses Amortización de Capital 0 1 No. de la cuota o periodo Saldo $5.000.000 505.313,61 Valor de la cuota 155.000 350.313,65 Saldo anterior por la tasa de Parte de la interés cuota que baja pactada el saldo del (efectiva préstamo periódica) 4.649.686,39 Saldo anterior menos la amortización de capital Ejemplo: Para una deuda de $5.000.000 al 3,1% mensual, pagadera en cuotas iguales mensuales durante 1 año, calcular la cuota y elaborar la Tabla de Amortización y Saldos. VA = $5.000.000 R=? n = 12 i = 3,1% mensual El valor de la cuota mensual es: R = $505.313,61 TABLA DE AMORTIZACIÓN Y SALDOS Períodos Valor Cuota Interés Amortización de Capital 0 Saldo $5.000.000 1 505.313,61 155.000,00 350.313,65 4.649.686,39 2 505.313,61 144.140,28 361.173,33 4.288.513,06 3 505.313,61 132.943,90 372.369,71 3.916.143,35 4 505.313,61 121.400,44 383.913,17 3.532.230,19 5 505.313,61 109.499,14 395.814,47 3.136.415,71 6 505.313,61 97.228,89 408.084,72 2.728.330,99 7 505.313,61 84.578,26 420.735,35 2.307.595,64 8 505.313,61 71.535,46 433.778,15 1.873.817,50 9 505.313,61 58.088,34 447.225,27 1.426.592,23 10 505.313,61 44.224,36 461.089,25 964.502,98 11 505.313,61 29.930,59 475.383,02 490.119,96 12 505.313,61 15.193,72 490.119,82 0 Recordar que: La columna de períodos corresponde a la cantidad de pagos (n) que hay en la transacción financiera, iniciando por el momento cero (0) en el cual se desembolsa el crédito. La columna de cuota corresponde al pago o la anualidad, que siempre es la misma. La columna de interés corresponde a la parte de la cuota que se paga como costo financiero y se obtiene de multiplicar el saldo del período inmediatamente anterior por la tasa de interés pacta. La columna amortización de capital se coloca la parte de la cuota que va a amortizar el capital y resulta de restar al valor de la cuota, el pago de interés, correspondiente al periodo. Por último, la columna de saldo es el valor de la deuda que hace falta por pagar en ese momento, y resulta de restarle al saldo del período inmediatamente anterior la parte de la cuota que amortiza a capital. 3.4.1 Ejemplo práctico de tablas de amortización y saldos Un comerciante de repuestos pide un préstamo bancario por $20.000.000 para remodelar su almacén y acuerda amortizar su deuda al 38% efectivo anual, mediante pagos iguales semestrales durante los próximos 4 años. Hallar: a. El valor del pago semestral (R) b. Saldo (capital insoluto) justamente después del 3er pago. A = $20.000.000 n = 8 semestres i = 38% 17.47 % semestre ip = (1 + 0,38)1/2 - 1 = 17.47% semestral R=? a. El costo anual de la deuda es: R = 4.824.591,72 b. Tabla de amortización: Períodos Valor Cuota Intereses Amortización de Capital 0 Saldo $20.000.000 1 4.824.591,72 2 3.494.000 1.330.591,72 18.699.408,28 4.824.591,72 3.261.545,63 1.563.046,09 17.106.362,19 3 4.824.591,72 2.988.481,47 1.836.110,25 15.270.251,94 4 4.824.591,72 2.667.713,01 2.156.878,71 13.113.373,23 5 4.824.591,72 2.290.906,30 2.533.685,42 10.579.687,82 6 4.824.591,72 1.848.271,46 2.976.320,26 7.603.367,56 7 4.824.591,72 1.328.308,31 3.496.283,41 4.187.084,15 8 4.824.591,72 4.107.084,12 0 717.507,60 El saldo de la deuda justamente después del tercer pago es: $15.270.251,94 3.4.2 Ejercicios para desarrollar sobre tablas de amortización y saldos Ejercicio No. 1 Una deuda de $3.500.000 al 2.2% mensual, se va a amortizar mediante pagos iguales semestrales en 3 años. Realizar la tabla de amortización y saldos. Ejercicio No. 2 Un Banco, mediante aprobación del comité de crédito, le prestará a la compañía Safe Ltda. la suma de $500.000.000, para financiar la compra de camiones que serán utilizados para la distribución de sus productos a nivel nacional. Este préstamo se amortizará en 3 años mediante cuotas semestrales iguales, a una tasa de interés del 25.5%. Elaborar la tabla de amortización. Ejercicio No. 3 Al Sr. Pérez el Banco le presta $13.000.000. Las condiciones del crédito son: Tasa 27% efectiva anual Pagos trimestrales iguales Tiempo un año y medio Abono extraordinario de $2.500.000 en el 3er trimestre El señor Pérez necesita conocer la tabla de amortización, para analizar la operación. Ejercicio No. 4 A la señora García, el Banco le otorga un préstamo por $17.000.000 con las siguientes condiciones de crédito: Tasa 17% A.M.V. Plazo: 2 años pagadero en cuotas trimestrales iguales: a. Realizar la tabla de amortización y saldos b. La señora García, inmediatamente después de cancelar la cuarta cuota, pide refinanciación del saldo, en las mismas condiciones inicialmente pactadas. Realizar la nueva tabla de amortización y saldos. Ejercicio No. 5 Una compañía ensambladora de vehículos vende un automóvil que tiene un valor de contado de $35.000.000, para ser cancelado así: una cuota inicial de $6.000.000 y el saldo financiado a 12 meses, en cuotas iguales mensuales y un interés del 2.1% mensual. El comprador del automóvil necesita saber: a. El valor de la cuota mensual b. El saldo de la deuda en cada uno de los meses después de pagar la cuota mensual estipulada. Ejercicio No. 6 El precio de un electrodoméstico, de contado, es $1.620.000. Se adquiere con una cuota inicial de $162.000 y el saldo financiado a 6 meses, pagadero en cuotas iguales bimestrales al 21% A.B.V. Realizar la tabla de amortización. Ejercicio No. 7 Hoy se cancelará la totalidad de un préstamo que una entidad financiera realizó hace exactamente 7 meses por $17.900.000 al 26%, pagadero en cuotas iguales mensuales por 24 meses. ¿Cuánto debo cancelar hoy para liquidar completamente la deuda?. Ejercicio No. 8 El año pasado el Banco le prestó al señor Rodríguez, cliente reconocido por su buen cumplimiento en el pago, $22.500.000 pagadero bimestre vencido al 22% A.B.V a 3 años. Hoy, que acaba de cancelar la 10ª cuota y quiere bajar las cuotas a la mitad, ¿Cuánto debe abonar al saldo?. Ejercicio No. 9 El cliente Gabriel Mejía está pagando una obligación a una entidad financiera de $13.000.000 al 1.76% mensual, con pagos iguales bimestrales por 2 años. Después de cancelar la sexta cuota solicita a la entidad financiera refinanciar el saldo por dos años. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota?. Unidad 4: Criterios en la Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión VPN - Valor Presente Neto Criterios de selección sobre VPN para dos o más proyectos de inversión Ejemplos Ejercicios para desarrollar TIR - Tasa Interna de Retorno Método de la interpolación Método de la Fórmula de Gittinger Ejercicios para desarrollar TIR en Selección de Alternativas Ejercicio para desarrollar CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente Neto Selección de opciones con el CAUE Resumen de Fórmulas (c) Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano - Preparado por: Aída Guzmán Cruz En la presente unidad se desarrollará la temática de evaluación financiera, partiendo de un flujo de caja proyectado, al cual se llega después de haber realizado un estudio de mercado, técnico y de costos, de un proyecto de inversión propuesto. 4.1 VPN - Valor Presente Neto El Valor Presente Neto es el valor del proyecto medido en pesos de hoy, es decir, es el resultado de traer a valor presente todos los ingresos y egresos de un flujo de caja proyectado sobre un capital inicialmente invertido. Otra forma, resulta de deducir al valor presente de los ingresos el valor presente de los egresos. De acuerdo a lo anterior: VPN = VP (I) - VP (E) VPN = Valor Presente Neto VP (I) = Valor Presente de los Ingresos VP (E) = Valor Presente de los Egresos. Es importante considerar que si: VPN > O Los ingresos superan los egresos dando un VPN positivo, por lo tanto el proyecto de inversión es viable. VPN < O Los egresos superan los ingresos, el VPN es negativo, por lo tanto el proyecto de inversión no es viable. VPN = O Los ingresos son iguales a los egresos, no hay utilidades; teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto y tan solo se debe determinar la conveniencia según otros factores como la generación de empleo, el mejoramiento de algunos indicadores sociales, como la reducción de la pobreza. Ejemplo Un proyecto, para adquirir una maquinaria de producción de dulces, tiene las siguientes características: Inversión inicial de $15.000.000 El primer mes tendrá costos de $200.000 y a partir del segundo mes aumentarán en $3.000 en cada periodo. Los ingresos generados por la producción de dulces, se proyectan en $ 400.000 el primer mes y aumentarán en 3% cada mes. Se estima que el proyecto durará dos años (24 meses). Valor de mercado del proyecto, transcurridos 24 meses, es de $ 5.000.000 La tasa de oportunidad es del 32% A.M.V. ¿Será viable adquirir la maquinaria? Para resolver este ejemplo, se recomienda llevar a cabo el siguiente procedimiento: a. Dibujar la línea de tiempo con su correspondiente flujo de caja. b. Determinar la tasa efectiva periódica, según los intervalos de tiempo que el proyecto tiene en sus ingresos y egresos. c. Estimar el valor presente (VP) del proyecto, restando al valor presente del total de los ingresos (VPI) el valor presente del total de los egresos (VPE). d. Analizar el resultado. a. Gráfico que representa el proyecto: b. Tasa efectiva periódica: 32% A.M.V. equivale al 2,67% mensual. c. Valor presente de los ingresos (VPI): Se aplica la fórmula del Gradiente Geométrico Creciente y para el valor de mercado simplemente se utiliza la formula de interés compuesto. El valor presente del proyecto será la sumatoria del gradiente de los ingresos y del valor presente del valor de mercado del proyecto. Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Creciente. VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie k = Incremento n = Número de períodos i = Tasa de interés efectiva periódica VP(I) = 9.704.249,10 + 2.656.589,89 VP(I) = 12.360.838,99 Valor presente de los egresos (VPE): Se utiliza la fórmula de Gradiente Aritmético Creciente. Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Creciente VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie i = Tasa efectiva periódica G = Valor del incremento constante n = Número de períodos VP(E) = 4.050.277,57 + 15.000.000 = 19.050.277,57 d. Análisis del resultado: VPN = VP(I) - VP(E) VPN = 12.360.838,99 - 19.050.277,57 VPN = - 6.689.438,58 VPN < 0 El proyecto no es viable. Llevar a cabo este proyecto, equivale a tener hoy una pérdida de $6.689.438.58 4.2 Criterios de selección sobre VPN para dos o más proyectos de inversión Si se tienen dos opciones o alternativas de inversión, se puede presentar que tengan: a. Vidas útiles iguales o b. Vidas útiles diferentes. 4.2.1 Proyectos con vidas útiles iguales En éste caso, se debe realizar el siguiente procedimiento: a. Registro en la línea de tiempo, de los flujos de caja proyectados para cada proyecto b. Estimación del valor presente de cada proyecto y c. Evaluación: determinar cuál es el proyecto más conveniente. Se debe realizar considerando: Si VPN proyecto 1 > VPN proyecto 2 Si VPN proyecto 1 < VPN proyecto 2 Si VPN proyecto 1 = VPN proyecto 2 se escoge el proyecto 1 se escoge el proyecto 2 es indiferente la elección del proyecto Ejemplo De los proyectos de inversión expuestos a continuación, seleccionar el mejor proyecto: Flujos de caja de los proyectos Proyecto 1 Proyecto 2 Inversión hoy $8.000.000 Inversión hoy $10.000.000 Gastos mensuales $160.000 Gastos mensuales de $80.000 el primer mes y aumentarán en $4.500 cada mes Ingresos $640.000 el primer mes y disminuirán en un 5% cada mes, a partir del segundo mes. Ingresos de $900.000 mensuales. Vida útil 1.5 años (18 meses) Vida útil 1.5 años (18 meses) Valor de mercado $4.950.000 Valor de mercado Nulo Tasa de oportunidad 34% Tasa 34% efectivo anual. Procedimiento de selección de la mejor alternativa de inversión entre los dos proyectos: a(1). Registro del flujo de caja del proyecto 1 en la línea del tiempo Línea de tiempo Proyecto 1: b(1). VPN del Proyecto 1 34% Efectivo Anual es equivalente al 2,47% mensual. Para obtener el VP de los ingresos se utiliza la fórmula de Gradiente Geométrico Decreciente y el VP del valor de mercado se podrá estimar con la fórmula de interés compuesto: Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Decreciente. VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie k = Decrecimiento n = Número de períodos i = Tasa efectiva periódica VP(I) = 9.564.614,78 Para obtener el VP(E), se utiliza la fórmula valor presente de una Anualidad y se suma los $8.000.000 de la inversión. Fórmula Valor Presente de una anualidad A = Valor Presente de la anualidad R = Pago, cuota o anualidad n = Número de pagos o períodos i = Tasa efectiva periódica VP(E) = 10.302.489,59 VPN(1) = -$737.874,81 a(2). Registro del flujo de caja del proyecto 2 en la línea del tiempo Línea de tiempo Proyecto 2: b(2). VPN del Proyecto 2 VP(I) = 12.951.503,95 VP(E) = 11.659.289,86 VPN = $12.951.50393 - $11.659.28986 VPN(2) = $1.292.21409 c. Evaluación: la determinación de cuál es el proyecto más conveniente se debe realizar considerando: VPN(1) = -$737.874,81 VPN(2) = $1.292.21409 VPN(2) > VPN(1) El proyecto a seleccionar debe ser el 2, puesto que el VPN es mayor. En este ejemplo es importante considerar que el proyecto 1 genera pérdidas a valor de hoy, por lo tanto, tampoco es atractivo dado su resultado financiero. 4.2.2 Proyectos con vidas útiles diferentes Cuando dos proyectos de inversión tienen vidas útiles diferentes, la comparación de sus VPN, se puede resolver de dos formas: Si en la vida útil de los proyectos, existe un comportamiento repetitivo en el flujo de caja: a. Se toma el mínimo común múltiplo de las vidas útiles, como nueva línea de tiempo de los proyectos. b. Se registra el flujo de caja, de cada proyecto, en la nueva línea de tiempo, repitiendo el flujo original hasta completar la duración del mínimo común múltiplo, y c. Se obtienen los VPN correspondiente a los proyectos d. Se realiza la evaluación, para determinar cuál proyecto es más conveniente. Si los flujos de caja no se repiten en los ciclos de vida útil, se prolonga el ciclo menor hasta igualar el mayor y/o viceversa. Ejemplo Una empresa metalmecánica necesita adquirir una máquina para la producción de lámina extraplana. El Gerente financiero tiene dos opciones: adquirir la máquina X o la máquina Z. Ambas máquinas producen el mismo producto terminado (lámina extraplana), pero tienen vidas útiles diferentes. Se tiene una tasa de descuento del 2,6% mensual y los siguientes flujos de caja de cada máquina: Máquina X Máquina Z Inversión inicial $10.000.000 Ingresos mensuales $650.000 $600.000 y aumentan en $10.000 cada mes. Valor de mercado $ 1.000.000 $ 1.500.000 Vida útil 2 años 3 años "El flujo de caja se $16.000.000 repite en cada uno de los ciclos." a. Nueva línea de tiempo de los proyectos Vida útil máquina X = 2 años Vida útil máquina Z = 3 años El mínimo común múltiplo 6 años (72 meses). b(x). Flujo de caja en la nueva línea de tiempo del proyecto con la máquina X Máquina X Se registra el flujo de caja del proyecto con la máquina X en la línea de tiempo, repitiendo este flujo 3 veces, hasta el mes 72: c(x). Determinación del VPN máquina X Valor presente neto, 1° ciclo, ubicado en el momento cero VPN = $2.037.923,42 Valor presente neto del primer flujo de caja o primer ciclo, en el momento cero. Como los flujos se repiten, tenemos: VPN = $2.037.923,42 x (1+0,026)-24 VPN = $1.100.654,98 Valor presente neto del segundo flujo de caja o segundo ciclo, en el momento cero. VPN = $2.037.923,42 x (1+0,026)-48 VPN = $594.448,92 Valor presente neto del tercer flujo de caja o tercer ciclo. Valor presente neto del proyecto adquirir la máquina X es: VPN(x) = $2.037.923,42 + $1.100.654,98 + $594.448,92 VPN(x) = $3.733.027,32 Valor presente del proyecto con la máquina X es de $ 3.733.027,32 Máquina Z b(z). Flujo de caja en la nueva línea de tiempo del proyecto con la máquina Z Se registra el flujo de caja del proyecto con la máquina Z, en la línea de tiempo con 2 ciclos que corresponden a 6 años (72 meses): c(z). Determinación del VPN máquina Z VPN del primer ciclo de caja: VPN = $1.938.462,96 VPN del segundo ciclo: VPN = $1.938.462,96 (1 + 0.026)-36 VPN = $769.400,60 El VPN de la máquina Z será la suma de los VPN de los dos ciclos. VPN(Z) = 1.938.462,96 + 769.400,60 VPN(Z)= $2.707.863,56 Valor presente del proyecto con la máquina Z es de $ 2.707.863,56 d. Determinar cuál proyecto es más conveniente. VPN(x) = $3.733.027,32 VPN(Z)= $2.707.863,56 VPN(x) > VPN(z) La mejor alternativa es adquirir la máquina X, porque en dineros de hoy, reporta mayores beneficios, ya que el VPN del proyecto con la máquina X es mayor al VPN del proyecto con la máquina Z. 4.2.3 Ejemplos Ejemplo No. 1 - Negocio de Fotocopias El Sr. Pérez de 60 años de edad, pensionado, y aburrido de encontrarse sin trabajo, decide montar un negocio de fotocopias, ubicado junto a una universidad, para ello tiene que elegir entre las siguientes dos opciones: Opción 1 Costo inicial: adquisición de la máquina fotocopiadora MM, papelería, tintas y arriendo. $6.000.000 Costos mensuales: mantenimiento, papel, tinta y arriendo. $300.000 y aumentará en 2% cada mes Capacidad de producción de fotocopias que determina la demanda y oferta completamente satisfecha (ventas). $600.000 Mensual Vida útil 5 años Valor de mercado, transcurridos los 5 años $1.000.000 Opción 2 Costo inicial: adquisición de la máquina fotocopiadora ZZ, papelería, tintas y arriendo. $7.000.000 Costos mensuales: mantenimiento, papel, tinta y arriendo. $250.000 Según capacidad de producción de fotocopias, ingreso estimado Primer año Segundo año Tercero, cuarto y quinto año Valor de mercado transcurrida la vida útil. Vida útil $650.000 Mensual $550.000 Mensual $400.000 Mensual $500.000 5 años La tasa de descuento del proyecto es del 30% efectivo anual. El Sr. Pérez está confundido y no sabe cuál es la mejor opción. ¿Qué consejo le daría usted? Opción 1 a(1). Registro del flujo de caja de la opción 1 en la línea del tiempo La tasa de 30% equivale aproximadamente a: 2,21% mensual b(1). Estimación del valor presente de la opción 1 Se debe estimar el valor presente de los ingresos mensuales durante los 5 años de vida del proyecto, adicionar el valor presente del valor de mercado en el mes 60, restar el valor presente de los egresos mensuales durante los 5 años de vida del proyecto y por último restar la inversión inicial: VPN = 19.835.309,08 + 269.399,45 - 6.000.000 - 16.584.587,75 VPN = - $2.479.897,22 VPN < 0 Esta opción no es viable. Opción 2 a(2). Registro del flujo de caja de la opción 2 en la línea del tiempo b(2). Estimación del valor presente de la opción 2 Primero se estima el valor presente de los ingresos: VP(I) = 6.786.148,11 + 5.742.125,32 (0,77) + 4.176.091,14 (0,59) + 134.699,72 VP(I) = 6.786.148,11 + 4.421.436,50 + 2.463.899,77 + 134.699,72 VP(I) = $13.806.184,10 Después, el valor presente de los egresos: VP(E) = 7.000.000 + 8.264.712,12 VP(E) = $15.264.71212 El valor presente neto de la segunda opción es: VPN(2) = VP(I) - VP(E) VPN(2) = 13.806.184,10 - 15.264.712,12 VPN(2) = -$1.458.528,02 VPN < 0 Esta opción no es viable. c. Determinar cuál proyecto es más conveniente. Ninguna opción es viable, se recomienda no llevar a cabo el negocio. Ejemplo No. 2 - Adquisición de carros canastas para un hipermercado El gerente financiero del Hipermercado "Compre Todo Aquí", autorizó la compra de carros canasta, para ofrecer una mejor atención al cliente en el hipermercado. Al realizar el estudio, en el mercado se encontraron dos alternativas de inversión: Carro - Canasta Valor de adquisición (cada carro-canasta) Marca "Ruédame" $32.000 Marca "Lléname" $38.000 Cada año Cada dos años Costo por rueda $1.200 $1.500 Valor del mercado $8.000 $12.000 Vida útil 6 años 6 años Las 4 ruedas se deben reponer Tasa de oportunidad del hipermercado "Compre Todo Aquí" del 32 % efectivo anual. ¿Cuál opción deberá escoger el gerente financiero? Opción 1 - Carro - Canasta marca "Ruédame": a(1). Registro del flujo de caja de la opción 1 en la línea del tiempo b(1). Estimación del valor presente de la opción 1 VPN(Ruédame) = 1.532,33 - 32.000 - 12.164,38 VPN(Ruédame) = -$ 42.632.05 Opción 2 - Carro - Canasta marca "Lléname": a(2). Registro del flujo de caja de la opción 2 en la línea del tiempo b(2). Estimación del valor presente de la opción 2 VPN(Lléname) = 12.000(1+0,32)-6 - 38.000 - 6.000(1+0,32 )-2 - 6.000(1+0,32)-4 6.000(1+0,32)-6 VPN(Lléname) = 2.268,49 - 38.000 - 3.443,53 - 1.976,31 - 1.134,25 VPN(Lléname) = - $ 42.285,60 c. Determinar cuál proyecto es más conveniente. Ninguno de los dos proyectos por sí solo da utilidad, pero visto de forma global y buscando la buena atención al cliente, se deberá escoger el que represente menores costos: VPN(Ruédame) = -$ 42.632.05 VPN(Lléname) = - $ 42.285,60 VPN(Lléname) < VPN(Ruédame) La mejor opción es el carro canasta marca "Lléname". 4.2.4 Ejercicios para desarrollar Ejercicio No. 1 - Empresa: "Constructora Ladrillo sobre Ladrillo" Esta compañía dedicada a la construcción de edificios, esta decidiendo entre comprar o arrendar: un buldózer, una mezcladora y una retroexcavadora. Opción compra Costo de adquisición de las tres máquinas $ 350.000.000 Mantenimiento mensual Primer año $ 1.500.000 Segundo año $ 2.000.000 Tercer año Valor de mercado, transcurridos los 5 años Vida útil $ 3.000.000 $ 150.000.000 5 años Opción arriendo Cuota de arrendamiento mensual Primer año $ 10.000.000 Segundo año $ 11.900.000 Tercer año $ 14.161.000 Cuarto año $ 16.851.590 Quinto año $ 20.053.392 Mantenimiento y seguros $ 1.000.000 mes y va aumentado el 2% cada mes La tasa de oportunidad de esta constructora es el 23% efectivo anual. ¿Cuál es la mejor opción? Ejercicio No. 2 - Universidad Analítica de Colombia La Universidad Analítica de Colombia, desea seleccionar entre dos clases de muebles los más económicos, para un salón destinado a seminarios, conferencias, cursos y diplomados. Estas son las dos alternativas: Clase Estándar - muebles fijos al piso Costo inicial $ 5.500.000 Mantenimiento mensual $ 50.000 Reparación cada cinco años Año quinto $ 600.000 Año décimo $ 860.000 Valor de mercado Vida útil $ 2.000.000 10 años Interés de oportunidad 22 % AMV Clase Clásica - muebles móviles Costo inicial Mantenimiento mensual y aumentará cada mes $ 4.000.000 $ 60.000 1,5 % Reparación cada dos años $ 160.000 Valor de mercado $ 600.000 Vida útil 5 años Tasa de oportunidad 22 % AMV ¿Cuál opción le recomienda al gerente administrativo de esta institución? 4.3 - TIR - Tasa Interna de Retorno La Tasa Interna de Retorno (TIR) de un proyecto, es la tasa de interés que iguala el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos (VP(I)= PV(E)), por lo tanto el Valor Presente Neto VPN es igual a cero. Para hallar la TIR de un proyecto de inversión, existen los siguientes métodos: 1. Método de la interpolación. 2 Método de la fórmula de Gittinger. La estimación se puede realizar mediante la aplicación de las fórmulas, la utilización de calculadoras financieras o la hoja electrónica. 4.3.1 Método de la interpolación Para explicar cómo se realiza la interpolación, es conveniente realizar el seguimiento al siguiente ejemplo: Ejemplo No. 1: El Sr. y Sra. Medellín invertirán en un negocio de venta de pescado, la suma de $7.000.000 en el momento de instalación, al cabo de 3 meses será necesario hacer otra inversión de $1.600.000. Las utilidades se proyectan trimestralmente de $800.000 durante 10 trimestres, recibiendo la primera utilidad, 6 meses después de instalado el negocio. Se proyecta que este negocio se podrá vender al final de 3 años en $4.000.000. ¿Cuál es la TIR de este a. Registro del flujo de caja b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés i = 6.5% trimestral: VPN = 5.400.060,26 + 1.878.731,42 - 1.502.347,42- 7.000.000 VPN = -$1.223.555,74 Para utilizar más adelante ésta tasa de interés se identificará como i n in = 6.5% trimestral Tasa que hace el VPN < 0 proyecto? b(2). Estimación del VPN con otra tasa de interés i = 4% trimestral VPN = 6.239.150,60 + 2.498.388,20 - 1.538.461,54 - 7.000.00 VPN = $199.077.26 Para utilizar más adelante ésta tasa de interés se identificará como i p ip = 4% trimestral Tasa que hace el VPN > 0 c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno) Considerando los valores presentes netos de las tasas de interés: in = 6,5% VPN(in) = -$1.223.555,74 ip = 4,0% VPN(ip) = $199.077.26 Se debe interpolar entre éstas tasas hasta encontrar la tasa de interés que hace el VPN = cero o muy aproximado a cero. La tasa resultante de la interpolación es 4,35%. 4.3.2 Método de la Fórmula de Gittinger Cuando se necesita determinar la tasa interna de retorno, con mayor rapidez, se puede evitar realizar la interpolación, aplicando la fórmula de Gittinger, descrita a continuación: ip = tasa que hace el VPN > 0 in = tasa que hace el VPN < 0 VPN (ip) = VPN > 0 VPN (in) = VPN < 0 No sobra resaltar que para la estimación de la TIR, se debe trabajar con el valor absoluto del VPN resultante de trabajar con la tasa de interés que lo hace negativo "VPN (in)": TIR = 4,35% trimestral 4.3.3 Ejercicios para desarrollar 1. Si invertimos hoy $2.000.000 en un proyecto, cuya duración es de dos años y obtenemos al final de este periodo $3.699.200. Calcular la TIR para esta inversión. 2. Usted invierte hoy en un negocio $3.500.000 y adicionalmente, al cabo de 3 meses deberá invertir la suma de $800.000. Este negocio le reportará unas utilidades trimestrales de $400.000 durante 3 años, recibiendo la primera utilidad a los 6 meses de iniciado el negocio. Además, el negocio se podrá vender al final de los tres años en $2.800.0000. Hallar la TIR. 4.3.4 TIR en selección de alternativas En éste tema es importante tener claro el concepto de tasa de oportunidad (io) del inversionista; ésta tasa hace referencia al rendimiento que renuncia el inversionista por llevar a cabo el proyecto seleccionado. En otro escenario, se puede tomar como tasa de oportunidad la tasa promedio, vigente en el mercado, por lo que el inversionista pretenderá superarla mediante la obtención, en el desarrollo del proyecto, de un rendimiento mayor. Una vez teniendo claro éste concepto, se compara la TIR con la tasa de oportunidad y se tiene otra herramienta de selección Entonces: TIR > io El proyecto se acepta, pues tendrá utilidades superiores a la ofrecida por el mercado. TIR < io El proyecto se rechaza, dado que el mercado ofrece mejores alternativas . TIR = io Es indiferente aceptarlo o no. Ejemplo No. 1 La Sra. Clara Lozano invierte en la compraventa de joyas $4.000.000 y espera recibir utilidades de $1.250.000 trimestralmente durante un año. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 7.5% trimestral, determinar por medio de la TIR, si este proyecto es bueno o no. a. Registro del flujo de caja b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés de 8,5% trimestral ip =8.5% Trimestral: VPN= $ 94.495,82 VPN > 0 b(2). Estimación del VPN con una tasa de interés de 10,0% trimestral in = 10% Trimestral: VPN= - $ 37.668,19 VPN < 0 c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno) TIR = 9,57% Trimestal d. Determinación de la conveniencia de realizar el proyecto: io = 7,5% Trimestral TIR del proyecto = 9,57% TIR > io El proyecto es viable para el inversionista, dado que su rendimiento es superior al ofrecido por el mercado, es decir, es superior a la tasa de oportunidad. "El proyecto se acepta". Ejemplo No. 2 Un coleccionista de arte, compra hoy un cuadro en $ 4.000.000. Paga una cuota inicial del 30%, en 4 meses deberá cancelar el 50% y a los 8 meses cancelará el resto. Espera vender este cuadro en $ 7.300.000 un año y medio después de adquirirlo. La tasa del mercado oscilará entre el 30 y 31 % (tasa de colocación bancaria). ¿El coleccionista hizo un buen negocio al adquirir este cuadro? a. Registro del flujo de caja b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés de 4,6% mensual in = 4,6% mensual: VPN = 7.300.000 (1+ 0,046)-18 - 1.200.000 - 1.400.000 (1+0,046)-4 - 1.400.000 (1+0,046)-8 VPN = -$97.436,74 VPN < 0 b(2). Estimación del VPN con una tasa de interés de 4% mensual ip = 4% mensual: VPN = 7.300.000 (1+ 0,04)-18 - 1.200.000 - 1.400.000 (1+0,04)-4 - 1.400.000 (1+0,04)-8 VPN = $183.793,12 VPN > 0 c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno) TIR = 4,39% mes d. Determinación de la conveniencia de realizar el proyecto: Tasa Bancaria: 30% 2,21 % mes 31% 2,28 % mes TIR > Tasa Bancaria El coleccionista realizó un buen negocio, dado que la utilidad obtenida por su compra es superior a la tasa ofrecida en el sector bancario. 4.3.5 Ejercicio para desarrollar El señor José Cardozo, transportador de cebolla, carga sus camiones en Aquitania (Boyacá) y los lleva a Corabastos (Bogotá). El señor Cardozo se ha dedicado a éste oficio por más de quince años y ahora decide comprar un camión nuevo en $55.000.000. El flujo de caja proyectado es el siguiente: Ingresos: $ 4.000.000 mensuales durante el primer año y se espera un incremento del 15% cada año. Egresos: $ 2.500.000 mensuales durante el primer año y se espera un incremento del 18% cada año. Valor La de mercado tasa de del camión, captación al cabo bancaria de es 3 años del es 18% de $ 36.000.000. efectivo anual. Hallar la TIR del proyecto. ¿La inversión que hizo el señor Cardozo en la compra del camión fue buena o mala? 4.4 - CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente Cuando un mínimo común múltiplo de la vida útil de los proyectos, es un número grande, se dificulta establecer los flujos de caja, las tasas de descuento y los valores de mercado. El Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE), permite superar esta dificultad. Se le llama CAUE a la cuota o pago neto, periódica e igual que sustituye el flujo de caja dado. Al CAUE también se le llama Promedio Financiero del flujo de caja, dado de un proyecto de inversión. Esta cuota o cantidad representa, financieramente, el promedio de ganancia o perdida en un proyecto. A partir de la línea de tiempo con el flujo de caja proyectado, se aplica la siguiente formula, para hallar el CAUE o llamado, también, Factor de Distribución de un valor presente: CAUE = Costo Anual Uniforme Equivalente P = Valor Presente del Flujo de Caja i = Tasa Efectiva Periódica n = Número de períodos Ejemplo Calcular el CAUE del siguiente flujo de caja, con una tasa de interés del 3% mensual. a. Registro del flujo de caja b. Estimación del VP VP = -30.000 -10.000 (1+0,03)-3 - 40.000 (1+0,03)-5 - 20.000 (1+0,03)-10 VP = -$88.537,60 c. Determinación del CAUE CAUE = - $10.379,30 El flujo de caja presentado es equivalente a un promedio financiero mensual de -$10.379,30 4.4.1 - Costo Anual Uniforme Equivalente Neto El CAUE neto es igual al CAUE de los ingresos menos el CAUE de los egresos. CAUE (neto) = CAUE(I) - CAUE (E) donde, CAUE(I) = CAUE de los ingresos del flujo de caja del proyecto CAUE(E) = CAUE de los egresos del flujo de caja del proyecto Ejemplo Un proyecto de compra y venta de ganado requiere de una inversión inicial de $5.000.000 y nuevas inversiones de $950.000 en los trimestres 3, 5 y 7. Se espera obtener unos ingresos de $1.600.000 trimestrales a partir del noveno trimestre hasta que el proyecto termine. La vida útil del proyecto es de 13 trimestres con un valor de mercado de $2.500.000. La tasa del inversionista es de 2.8 % mensual. Hallar su correspondiente CAUE Neto: a. Registro del flujo de caja Dado que el proyecto se encuentra expresado en trimestres, se trabajará con la tasa de interés equivalente: 2.8% mensual 8,64% trimestral b(I). Estimación del VP(I) VP (I) = $4.088.564,61 c(I). Estimación del CAUE(I) CAUE(I) = $ 535.646,28 b(E). Estimación del VP(E) VP(E) = 5.000.000 + 950.000(1+0,0864)-3 + 950.000(1+0,0864)-5 + 950.000(1+0,0864)-7 VP(E) = $6.900.481,35 c(E). Estimación del CAUE(E) CAUE(E) = $ 904.037,85 d. Estimación del CAUE(NETO) CAUE(neto) = $ 535.646,28 - $904.037,85 CAUE(neto) = -$368.391,57 Llevar a cabo éste proyecto, equivale a tener una pérdida promedio trimestral de $368.391,57 durante los 13 trimestres de su vida útil. Se recomienda no llevar a cabo este proyecto. 4.4.2 - Selección de opciones con el CAUE Para comparar proyectos con vidas útiles iguales o diferentes por medio del CAUE, se debe: a. Registrar el flujo de caja de cada uno de los proyectos con sus vidas útiles respectivas en la b. Hallar el CAUE de cada proyecto. línea del tiempo. Es importante al estimar el CAUE, que los proyectos deben estar expresados en el mismo período (mensual, trimestral, anual, etc.) c. Seleccionar el proyecto más conveniente. Para seleccionar el proyecto se debe considerar que sí: CAUE(1) > CAUE(2) El más conveniente es el proyecto 1 CAUE(1) < CAUE(2) El más conveniente es el proyecto 2 CAUE(1) = CAUE(2) Indiferente realizar cualquiera de los dos proyectos Ejemplo No. 1 Un empresario adquirirá, para su industria de textiles, una máquina por $5.000.000. Los costos de revisión y repuestos se estiman en $ 800.000 anuales durante los tres primeros años y de $ 1.000.000 de allí en adelante. La máquina se tendrá que reparar al tercer año y tendrá un costo de $1.500.000. Dos años después se venderá en $5.000.000. Los ingresos esperados, serán de $1.000.000 anuales. Determinar el CAUE con una tasa a. Registrar el flujo de caja del proyecto 27 % A.M.V. 30.60% b. Hallar el CAUE del proyecto. VP(I) = $3.723.841,28 del 27% A.M.V. CAUE(I) = $1.546.544,21 VP(E) = $ 7.721.047,01 CAUE(E) = $ 3.206.619,09 CAUEproyecto = CAUE(I) - CAUE(E) CAUEproyecto = $ 1.546.544,21 - 3.206.619,09 CAUEproyecto = - $ 1.660.074,80 El proyecto no es viable, considerando que el CAUE es negativo. Ejemplo No. 2 En una empresa importadora de computadores, donde mantienen altos niveles de stock, deciden adquirir alarmas y equipos antirobos y de control. Para ello, el Gerente Administrativo envía al Gerente Financiero dos propuestas para que las analice y de su opinión. Las propuestas son las siguientes: Propuesta X Costo inicial de adquisición e instalación (promoción) $ 2.000.000 Costo anual de mantenimiento y operación durante los primeros 4 años $ 3.000.000 de allí en adelante aumentará anualmente Valor de mercado $ 200.000 $0 Vida útil 10 años Tasa 34 % Propuesta Y Costo inicial de adquisición y mantenimiento $ 3.500.000 Costo anual de operación, mantenimiento y asesoría durante los primeros 3 años $ 2.500.000 de allí en adelante aumentará anualmente Valor de mercado Vida útil $ 250.000 $ 6.000.000 15 años Tasa 34 % Propuesta X a. Registrar el flujo de caja de la propuesta X b. Hallar el CAUE: VP(x) = $ 10.756.581,77 CAUE(x)= $ 3.864.260,73 Este proyecto en promedio tendrá costos anuales de $ 3.864.260,73 Propuesta Y a. Registrar el flujo de caja propuesta Y b. Hallar el CAUE: VP(I)y = 6.000.000 (1+0,34)-15 VP(I)y = $ 74.401,09 CAUE(I)y= $ 25.613,99 VP(E)y = $ 16.406.481,09 CAUE(E)y= $ 5.648.242,80 CAUE(y) = CAUE(I)y - CAUE(E)y CAUE(y) = $ 25.613,99 - $ 5.648.242,80 CAUE(y)= -$5.622.628,81 Este proyecto tendrá un promedio de costos anuales de $ 5.264.925,03 c. Seleccionar el proyecto más conveniente: CAUE(x)= - $ 3.864.260,73 CAUE(y)= -$5.622.628,81 CAUE(y) < CAUE(x) El Gerente Financiero debe recomendar la propuesta X Resumen de Fórmulas Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Creciente VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie k = Incremento porcentual n = Número de períodos i = Tasa de interés efectiva periódica Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Creciente VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie i = Tasa efectiva periódica G = Valor del incremento constante n = Número de períodos Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Decreciente. VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie k = Decrecimiento porcentual n = Número de períodos i = Tasa efectiva periódica Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Decreciente. VP = Valor Presente A = Valor del primer pago de la serie i = Tasa efectiva periódica G = Valor del incremento constante n = Número de períodos Fórmula Valor Presente de una anualidad A = Valor Presente de la anualidad R = Pago, cuota o anualidad n = Número de pagos o períodos i = Tasa efectiva periódica Fórmula de Gittinger para calcular la TIR ip = tasa que hace el VPN > 0 in = tasa que hace el VPN < 0 VPN (ip) = VPN > 0 VPN (in) = VPN < 0 Fórmula del Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE = Costo Anual Uniforme Equivalente P = Valor Presente del Flujo de Caja i = Tasa Efectiva Periódica n = Número de períodos