Afternotes 14- Modelos genéticos I: la herencia autosómica

Modelos genéticos I: la herencia autosómica
José Luis López Fernández
9 de noviembre de 2011
¿Sabes? No todos tus hijos tienen por qué ser asesinos. Según las teorías de Mendel
sobre los genes y sus experimentos con guisantes, en realidad la cosa está bastante
clara: solo uno de cada cuatro de tus hijos será un asesino, así que lo que debes hacer
es tener solo tres hijos. . . No, puede que tampoco funcione: quizás el malo fuese el
primero. . . Tendré que estudiarlo.
(Fragmento de un diálogo del filme La cena de los acusados (The thin man), dirigida por W. S. van Dyke en 1934)
Con la siguiente familia de modelos matriciales analizamos desde una perspectiva matemática cómo se transmite un determinado carácter (no ligado al
sexo) de una generación a la siguiente. Para ello partimos de la siguiente situación: en cada par de cromosomas homólogos consideramos los dos alelos referidos
a un determinado carácter, a los que denotaremos A (dominante) y a (recesivo),
de modo que entre ellos pueden producirse tres tipos de combinaciones distintas
(o pares alélicos): la homocigótica para el alelo A (a la que denotamos AA),
la homocigótica para el alelo a (denotada por aa) y la heterocigótica (a la que
denotamos Aa). En lo que sigue asumiremos por simplicidad que cada uno de
estos tres genotipos trae asociado un único fenotipo. Si a continuación planteamos todas las posibilidades de cruzamiento entre cada composición alélica,
llegamos a seis configuraciones diferentes de progenie:
AA × AA,
AA × Aa,
AA × aa,
Aa × Aa,
Aa × aa,
aa × aa.
Las probabilidades (o proporciones referidas a la unidad) de que la descendencia
asociada a cada uno de estos cruzamientos parentales sea del tipo AA, Aa o aa
vienen descritas en la siguiente tabla:
AA
Aa
aa
AA × AA
1
0
0
AA × Aa
1/2
1/2
0
AA × aa
0
1
0
Aa × Aa
1/4
1/2
1/4
Aa × aa
0
1/2
1/2
aa × aa
0
0
1
Con esta información ya podemos construir la matriz de transición T asociada a un modelo de este tipo, que vendrá típicamente representado por un
1
esquema discreto de la forma Pn+1 = T Pn , donde el vector Pn recoge en cada
una de sus componentes las respectivas proporciones de descendencia del tipo
AA, Aa o aa. Nótese que todas las columnas de la tabla anterior suman 1, lo
que viene a decirnos que cualquier matriz de transición extraída de dicha tabla
será una matriz de probabilidad.
La tercera columna de la tabla responde a la llamada primera ley de Mendel, que estipula que todos los descendientes de un cruzamiento de individuos
homocigóticos distintos (AA y aa) son del tipo Aa. Por su parte, en todas las
demás columnas aparece reflejada la segunda ley de Mendel, que afirma que los
alelos parentales se separan durante la procreación y se recombinan aleatoriamente para configurar el genotipo de su descendencia, de modo que si uno se
fija, por ejemplo, en la cuarta columna, las conclusiones a las que se llega son:
de cuatro recombinaciones posibles (a saber: AA, Aa, aA y aa), solo una corresponde a AA, luego su probabilidad de aparición es 1/4; solo una corresponde
asimismo a aa, por lo que su probabilidad de éxito es también igual a 1/4; y dos
corresponden al genotipo híbrido dominante–recesivo, luego la probabilidad de
presencia de Aa en la primera generación es = 2/4 = 1/2.
Concluimos presentando un ejemplo de modelado matemático referente a
una herencia de tipo autosómico (cf. Ejercicio 8 de la Relación 2):
Una determinada planta puede presentar flores de uno de estos tres colores:
azul (AA), verde (Aa) y amarillo (aa). Se considera el siguiente programa de
polinización:
(1) Las plantas de flores azules (AA) se fecundan con polen de flores amarillas
(aa).
(2) Las plantas de flores verdes (Aa) se fecundan con polen de flores verdes
(Aa).
(3) Las plantas de flores amarillas (aa) se fecundan con polen de flores azules
(AA).
Calcularemos en primer lugar la matriz de transición asociada a este diseño
genético. Para ello solo hay que tener en cuenta que los únicos tres tipos de
cruzamiento que nos interesan son AA × aa (como se describe en (1)), Aa × Aa
(como se describe en (2)), y aa × AA (como se describe en (3)).1 . Es decir:
las columnas tercera, cuarta y nuevamente tercera (por ese orden) de la tabla
anterior, las cuales dan lugar a la siguiente matriz:


0 1/4 0
T =  1 1/2 1  .
0 1/4 0
Es evidente que T es una matriz de probabilidad y muy fácil comprobar que
además es ergódica, lo que implica que λ = 1 es su valor propio dominante.
1 En
realidad, se trata del miso caso descrito en (1)
2
Entonces, si denotáramos
xn
=
proporción de flores azules (AA) en la n–ésima observación,
yn
=
proporción de flores verdes (Aa) en la n–ésima observación,
zn
=
proporción de flores amarillas (aa) en la n–ésima observación,
se tendría que el sistema de ecuaciones a resolver para calcular el vector de
proporciones del modelo (es decir, cualquiera de los vectores propios dominantes)
habría de ser el siguiente:


 

0 1/4 0
x
x
 1 1/2 1   y  =  y 
0 1/4 0
z
z
o, equivalentemente,
1
y
4
1
x+ y+z
2
1
y
4
= x,
= y,
= z,
cuyas infinitas soluciones2 vienen descritas en términos de un parámetro λ ∈ R:
x = λ,
y = 4λ,
z = λ.
Basta entonces con elegir un valor cualquiera de λ distinto de cero (por ejemplo, λ = 1) para obtener una representación de la familia de vectores propios
dominantes de nuestro modelo:3


1
v= 4 ,
1
luego la proporción de flores azules a largo plazo será aproximadamente del
1
4
6 × 100 = 16.67 %, la de verdes del 6 × 100 = 66.67 % y la de amarillas del
1
6 × 100 = 16.67 %.
2 No
podía ser de otra manera tratándose del cálculo de vectores propios
que cualquiera de ellos contiene la misma información bioloógica
3 Recuérdese
3