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Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial
29 de junio de 2006
PROBLEMA 2
Se tienen 3 moles de un gas ideal diatómico a una temperatura de 250 K y una presión de
1 atmósfera. Se expande el gas adiabáticamente hasta duplicar su volumen, a continuación se
calienta a volumen constante hasta recuperar su presión inicial y, finalmente, se enfrı́a a presión
constante hasta volver a su estado inicial. Suponiendo que todos los procesos descritos son
cuasi-estáticos:
a) Hacer un esquema aproximado del ciclo en un diagrama PV.
b) Calcular trabajo, calor e incremento de energı́a interna en cada uno de los tres procesos
descritos y en el ciclo completo.
Datos: R=8.314 J/(mol·K); cv =
5R
2
SOLUCIÓN:
Apartado a)
De acuerdo con la información suministrada en el enunciado existe un primer proceso de
expansión adiabática. En ese proceso el gas disminuye su temperatura y su presión. Llamaremos
estado 1 al estado inicial y estado 2 al estado alcanzado por el gas después de la expansión
adiabática. Ası́ este proceso será denominado proceso 1-2 y se cumple según dice el enunciado
que V2 = 2V1 . Después el gas se calienta a volumen constante hasta un estado 3 (V2 = V3 ) y, a
continuación, existe un disminución de volumen a presión constante (P3 = P1 ). De acuerdo con
la nomenclatura que hemos propuesto, estos dos procesos serán, respectivamente, el proceso 2-3
y el proceso 3-1. Un esquema del ciclo en un diagrama PV se muestra a continuación:
P
P1
3
1
2
P2
V1
V2
1
V
Apartado b)
Vamos a hacer el cálculo de trabajo, calor e incremento de energı́a interna en cada uno de
los tres procesos que constituyen el ciclo completo:
Proceso 1-2: Por ser adiabático se cumple Q12 = 0. Entonces, en virtud del Primer Principio:
ΔU12 = W12 . Y basta con calcular una de estas dos magnitudes. Como se trata de un gas ideal
el cálculo del incremento de energı́a interna es sencillo:
ΔU12 = ncV (T2 − T1 )
(1)
Para calcular T2 hacemos uso del hecho de que la transformación 1-2 es adiabática y cuasiestática. Entonces la ecuación de Poisson liga las coordenadas termodinámicas al inicio y al
final del proceso. En particular, podemos escribir:
T1 V1γ−1 = T2 V2γ−1
(2)
c
donde γ = cP . Dado que el gas es diatómico sabemos que cV = 5R/2 y, haciendo uso de la Ley
V
de Mayer: cP = cV + R = 7R/2, por lo que γ = 7/5 = 1.4. Entonces podemos despejar T2 en
(2):
γ−1
V1
= 189.5 K
T2 = T1
V2
Si sustituimos este dato en (1) tenemos:
J
5
(189.5 K − 250 K) = −3772.5 J
ΔU12 = W12 = 3mol 8.314
2
mol·K
Proceso 2-3: Este proceso ocurre sin cambio de volumen. Si no hay cambio de volumen no
hay trabajo realizado contra ni por el sistema (W23 = 0). Si hacemos uso de nuevo del Primer
Principio y de la expresión para el incremento de energı́a interna de un gas ideal podemos
escribir:
(3)
ΔU23 = Q23 = ncV (T3 − T2 )
Para hacer este cálculo es preciso determinar la temperatura T3 . Aunque existen varios procedimientos para hacer esto, el más sencillo es darse cuenta de que los estados 1 y 3 cumplen
P1 = P3 y, por tanto la relación entre las coordenadas termodinámicas del gas ideal en esos dos
estados es:
V3
V1
=
(4)
T1
T3
Sabiendo además por la descripción del ciclo que V3 = V2 = 2V1 , tenemos de (4) que T3 = 2T1 =
500 K. Por tanto, volviendo a (3) y sustituyendo obtenemos:
J
5
(500 K − 189.5 K) = 19361.2 J
ΔU23 = Q23 = 3mol 8.314
2
mol·K
Obtenemos un calor positivo. Es decir, que el sistema absorbe a calor en el proceso 2-3. Esto
resulta lógico, ya que en este proceso el gas aumenta su temperatura a volumen constante.
Proceso 3-1: Este proceso se verifica a presión constante. En este tipo de procesos es inmediato
obtener una expresión para el trabajo:
W31 = −
1
3
P dV = −P1 (V1 − V3 )
2
recordando que V3 = V2 = 2V1 y usando la ecuación de estado de los gases ideales se puede
calcular:
W31 = −P1 (V1 − 2V1 ) = P1 V1 = nRT1 = 3mol8.314
J
250 K = 6235.5 J.
mol·K
Este trabajo es positivo, es decir, realizado por el entorno sobre el gas. Esto concuerda con el
hecho de que el proceso 3-1 es una compresión a presión constante.
Por sus parte, el incremento de energı́a interna del gas ideal puede calcularse como en los
anteriores procesos:
ΔU31 = ncV (T1 − T3 ) = −15588.7 J
También es posible calcular esta magnitud aprovechando el hecho de que es una función de
estado y de que el proceso analizado es un ciclo. En efecto, en el ciclo completo:
ΔU = ΔU12 + ΔU23 + ΔU31
Pero el incremento de cualquier función de estado en un ciclo es nulo: ΔU = 0, de donde:
ΔU31 = −ΔU12 − ΔU23 = −15588.7 K.
Conocidos el trabajo y el incremento de energı́a interna el calor intercambiado puede determinarse a partir del Primer Principio:
Q31 = ΔU31 − W31 = −21824.2 J
Resulta ser por tanto un calor cedido.
Ciclo completo: Llamemos simplemente Q y W a el calor y trabajos intercambiados en el
ciclo completo. Tal como hemos explicado anteriormente, el incremento de energı́a interna en
un ciclo ha de ser forzosamente nulo y, en consecuencia, del Primer Principio tenemos:
Q = −W
(5)
Basta por tanto calcular uno de ellos. Para ellos basta sumar los calores o los trabajos en cada
uno de los sub-procesos (1-2, 2-3 y 3-1) del ciclo, que ya han sido calculados. Para verificar
nuestros resultados haremos la suma para ambas magnitudes:
Q = Q12 + Q23 + Q31 = 0 + 19361.2 − 21824.2 = −2463 J
W = W12 + W23 + W31 = −3772.5 + 0 + 6235.5 = 2463 J
Y, en efecto, la relación (5) se cumple.
En resumen, en el ciclo el sistema ha cedido una cierta cantidad de energı́a en forma de calor
al entorno (Q < 0). Esa energı́a cedida es igual en magnitud a la energı́a que ha recibido en
forma de trabajo del exterior (trabajo realizado contra el sistema). Este trabajo ha de coincidir
con el área encerrada dentro del ciclo en el diagrama PV.
3