Control Algebra I.

Santiago, Abril 03 del 2008.
Control Algebra I.
Nombre:
1. Resuelva los siguientes problemas:
a) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que la siguiente proposición
es verdadera.
[s ⇒ ((∼ r ⇒ r) ∨ (r ⇒∼ r)))] ⇒ [∼ (p ⇒ q) ∧ s∧ ∼ r]
b) Demuestre, sin usar tablas de verdad, que la siguiente proposición es una Tautologı́a.
[(p ⇒ q) ∧ (∼ s ⇒∼ r)] ⇒ [∼ p∨ ∼ r ∨ (q ∧ s)]
2. Si Stoke City evita las lesiones ellos ganaran el campeonato. Ellos evitan las lesiones o el árbitro
está comprado. Si el árbitro está comprado entonces la hinchada no estará feliz. Pero la hinchada
está feliz. Dada la verdad de esas proposiciones, ¿Stoke City será el campeón?
3. Utilice las leyes de inferencia para demostrar que la siguiente proposición es una tautologı́a.
[((∼ p ∨ q) =⇒ r) ∧ (r =⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)] =⇒ p
Observaciones:
# Duración 60 minutos.
# No se admiten consultas.
# Todas las preguntas tienen igual ponderación.
# Preguntas incompletas o sin justificación serán evaluadas con menor puntaje.
El colmo de la estupidez es aprender lo que luego hay que olvidar.
Erasmo de Rotterdam
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
miguel.munoz.jara@gmail.com.
1
1. Resuelva los siguientes problemas:
A01
.2
Observación. La solución de los siguientes problemas puede no ser única.
Si encuentra algún ((Herror)) favor comuniquelo vı́a email.
00
8.
PAUTA.
a) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que la siguiente proposición
es verdadera.
.S
ec
ció
n
[s ⇒ ((∼ r ⇒ r) ∨ (r ⇒∼ r)))] ⇒ [∼ (p ⇒ q) ∧ s∧ ∼ r]
Solución. Observe que:
s ⇒ ((∼ r ⇒ r) ∨ (r ⇒∼ r))) = s ⇒ 1 = 1
(1)
aI
de (1) y del hecho que la proposición dada es verdadera podemos deducir que:
∼ (p ⇒ q) ∧ s∧ ∼ r = 1
lge
br
es decir:
e Á
∼ (p ⇒ q) = 1 ∧ s = 1∧ ∼ r = 1
Por lo tanto:
nt
ro
De donde podemos deducir que:
ld
r =0∧s=1∧p⇒q =0
Co
r =0∧s=1∧p=1∧q =0
b) Demuestre, sin usar tablas de verdad, que la siguiente proposición es una Tautologı́a.
do
[(p ⇒ q) ∧ (∼ s ⇒∼ r)] ⇒ [∼ p∨ ∼ r ∨ (q ∧ s)]
aS
eg
un
Solución. Supongamos que la proposición dada no es una tautologia, entonces existen valores
de las proposiciones p, p, r, s tales que:
[(p ⇒ q) ∧ (∼ s ⇒∼ r)] ⇒ [∼ p∨ ∼ r ∨ (q ∧ s)] = 0
Pa
ut
de donde podemos deducir que:
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
miguel.munoz.jara@gmail.com.
(p ⇒ q) ∧ (∼ s ⇒∼ r) = 1
(1)
∼ p∨ ∼ r ∨ (q ∧ s) = 0
(2)
2
Ası́ de (2) podemos deducir que:
∼ p = 0∧ ∼ r = 0 ∧ (q ∧ s) = 0
00
8.
(3)
p = 1 ∧ r = 1 ∧ (q ∧ s) = 0
Por lo tanto de (1) y (4) podemos deducir que:
.S
ec
ció
n
q = 1 ∧ s = 1.
A01
.2
es decir:
(4)
Pero lo anterior es una contradicción ya que de (3) se tiene que q ∧ s = 1 ∧ 1 = 1 = 0 ⇒ | ⇐.
Ası́ de lo anterior podemos deducir que la proposición dada es tautologia.
aI
2. Si Stoke City evita las lesiones ellos ganaran el campeonato. Ellos evitan las lesiones o el árbitro
está comprado. Si el árbitro está comprado entonces la hinchada no estará feliz. Pero la hinchada
está feliz. Dada la verdad de esas proposiciones, ¿Stoke City será el campeón?
lge
br
3. Utilice las leyes de inferencia para demostrar que la siguiente proposición es una tautologı́a.
[((∼ p ∨ q) =⇒ r) ∧ (r =⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)] =⇒ p
e Á
Solución. Observe que:
ld
[((∼ p ∨ q) =⇒ r) ∧ (r =⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)]
nt
ro
=⇒ [[(∼ p ∨ q) =⇒ (s ∨ t)] ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)]
≡
Co
=⇒ [[(∼ p ∨ q) =⇒ (s ∨ t)] ∧ (∼ s∧ ∼ t)]
[[∼ (s ∨ t) =⇒∼ (∼ p ∨ q)]∧ ∼ (s ∨ t)]
p∧ ∼ q
aS
=⇒ p
eg
un
≡
do
=⇒ ∼ (∼ p ∨ q)
Pa
ut
Por lo tanto la proposición dada es una tautologia.
Profesor
Email
:
:
Miguel Ángel Muñoz Jara.
miguel.munoz.jara@gmail.com.
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