Teoremas de Dirichlet.

Teoremas de Dirichlet.
I.
P
an es incondicionalmente convergente si y sólo si es absolutamente convergente.
El teorema expresa la equivalencia entre la convergencia incondicional y la absoluta. Para demostrarlo se verá que ambos términos son equivalentes a un tercero
(tanto la convergencia
incondicional como la absoluta equivalen a la convergencia
P + P
de las series
|an | y
|a−
n |), luego lo son entre sı́.
P
P +
P −
D. a):
an es incondicionalmente convergente si y sólo si
|an | y
|an | son
convergentes, como se ha demostrado en clase (apartado 7.1).
P
P +
P −
D. b):
an es absolutamente convergente si y sólo si
|an | y
|an | son convergentes, pues:
P
1. La serie
|ai | es unaP
S.T.P. yP
puede
sin cambiar de carácter
¯ + ¯ descomponerse
P¯ ¯
¯a ¯ + ¯a− ¯ (propiedad 7 de las series).
ni de suma, es decir:
|ai | =
i
i
P ¯ +¯
P ¯ −¯
¯a ¯ y
¯a ¯ con2. Entonces,
por
lo
visto
en
el
apartado
7.1,
si
las
series
i
i
P
P
vergen, P
|a¯i | converge
(a
la
suma
de
las
anteriores).
Y,
si
|a
|
converge,
i
¯
¯ ¯
¯a+ ¯ y P ¯a− ¯ deben converger; pues, de lo contrario, alguna de
las series
i
i
P
las dos serı́a divergente y, con ella,
|ai |, contra la hipótesis.
II. Si
P
an es incondicionalmente divergente, entonces es absolutamente divergente.
P
P
D. a): Si
an P
es incondicionalmente divergente, entonces
|an | es divergente.
P
De lo contrario, |an | serı́a convergente, con lo que an serı́a incondicionalmente
convergente (teorema I), contra la hipótesis.
P
P
D. b): En el otro sentido no se cumple.
an =
(−1)n /n.
P
P Por ejemplo, sea
|an | es la armónica (divergente), pero an es convergente a ln 2, como se verá en
el apartado 8.3.