(2`5 puntos)Considera los puntos A(1,0,2)

SOLUCIONES
OPCIÓN A
1.- (2'5 puntos)Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1).
(a) [1'25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación (x-1)/3 = y/2 = z que verifica que el
triángulo de
vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B.
(b) [1'25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de
corte del plano de
ecuación 2x-y+3z = 6 con el eje OX .
(a) A(1,0,2), B(1,2,-1).
Como el punto C es de la recta “r”, ponemos la recta “r” en paramétricas
x= 1 + 3λ
y= 0 + 2λ
z= 0 + λ, con λ número real.
El punto genérico C de “r” tiene de coordenadas C(1 + 3λ, 2λ, λ)
Como me dicen que el triángulo es rectángulo en B, los vectores BA y BC son
perpendiculares, por tanto su producto escalar es cero, es decir BA·BC = 0
BA = (0, -2, 3); BC = (3λ, 2λ-2, λ+1)
BA·BC = 0 = (0, -2, 3)·(3λ, 2λ-2, λ+1) = -4λ+4+3λ+3 = -λ+7 = 0, de donde λ = 7, y el punto
pedido es C(1 + 3(7), 2(7), (7)) = C(22, 14, 7)
(b)
El punto D es la intersección de los planos
2x-y+3z = 6
y=0
z = 0, de donde obtenemos 2x = 6, cuya solución es x = 3, y el punto D es D(3,0,0).
A(1,0,2), B(1,2,-1) y D(3,0,0).
Sabemos que el área de un triángulo ABC es (1/2) del área del paralelogramo que determinan
dos vectores con origen común, en nuestro caso el AB y AD. También sabemos que el área
de un paralelogramo es es el módulo del producto vectorial que determinan dichos vectores
(||AB x AD||.
Resumiendo: Área triángulo ABC = (1/2).||AB x AD|| = (1/2).√(42+62+42) = (1/2).√(68) u2.
AB = (0, 2. -3); AD = (2, 0, -2); ABxAD= i(-4)-j(6)+k(-4) = (-4,-6,-4)
2. Considera los planos de ecuaciones π 1 ≡ x + b y + z = 0, π 2 ≡ 2x - 3y + z - 5 = 0 y π 3 ≡ x + y 2z -15 = 0.
(1) [1'25 PUNTOS]. Determina b de forma que los tres planos tengan una recta en común.
(2) [1'25 PUNTOS]. Determina si para algún valor de β el plano π 1 es perpendicular a los
otros dos planos.
π1 ≡ x + β y + z = 0, π2 ≡ 2x - 3y + z - 5 = 0 y π3 ≡ x + y - 2z -15 = 0.
Sea M =
y M* =
la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada
del sistema considerado de los tres planos. Para que los tres planos se corten en una recta rango(M)
= rango(M*) = 2, con lo cual |M| ha de ser cero, pues si no tendría rango 3
|M| =
= 10 + 5β
|M| = 0 → 10 + 5β = 0, de donde β = -2 para que los tres planos se corten en una recta.
(2)
π1 ≡ x + βy + z = 0, con vector normal n1 = (1, β ,1)
π2 ≡ 2x - 3y + z - 5 = 0, con vector normal n2 = (2,-3,1)
π3 ≡ x + y - 2z -15 = 0, con vector normal n1 = (1, 1,-2)
Para que π1 sea perpendicular a π2 y π3, su vector normal n1 ha de ser proporcional al vector
producto vectorial de n2 y n3 , es decir n2 x n3 .
n2 x n3 =
= i(5) -j(-5)+k(5) = (5,5,5)
Para que n1 = ((1, β ,1), sea proporcional al vector n2 x n3 = (5,5,5), 1/5 = β/5 = 1/5. Operando se
obtiene β = 1, es decir con este valor el plano π1 es perpendicular a π2 y π3,
(
) ( )
1 0 0
0 0 1
B=
A=
3.- Considera las matrices
1 0 0
0 λ 1 y
0 1 0
0 −1 λ
(a) [1 punto] ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?
(b) [1’5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuación matricial A−1 · X · A= B
4.- Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P = ( 1, 0, 2 ) y corta a las rectas r y s
dadas por:
Construimos la recta pedida como intersección de dos planos π 1 y π2, que contienen
respectivamente a la recta r y el punto P, y a la recta s y al punto P
De la recta r tomamos un punto el A(0,-2,0) y el vector v = (3,1,1,). Para el plano π1, necesitamos
también el vector AP = (1,2,2)
∣
x−1
π1 ≡ 3
1
y−0
1
2
∣
z−2
1
2
=-y+z-2=0
De la recta s tomamos un punto el B(-1,0,0) y el vector w = (2,6,0)x(0,1,2) = (12,-4,2) . Para el
plano π2, necesitamos también el vector BP = (2,0,2)
= (x-1)(-8) -(y)(24-4) + (z-2)(8) = -8x -20y + 8z - 8 = 0
La recta pedida es
-y+z-2=0
- 2x -5y + 2z - 2 = 0