2º BACHILLERATO- MATEMATICAS II - SOLUCIONES PRUEBA 1- 2ª EVALUACIÓN 1.-Dado el plano π 2x-y+2z+1 = 0 , hallar las ecuaciones de los planos paralelos a π que se encuentran a 3 unidades de π: SOLUCIÓN: Planos paralelos : 2x – y + 2z + D1 =0 , π2 2x – y + 2z + D2 =0 1 *Un punto del plano π : SOLUCIÓN: 1 =9 D-1 = D1= -8 D2= 10 2x – y + 2z -8 =0 , π2 2x – y + 2z +10 =0 OTRA FORMA: Sean (a,b,c) puntos del espacio que están a distancia 3 del plano 2x –y +2z+1= 0 =3 –> 2·a-b+2c +1 = 9 Soluciones: Son las ecuaciones de dos planos: 2.- Dado el plano π 2x-y+2z-8= 0 , 2x-y+2z+10=0 , se pide: a)Calcular el punto simétrico P del punto O(0,0,0) respecto del plano π. b)Calcular el coseno del ángulo α que forman el plano π , y el plano x=0. c)Calcular el volumen del tetraedro T determinado por el plano π , y los planos x=0, y=0, z=0. SOLUCIÓN: a) π , Sea r una recta perpendicular a π y pasa por O un vector director de la recta r será un vector normal a π : r ; r corta a π en un punto Q que es el punto medio del segmento que une O con su simétrico P O Q P Hallamos Q (punto de corte de r y π) λ+3·(3λ)+λ = 4 11λ = 4 λ= Q es el punto medio del segmento OPsiendo P(a,b,c) Q= P ) b) Planos: x+3y+z -4 =0 y x=0 el ángulo que forman los planos es el mismo que forman sus vectores normales : (1,3,1) y (1,0,0): cosα= c)volumen del tetraedro T: los planos x=0, y= 0 y z=0 se cortan en los ejes coordenados, por lo que el tetraedro se forma con el origen de coordenados y los puntos de corte del plano con los 3 ejees: Puntos de corte A(4,0,0), B(0, , C(0,0,4) y O(0,0,0,) el volumen del tetraedro es del valor absoluto del producto mixto formado por los vectores 3.- Dados el plano π : y la recta r y el punto P(-2,3,2), perteneciente al plano π, se pide: a) Determinar la posición relativa de π y r. b) Calcular la ecuación de la recta t contenida en π, que pasa por el punto P y que corta perpendicularmente a r. c) Sea Q el punto de intersección de r y t . Si S es la recta perpendicular al plano π y que contiene a P , y R es un punto cualquiera de s, probar que la recta determinada por R y Q es perpendicular a r. SOLUCIÓN: a) Ver posición relativa de π y r : Observamos que el vector normal a (1,2,-1) es perpendicular al vector director de r(2,1,4) ya que: (1,2,-1)·(2,1,4)= 1·2+2·1-1·4 = 0 la recta es paralela a o está contenida en él, comprobamos: r: 3+2λ+2·( -( = 3+2λ - =2 r está contenida en π b) Ecuación de t : está contenida en π , es perpendicular a r pasa por P. Como su dirección es perpendicular a r y también al normal del plano por estar contenida en él , la dirección de r es perpendicular a las dos a la vez entontes viene dada por el producto vectorial de los dos vectores: t : c) Q punto de corte de t y r µ=-3-4λ 2+λ=3+6+8λ -7=7λ λ=-1 µ=1 Q( 1,1,1) R( S es perpendicular a π y contiene a P: , ver que , =0 · (2,1,4) = 6 - 2λ – 2 - 2λ – 4 + 4λ = 0 4.- Los puntos A(0,0,4) y A’(2,4,0) son los extremos de un diámetro de una esfera. a)Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera, y obtener su ecuación. b)Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4). SOLUCIÓN: a) Centro es es punto medio del segmento AA’ =C Radio Dist(A,C)= Ecuación: (x-1)2+(y-2)2+(z-2)2=9 x2+1-2x +y2+4-4y + z2+4-2z-9=0 x2+ y2+ z2-2x -4y-2z +1 +4+4-9=0 x2+ y2+ z2-2x -4y-2z=0 b) Plano tangente a la esfera en P(2,4,4) El vector que une el centro con el punto de tangencia es normal al plano tangente plano: x + 2y + 2z + D = 0 contiene a P 2+2·4+2·4+D=0 2+8+8+D=0D=-18 ecuación del plano: x + 2y + 2z – 18 = 0