4. Producto vectorial y producto mixto.

Tema III. Capı́tulo 4. Producto vectorial y producto mixto.
Álgebra. Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación. UDC.
4. Producto vectorial y producto mixto.
y
|MBB 0 | > 0.
Por tanto:
En este capı́tulo trabajaremos en un espacio euclı́deo U de dimensión
3.
1 2 3
ē ē ē |GB | x1 x2 x3 y1 y2 y3 p
1
1.1
Producto vectorial.
Definición.
Definición 1.1 Sea x̄, ȳ dos vectores en U y supongamos que fijamos una base de
referencia B = {ē1 , ē2 , ē3 }. Definimos el producto vectorial de x̄, ȳ como el vector
x̄ ∧ ȳ verificando:
01
ē
= |MBB 0 GB 0 MBB 0 ||MB 0 B | x01
01
01 y02
ē
ē
p
= |GB 0 ||MBB 0 ||MB 0 B | x01 x02
01 y 02
01 02 03 y
ē
ē
ē
p
= |GB 0 | x01 x02 x03 .
y 01 y 02 y 03 p
t
ē02 ē03 x02 x03 =
02
03 y y
ē03 x03 =
03 y
Como consecuencia de esto, es suficiente verificar la fórmula en una base cualquiera.
Comprobemos que dicha fórmula cumple la definición de producto vectorial. Sea:
1. Si x̄, ȳ son dependientes, entonces x̄ ∧ ȳ = 0̄.
2. Si x̄, ȳ son independientes, verifica:
z̄ =
(a) x̄ ∧ ȳ es perpendicular a x̄ e ȳ.
p
1 2 3
ē ē ē |GB | x1 x2 x3 .
y1 y2 y3 (b) kx̄ ∧ ȳk = kx̄kkȳk|sen(x̄, ȳ)|.
Está claro que si x̄, ȳ son dependientes el resultado obtenido es 0̄. En otro caso
escogemos la siguiente base
(c) La base {x̄, ȳ, x̄ ∧ ȳ} tiene la misma orientación que B.
B 0 = {ū1 , ū2 , ū3 }
La definición es coherente porque dados dos vectores independientes x̄, ȳ en un
espacio euclı́deo 3-dimensional, el espacio de vectores perpendiculares a ambos tiene
dimensión 1. Por tanto hay un único vector en este subespacio si fijamos su norma
y su sentido.
1.2
GB 0 =
Supongamos que fijamos una base B = {ē1 , ē2 , ē3 }. Consideramos su base recı́proca
B ∗ = {ē1 , ē2 , ē3 }. Entonces:
Y:
z̄ =
Teorema 1.2 Si conocemos las coordenadas contravariantes de x̄, ȳ, las coordenadas
covariantes del producto vectorial se obtienen como:
kz̄k2
Prueba: Veamos primero que esta fórmula se comporta bien con el cambio de
base. Si B 0 es otra base con la misma orientación que B se tiene:
(e) = (e0 )MB 0 B ;
kx̄k2
x̄ · ȳ
0
x̄ · ȳ
kȳk2
0
0
0
1
!
1
ū ū2 ū3 p
p
|GB 0 | 1
0
0 = |GB 0 |ū3 = |GB 0 |ū3 .
0 1 0
p
Con lo cual vemos que z̄ es perpendicular a x̄, ȳ. Además la base {x̄, ȳ, z̄} tiene
la misma orientación que B 0 y a su vez que B 0 . Por tanto únicamente nos queda
comprobar que la norma de z̄ es la correcta. Pero teniendo en cuenta que ū3 es
unitario:
1
ē ē2 ē3 p
1
x̄ ∧ ȳ = |GB | x
x2 x3 y1 y2 y3 (y) = (y 0 )MB 0 B ;
ū2 = ȳ,
y donde ū3 es un vector ortogonal a x̄, ȳ unitario, y cuyo sentido está escogido de
manera que la orientación de la base B 0 coincida con la del base B. Entonces:
Expresión analı́tica.
(x) = (x0 )MB 0 B ;
donde ū1 = x̄,
= |GB 0 | = kx̄k2 kȳk2 − (x̄ · ȳ)2 = kx̄k2 kȳk2 − kx̄k2 kȳk2 Cos(x̄, ȳ)2 =
= kx̄k2 kȳk2 (1 − Cos(x̄, ȳ)2 ) = kx̄k2 kȳk2 Sin(x̄, ȳ)2 .
GB = MBB 0 GB 0 MBB 0 t ;
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Tema III. Capı́tulo 4. Producto vectorial y producto mixto.
Álgebra. Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación. UDC.
Teorema 1.3 Si conocemos las coordenadas covariantes de x̄, ȳ, las coordenadas
contravariantes del producto vectorial se obtienen como:
2
Definición 2.1 Definimos el producto mixto de tres vectores x̄, ȳ, z̄ de un espacio
euclı́deo 3-dimensional como:
ē1 ē2 ē3 1
x̄ ∧ ȳ = p
x1 x2 x3 |GB | y
y
y 1
2
Producto mixto
[x̄, ȳ, z̄] = (x̄ ∧ ȳ) · z̄.
3
Como consecuencia de la expresión analı́tica vista para el producto vectorial se
tiene la siguinte expresión para el producto mixto:
Prueba: Se comprueba de manera análoga a la fórmula anterior.
Teorema 2.2 Sean x̄, ȳ, ȳ son tres vectores de U y B una base. Se verifica:
1.3
Propiedades.
[x̄, ȳ, z̄] =
p
Teniendo en cuenta la expresión analı́tica del producto vectorial, es fácil deducir las
siguientes propiedades:
1
x x2 x3 1
2
3
|GB | y
y
y z1 z2 z3 x1 x2 x3 [x̄, ȳ, z̄] = p
y1 y2 y3 |GB | z
z
z 1
1
2
3
El producto mixto cumple las siguientes propiedades:
1. x̄ ∧ ȳ = 0̄ ⇐⇒ x̄, ȳ son dependientes.
1. [x̄, ȳ, z̄] = 0 ⇐⇒ {x̄, ȳ, z̄} son dependientes.
2. Es trilineal, es decir:
2. El producto vectorial es bilineal, es decir:
[αx̄ + β x̄0 , ȳ, z̄] = α[x̄, ȳ, z̄] + β[x̄0 , ȳ, z̄].
x̄ ∧ (αȳ + β ȳ 0 ) = αx̄ ∧ ȳ + β x̄ ∧ ȳ 0 .
[x̄, αȳ + β ȳ 0 , z̄] = α[x̄, ȳ, z̄] + β[x̄, ȳ 0 , z̄].
(αx̄ + β x̄0 ) ∧ ȳ = αx̄ ∧ ȳ + β x̄0 ∧ ȳ.
[x̄, ȳ, αz̄ + β z̄ 0 ] = α[x̄, ȳ, z̄] + β[x̄, ȳ, z̄ 0 ].
3. El producto vectorial es antisimétrico, es decir:
3. Es antisimétrico, es decir:
x̄ ∧ ȳ = −ȳ ∧ x̄.
1.4
[x̄, ȳ, z̄] = −[ȳ, x̄, z̄] = −[x̄, z̄, ȳ] = −[z̄, ȳ, x̄].
Interpretación geométrica.
Por último el producto mixto de tres vectores tiene la siguiente interpretación
geométrica.
Teorema 1.4 El módulo del producto vectorial de dos vectores x̄, ȳ, corresponde
con el área del paralelogramo que determinan:
Teorema 2.3 El valor absoluto del producto mixto de tres vectores x̄, ȳ, z̄ corresponde con el volumen del paralelepı́pedo que determinan.
Prueba: Se tiene:
Prueba: Se tiene que:
Volumen paralelepı́pedo = Area base·H = kx̄∧ ȳkkzkCos(θ) = |(x̄∧ ȳ)·z̄| = |[x̄, ȳ, z̄]|.
Area de paralelogramo = kx̄kh = kx̄kkȳk|Sin(x̄, ȳ)| = kx̄ ∧ ȳk.
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