S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 AL G U N O S E J E M P L O S D E C O N S T R U C C IÓ N D E P O L ÍG O N O S R E G U L AR E S 1 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid o s s u cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A. Con centro en O y radio OA s e traz a un cir cunferencia. L uego s e bus ca el punto K , cor te entre la prolongación de OA y la circunferencia traz ada. Con centro en K y radio K O s e dibuja un arco, que, al cortar a la circunferencia, define los vértices B y C del triángulo pedido. A O C B K 2 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB . Con centro en A y radio AB s e traz a un arco. L uego, con centro en B e igual radio s e dibuja un s egundo arco. L os cortes entre los arcos s eñalados definen las dos pos ibles s oluciones para el punto C. C A B C 3 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid a s u alt u r a AM . S e com ienz a dividiendo el s egm ento AM en tres partes iguales . E l punto del s egm ento ubicado a una ter cer a parte de la dis tancia des de M es el centro O del polígono. Con centro en O y radio OA s e traz a una cir cunferencia. L uego, s e traz a una perpendicular a AM por el punto M . F inalm ente los puntos de corte entre dicha perpendicular y la circunferencia s on los vértices B y C del polígono. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 A O C B M 4 . C o n s t r u ir u n t r ián gu lo eq u ilát er o co n o cid o s el p u n t o m edio M d el lad o AB y el p u n t o m ed io N d el lad o B C . Con radio M N y haciendo centro prim ero en M y luego en N , s e traz an arcos , que, al cortars e entre s í, definen las dos s oluciones pos ibles para B . L uego, s e prolongan los s egm entos B M y B N copiando la dis tancia B M (o B N ). D e es a m anera s e obtienen los vértices A y C del polígono. A M C N B 5 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o s el cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A. E n prim er lugar s e dibuja una circunferencia con centro en O y de r adio OA. S e prolonga el s egm ento OA has ta cortar la cir cunferencia; es to de cóm o res ultado el vértice C. F inalm ente, s e traz a por O una per pendicular a OA que corta a la circunferencia en los vértices B y D del polígono. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 A O D B C 6 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB . H aciendo centro en A (o en B ) s e traz a un arco de radio AB . P or B s e levanta una perpendicular a AB que corta al arco traz ado en D . L uego, con igual radio (AB ) s e hace centro s uces ivam ente en B y en D y s e traz an arcos que s e cortan en C. D A C B 7 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o d ad a u n a d e s u s d iag o n ales AC . S e determ ina en prim er lugar la m ediatriz de AC. E l corte de la m encionada m ediatriz con el s egm ento AC res ulta en el centro del cuadrado O. H aciendo centro en O y con radio OA u OC s e traz a una circunferencia que corta a la m ediatriz de AB en los puntos B y D , vértices del polígono. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 D C O A B 8 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o s M , p u n t o m ed io d el lad o AB , y N , p u n t o m ed io d el lad o B C . E n prim er lugar, s e determ ina la m ediatriz y el punto m edio K del s egm ento M N . L uego, con centro en K y radio K M o K N , s e traz a una circunferencia que, al cortar la m ediatriz de M N , define las dos pos ibles s oluciones para B . L uego, s e prolongan los s egm entos B M y B N copiando la dis tancia B M (o B N ). D e es a m anera s e obtienen los vértices A y C del polígono. F inalm ente, s e traz an dos arcos de radio AB y centros en A y C, res pectivam ente; el corte de tales arcos produce el vértice D del polígono. C D N K A M B 9 . C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o s el cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 P rim ero s e traz a una circunferencia con centro en O y radio OA; el radio de es ta circunferencia es igual a la longitud de los lados del hex ágono. L uego, con el m is m o radio OA y con centro en A s e dibujan ar cos que cortan a la cir cunferencia en B y F . S eguidam ente, con centro en B y F s e traz an otros arcos – con radio OA- que generan los vértices C y E . F inalm ente, con centro en C o en E s e traz a un últim o arco de radio OA que corta a la circunferencia en el vértice D . A F B O E 10. C D C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB . S e com ienz a dibujando arcos con centro en A y B y de radio AB ; el corte de dichos arcos es el centro del hex ágono O. L uego s e procede com o en el cas o anterior. D E C O F B A 11. C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cido s M , p u n t o m ed io d el lad o AB y N , p u n t o m ed io d el lad o C D . E n prim er s e cons truye un hex ágono regular de cualquier tam año y en cualquier pos ición; s obre él s e identifican los puntos M ’ y N ’, equivalentes a M y N del hex ágono pedido. L uego s e copia, con ayuda del com pás , el triángulo M ’N ’O’, haciendo coincidir a los puntos M y M ’ ( o a los puntos N y N ’). S eguidam ente, por s em ejanz a de figuras planas s e dibuja el triángulo M N O y s e tr az a una circunferencia con centro en O y radio ON (ins crita en el hex ágono). P or el punto N s e cons truye una recta tangente a la circunferencia y s e traz a por O una paralela a M N , que, al cortar la tangente, genera el vértice D . F inalm ente, s e procede com o en el ejem plo N ° 9 . P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 D D' N E N' C N' C' O' O O' F B M' A' M=M' B' A 12. C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o s el cen t r o y u n a r ect a “ m ” q u e co n t ien e al lad o AB . E n prim er lugar, s e traz an líneas rectas que pas en por O y form en 6 0 ° con la recta “m ”; los cortes entre es as líneas y “m ” s on los vértices A y B . L uego s e procede com o en el ejem plo N° 9. E D F O C 60° A 60° B 13. m C o n s t r u ir u n p en t ág o n o r eg u lar co n o cid o el cen t r o O y el vér t ice A. S e com ienz a dibujando una circunferencia de centro en O y radio OA. L uego, s e traz a un diám etro per pendicular a OA y s e dibuja un arco con radio OA y centro en cualquiera de los ex trem os del m encionado diám etro. L a unión de los cortes entre el arco y la circunferencia define al punto M . S eguidam ente, haciendo centro en M y con radio M A s e dibuja un arco que corta al diám etro en el punto K ; la dis tancia AK cor res ponde al tam año de los lados del pentágono. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 A B E O K M C D 14. C o n s t r u ir u n p en t ág o n o r eg u lar co n o cid o el lad o AB . S e com ienz a traz ando por B una perpendicular a AB y dibujando un arco de centro en B y radio B A, el cual corta a la perpendicular en el punto 1 . L uego, con centro en M , punto m edio de AB , y radio M 1 s e traz a un arco que corta a la prolongación de AB en el punto 2 . E n s eguida s e dibuja un arco de centro en A y radio A2 . E l corte entre es te ar co y el prim ero que s e traz ó define al vértice C del pentágono. S eguidam ente, s e levanta por M una perpendicular a AB y s e dibuja un arco con centro en C y radio AB ; el corte entre es tos elem entos define a D . F inalm ente, m anteniendo un radio igual a AB , s e traz an arcos haciendo centro en D y A; el corte entre ellos res ulta s er el vértice E . D E 1 15. C Ao r eg u larM co n o cid oBs lo s vér 2 C o n s t r u ir u n p en t ág o n t ices A y C (D iag o n al). S e com ienz a levantando por A una perpendicular al s egm ento AC y traz ando un arco con centro en A y radio AC, la cual corta a la perpendicular en el punto 1 . S eguidam ente s e determ ina el punto m edio M del s egm ento A1 y s e cons truye una circunferencia con centro en M y radio M 1 ; el corte entre es ta circunfer encia y la línea definida por M y C res ulta en el punto 2 . L a dis tancia C2 es igual al tam año de los lados del pentágono, por lo tanto, el corte entre dos arcos de radio C2 y con centros en A y C definen al vértice B . F inalm ente, s e procede com o en el ejem plo anterior. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0 D 1 C E 2 M B A 16. C o n s t r u ir u n p en t ágo n o r eg u lar co n o cido s u cen t r o O y u n a r ect a “ m ” s o b r e la q u e s e en cu en t r a el lad o AB . E n prim er lugar s e traz a un perpendicular a la recta “m ” por el punto O que la corta en R (punto m edio de AB ). L uego, s e cons truye una circunferencia con centro en O y radio OR (ins crita en el pentágono); el corte entre la prolongación de OR y la circunferencia es el punto D ’ . A continuación s e cons truye un pentágono A’B ’C’D ’E ’ con centro en O y vértice en A’. L uego, s e traz an las líneas definidas por O A’ y O B ’; el corte entre es as líneas y la recta “m ” s on los vértices A y B del pentágono pedido. F inalm ente s e proce de aplicando s em ejanz a de figuras planas . D D' E E' C' C O M K A' A B' R B m N ota: E l es tudiante debe com plem entar es ta inform ación us ando la bibliografía recom endada. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo