Cálculo de la BER y relación S/N La tasa de error de bit o BER mide el promedio de errores ocurridos en la transmisión. BER = Número de errores Número de bits transmitidos En el receptor, si estamos detectando una señal ruidosa, habrá “ceros” que se puedan confundir como “unos” y “unos” que se puedan confundir como “ceros”, dependiendo de lo ruidosa que sea la señal y de donde coloquemos el umbral de decisión (vth). En la figura siguiente se puede observar un de la histograma distribución de ceros. eje El unos y vertical representaría los niveles de tensión detectados para unos y para ceros. Las funciones representan la probabilidad de detectar un uno para una tensión “y” (p(y|1)) o un cero para una tensión “y”(p(y|0)). La probabilidad de error viene dada por: BER = Pe = aP1 (vth ) + bP0 (vth ) , es decir la probabilidad de recibir un uno “a ” por la probabilidad de detectarlo con una tensión inferior a la umbral (P1(vth)) (se detectaría como un cero) mas la probabilidad de recibir un cero “b ” por la probabilidad de detectarlo con una tensión superior a la umbral (P0(vth)) (se detectaría como un uno). P1(vth) sería el área rayada que queda por debajo del umbral y P0(Vth) sería el área rayada que queda por encima del umbral. Estas probabilidades se calcularían para una tensión “v” como: v P1 (v) = ∫ p ( y | 1)dy −∞ y ∞ P0 (v) = ∫ p ( y | 0)dy v APROXIMACIONES • Suponemos que la tensión de salida vout(t) sigue una distribución gaussiana, tanto para los unos como para los ceros. En este caso, la desviación estándar σ representa el valor de la tensión de ruido rms (VN), σ2 es la varianza y 2√2⋅ σ es la anchura de la gaussiana cuando cae a un valor 1/e del máximo. • El número de ceros y de unos es el mismo. a= b • La probabilidad de error de unos (P1(vth)) y ceros (P0(vth)) es la misma. • La tensión umbral estaría colocada en el medio de vON y vOFF. • La desviación estándar para unos σON y σOFF para ceros vale lo mismo: σON= σOFF En estas condiciones: Pe = aP1 (vth ) + bP0 (vth ) = 1 1 P1 (vth ) + P0 (vth ) = P1 (vth ) = P0 (vth ) 2 2 P0(vth) y P1(vth)se calculan como: P0 (vth ) = 1 2π σ OFF ∫ ∞ v th e − (v − vOFF )2 2 2σ OFF dv y P1 (vth ) = Vamos a calcular P0(vth), haciendo un cambio de variables: x= v − vOFF 2 ⋅ σ OFF luego : dx = 1 dv ⇒ dv = 2 ⋅ σ OFF ⋅ dx 2 ⋅ σ OFF 1 2π σ ON ∫ v th −∞ e − (vON − v )2 2 2σ ON dv Los límites variarán entre: x= vth − vOFF Q = 2 ⋅ σ OFF 2 y ∞, donde Q = vth − vOFF = σ OFF vON − vth σ ON = Vout / 2 σ ON = S N Sustituyendo: P0 (vth ) = 2σ OFF 2π σ OFF ∫ ∞ Q 2 e − x dx = 2 1 π ∫ ∞ Q 2 2 e − x dx = 1⎡ 2 ⎢ 2⎣ π ∫ ⎤ 2 e − x dx ⎥ 2 ⎦ ∞ Q Como sabemos que: erf ( z ) = 2 π ∫ z 0 2 e − x dx y erfc( z ) = 1 − erf ( z ) = 2 π ∫ ∞ z 2 e − x dx Podemos escribir: 1 ⎛ Q ⎞ 1 ⎛ Vout BER = erfc⎜ ⎟ = erfc⎜ 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2 2σ ⎞ 1⎡ ⎛ Q ⎞⎤ 1 ⎡ ⎛ Vout ⎟ = ⎢1 − erf ⎜ ⎟⎥ = ⎢1 − erf ⎜ ⎠ 2⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣ ⎝ 2 2σ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ Habitualmente se representa la BER en función de Q, o bien en función de la amplitud alterna de la tensión de salida (Vout) partida por el ruido rms (σ), Vout/ σ.