MATE 3171

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Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM)
Conferencia
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Funciones cuadr·ticas y modelos
DeÖniciÛnUna funciÛn polinÛmica de grado n se deÖne por:
P ( x ) = an x n + an ! 1 x n ! 1 + " " " + a1 x + a0
donde n 2 N y an , an !1 , " " " , a1 , a0 2 R.
Nota: Recuerde que ya se ha estudiado las funciones de grado 0 y 1:
P (x ) = a y P (x ) = a1 x + a0 , respectivamente.
DeÖniciÛnUna funciÛn cuadr·tica es una funciÛn polinÛmica de grado 2 y
es de la forma:
f (x ) =
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,
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a 6= 0
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Forma est·ndard de una funciÛn cuadr·tica
Una funciÛn cuadr·tica f (x ) = ax 2 + bx + c se puede expresar en la
forma est·ndard
f (x ) =
completando cuadrados. La gr·Öca de f es una par·bola con vÈrtice
(h, k ) ; la par·bola se abre hacia arriba si a > 0 y se abre hacia abajo si
a < 0.
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Valores m·ximos y mÌnimos de una funciÛn cuadr·tica
Sea f una funciÛn cuadr·tica en su forma est·ndard
f (x ) = a (x ! h)2 + k. Los valores m·ximos o mÌnimos de f ocurren en
x =h
Si a > 0, entonces el valor mÌnimo de f es: f (h) = k.
Si a < 0, entonces el valor m·ximo de f es: f (h) = k.
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Valores m·ximos y mÌnimos de una funciÛn cuadr·tica
El valor m·ximo o mÌnimo de una funciÛn cuadr·tica
f (x ) = ax 2 + bx + c ocurre en:
!
Si a > 0, entonces el valor mÌnimo de f es: f (
).
Si a < 0, entonces el valor m·ximo de f es: f (
)
Modelando con funciones cuadr·ticas
Se discutir·n algunos ejemplos de la vida real que se pueden modelar por
medio de funciones cuadr·ticas.
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Ejemplos
3.1.1 La gr·Öca de una funciÛn cuadr·tica f (x ) = ! 21 x 2 ! 2x + 6, es
dada:
a. Halle las coordenadas del vÈrtice: (h, k ) = (
)
b. Halle el valor m·ximo o mÌnimo de f : posee un __?__ en x =? y el
valor __?__ es f (h =) =?
c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___
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3.1.2 La gr·Öca de la funciÛn cuadr·tica f (x ) = 3x 2 + 6x ! 1, es dada:
a. Halle las coordenadas del vÈrtice: (h, k ) = (
)
b. Halle el valor m·ximo o mÌnimo de f : posee un __?__ en x =? y el
valor __?__ es f (h =) =?
c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___
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3.1.3 Una funciÛn cuadr·tica f (x ) = x 2 ! 4x ! 2, es dada:
a. Exprese la funciÛn cuadr·tica en su forma est·ndard
Completando cuadrados: f (x ) =
1
b. Halle las coordenadas del vÈrtice: (h, k ) = (
con los ejes
Eje X: y = 0 )
) y sus interceptos
1
1
Eje Y: x = 0 )
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1
c. Trace la gr·Öca de f
y
6
5
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
1
d. Halle los valores m·ximos o mÌnimos: tiene un mÌnimo en h =
su valor mÌnimo es:
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y
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!
"
3.1.4 Una funciÛn cuadr·tica f (x ) = !5 + 6x ! 2x 2 = !2 x 2 ! 3x ! 5,
es dada:
a. Exprese la funciÛn cuadr·tica en su forma est·ndard
1
b. Halle las coordenadas del vÈrtice: (h, k ) = (
con los ejes
Eje X: y = 0 )
) y sus interceptos
1
1
Eje Y: x = 0 )
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1
c. Trace la gr·Öca de f
y
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1
d. Halle los valores m·ximos o mÌnimos: tiene un m·ximo en h =
su valor m·ximo es: f (h) =
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y
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3.1.5 Halle los valores m·ximos o mÌnimos de la funciÛn
f (x ) = 10x 2 + 70x ! 90.
Como
, la funciÛn posee un mÌnimo en
y su valor mÌnimo es:
f(
)=
3.1.6 Halle los valores m·ximos o mÌnimos de la funciÛn
f (x ) = !3x 2 + 12x + 100.
Como
, la funciÛn posee un m·ximo en
y su valor m·ximo es:
f(
)=
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3.1.7 Halle todos los valores m·ximos y mÌnimos locales de la funciÛn cuya
gr·Öca se muestra:
Tiene m·ximos en x =
respectivamente.
Tiene mÌnimos en x =
respectivamente.
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,x =
y sus valores m·ximos son:
,x =
y sus valores mÌnimos son:
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,
,
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3.1.9 Un vendendor de bebidas en una playa analiza su registro de ventas y
encuentra que si vende x latas de la bebida de soda en un dÌa, su
ganancia en dÛlares es dada por:
P (x ) = !0.001x 2 + 3x ! 1800
Determine la ganancia m·xima diaria y la cantidad de latas que debe
vender.
Como
< 0, P (x ) posee un m·ximo y se alcanza cuando vende
latas
y la m·xima ganancia es
f(
por dÌa.
)=f (
)=
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