Application of mathematics to easily detect lung cancer Carlos Calvo Luque Claudia Ceña López Universidad Complutense de Madrid Ingeniería Química Introducción -Utilidad de las matemáticas -Dar a conocer el Proyecto Europeo LCAOS Objetivo Proyecto Europeo LCAOS “A nanoscale artificial nose to easily detect volatile biomarckers at early satges of lung cancer and related genetic mutations” Detección de cáncer de pulmón. - Facilitar su detección temprana - Determinar la posibilidad potencial de padecerlo - Cáncer de pulmón Responsable del 28% de las muertes a nivel mundial. Síntomas se manifiestan cuando la enfermedad está avanzada → sólo un 15 % se detectan en etapas iniciales. Métodos de detección hoy en día son invasivos y costosos: ◦ Broncoscopia ◦ Biopsia de médula ósea. ◦ Tomografía computarizada Problemática: -Detección tardía de la enfermedad. -Proporcionan falsos positivos. -No son eficientes en tiempo y coste para revisiones generalizadas. Proyecto LCAOS - Desarrolla una herramienta y una metodología para la detección del cáncer de pulmón: • • • • No invasiva. Barata. Precisa. Rápida respuesta. Se conoce como nariz artificial (NaNose) - Fundamento de NaNose: localización de biomarcadores volátiles emitidos por las paredes de las células cancerosas y que están presentes en el aire exhalado por las personas. Riesgo genético de padecer cáncer Biomarcadores indican: Presencia de cáncer Nariz Artificial NaNose LCAOS EN ESPAÑA Desarrollo de algoritmos matemáticos para el tratamiento de los datos. Biomarcadores en el aire exhalado. Algoritmos matemáticos -Tipo -Concentración Sí cáncer No cáncer Modelo matemático -Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un determinado sistema. Salida= f(entrada, parámetros) Ejemplo: Concentración de oxígeno-Profundidad del mar [O2] (mg/L)exp 0 9,01 1 8,4 2 8,33 3 7,79 4 7,43 5 7,02 6 6,58 7 6,3 8 5,6 9 5,2 10 5,04 [O2] vs profundidad [O2] (mg/l) Profundidad (m) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 [O2] = -0,406*Profundidad + 9,003 R² = 0,992 0 2 4 6 Profundidad (m) 8 Para h= 5,5m la [O2]= 6,77 mg/l 10 La [O2] (mg/l) puede verse modificada además: -Difusión del oxígeno de la atmósfera al agua. -Temperatura. -Presencia de organismos vivos (respiración). -Presencia de algas (fotosíntesis). Respuesta no lineal Tipos de modelos no lineales Redes neuronales Autómatas celulares Modelos no lineales Lógica difusa Caos Modelos no lineales. Caos Determinista Determinista Predecible Determinismo: universo se rige por conjunto de leyes físicas inquebrantables •Mecánica clásica Sistemas complejos aleatorios Sistemas caótico-deterministas un Modelos no lineales- Caos determinista Características Dinámica no lineal Sistemas deterministas simples Siempre pueden predecirse a muy corto plazo Generan comportamientos impredecibles a largo plazo Bajo número de variables Fuerte interdependencia entre ellas Sensibilidad a las condiciones iniciales 11 Modelos no lineales- Caos determinista Ejemplos de sistemas caótico-deterministas Ecuación logística Sistemas de ecuaciones de Lorenz y Rösler Dinámica del goteo de una válvula Dinámica de fenómenos solares Mecanismos de contagio de ciertas enfermedades Modelos no lineales- Caos determinista Ecuación logística yn xn 1 xn K K=0.8 K=3.1 K=2.5 K=3.8 x n 1 y n K es el parámetro de control K>3.5699 el sistema se comporta caóticamente Modelos no lineales- Caos determinista Parámetros caóticos A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. ESPACIO DE FASES B. FUNCIÓN DE CORRELACIÓN C. SECCIÓN DE POINCARÉ D. MAPA UNIDIMENSIONAL E. CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER F. DIMENSIÓN DEL ATRACTOR G. EXPONENTE DE LIAPUNOV H. ÍNDICE CONJUNTO DE CAOS 14 Modelos no lineales- Caos determinista Espacio de fases Los sistemas caóticos se estudian en el espacio de fases Es un espacio matemático y abstracto Las coordenadas son las variables que definen el estado del sistema Un sistema de n grados de libertad se representa en un espacio de fases n-dimensional. Representación del espacio de fases y de la trayectoria para un péndulo ideal y para un péndulo real con rozamiento 15 Atractores predecibles: punto, ciclo límite y toro Atractores extraños: atractor de Lorenz, de Rössler y de Shaw 16 Modelos no lineales- Caos determinista Exponente de Liapunov Es la medida de la separación exponencial de dos trayectorias del espacio de fases inicialmente próximas: 1 EL t m t0 k m log k 1 L(tk ) L(tk 1 ) Es negativo para un atractor de punto fijo, cero para un ciclo límite o un atractor toroidal y positiva para un atractor extraño Se trata de uno de los parámetros más sensibles del nivel de caos Se puede conocer el máximo exponente de Liapunov (M.E.L.) de un sistema, tantos como dimensiones. Cada uno mide el grado de divergencia del atractor en una dirección diferente. 17 Modelos no lineales Redes neuronales Las redes neuronales se basan en modelos matemáticos que presentan un comportamiento semejante al de las neuronas del cerebro. Basado en su capacidad de comunicarse. Sinapsis Cuerpo celular Dentritas. Señal al interior Axón, transporta la señal al exterior Las neuronas tienen capacidad de comunicarse unas con otras. Modelos no lineales- Redes Neuronales Descripción en redes neuronales artificiales: El comportamiento básico consiste en sumar determinadas señales de entrada a la célula y expresar un efecto global de salida Entradas a la neurona neurona artificial Señal de salida En la red neuronal se transforman varias señales de entrada en una de salida. Modelos no lineales- Redes Neuronales Forma matemática: x1 Neurona artificial W1 x2 x3 ∑ W2 F ᶴ Salida=f(entrada) W3 Función de activación Suma ponderada de señales las entradas: Fa=∑Wi*xi Wi=peso de cada entrada. xi=cada una de las entradas Función de transferencia Transforma la suma en un nuevo valor. •Función Escalón •Función rampa •Sigmoidal Modelos no lineales- Redes Neuronales Funciones de transferencia Función escalón Función rampa Función sigmoide Ejemplo: Neurona artificial X= 0,5 FUNCIÓN ACTIVACIÓN FUNCIÓN TRASNFERENCIA Y= 0,1 Tipo sigmoide U=0,5+0,1=0,6 Z(u)=1/(1+exp(-u)) Z(0,6)=1/(1+exp(-0,6))= 0,65 Z=0,65 Red neuronal La combinación de varias neuronas da lugar a una red neuronal formada por varias capas: Conjunto de neuronas agrupadas en varios niveles o capas ◦ Capa que recibe la entrada: Capa de entrada. ◦ Capa que genera la salida: Capa de salida ◦ Conexión entre ambas capas: Capa oculta Las conexiones entre cada neurona y capa vienen determinadas por sus pesos. Modelos no lineales- Redes Neuronales Combinación de varias capas Modelos no lineales- Redes Neuronales Funcionamiento de una red neuronal: ◦ Proceso de aprendizaje: 1) Se fijan las funciones de transferencia para cada neurona. 2) Mostrar a la red pares de valores de entrada y salida. 3) Red neuronal modifica los pesos de las entradas hasta que sea capaz de reproducir la muestra. 4) Se consigue una red adiestrada que asocia patrones de entrada y de salida. Se consigue generalizar problemas , es decir, generar salidas adecuadas ante nuevas entradas, similares a las aprendidas pero nunca vistas antes Conclusiones Cáncer es una enfermedad que origina miles de muertes año. Técnicas para su determinación son invasivas y costosas. Es necesario invertir en I+D para desarrollar nuevas metodologías: NaNose Matemáticas tienen un uso importante en este objetivo. FIN