LOS ORIGENES DE LA TRIGONOMETRIA ¿A que distancia de la Tierra está el Sol? ¿A que distancia de la Tierra esta la Luna? ¿Cuál es el tamaño de cada uno de estos cuerpos celestes? Estas preguntas y sus primeras respuestas son el motor que impulsa el desarrollo de la Trigonometría en Alejandría, durante el tercer siglo antes de nuestra era. En esta labor participaron un buen número de astrónomos y matemáticos de la época. El primer trabajo importante en esta dirección es : “Sobre los tamaños y las distancias de la Tierra y la Luna” escrito aproximadamente en el año 260 antes de nuestra era por Aristarco de Samos (310-230 A. C.) En este trabajo Aristarco calcula, de manera bastante burda, cuantas veces mayor es la distancia de la Tierra al Sol que la distancia de la Tierra a la Luna. Para encontrar la relación entre estas distancias, Aristarco observa que cuando la Luna es precisamente media Luna, el ángulo que une la línea de observación de la Luna y el Sol es aproximadamente 87° (una medida mucho mas aproximada es 89.7°), y como el ángulo que une la línea que une la Luna y el Sol y la Luna y la Tierra es en ese momento 90°, él tiene tres ángulos del triangulo y por lo tanto, la razón entre las distancias queda determinada (figura A-5-a). figura A-5-a Conociendo esta relación y sabiendo que desde la Tierra ambos cuerpos se ven aproximadamente del mismo tamaño, puede calcularse la relación entre sus dimensiones Hiparco de Nices (180-125 A.C.) que vio en Rodas, la rival de Alejandría como centro cultural del Mediterráneo en esa época, calcula la distancia entre la Tierra y la Luna con mucha precisión (su error es menor del 5%), siguiendo esencialmente lo siguiente: Si tenemos dos observadores, suficientemente lejanos uno del otro y sobre el mismo meridiano en el momento en que la Luna pasa por el por el plano de ese meridiano y si cada uno de ellos mide el ángulo que forma la línea de observación a la Luna con la vertical, nos encontramos que en la situación representada por la figura A-5-b, conocemos θ1 y θ 2. Si además conociésemos el ángulo ω, podríamos calcular los ángulos del triangulo ABC, faltándonos únicamente conocer un lado de dicho triangulo, para que este quede determinado. Como los griegos no tenían naves a la Luna, el único lado que podían aspirar a conocer es el lado AB. Pero sobre la Tierra lo que se puede medir, directamente, es la longitud del arco del meridiano entre A y B. Para poder encontrar la distancia entre la línea recta A y B necesitamos conocer e radio de la Tierra. Eratostenes de Ciene(276 – 194 A.C) observo que al medio día (cuando el Sol esta en lo mas alto), el día del solsticio de verano, en la ciudad de Siene, los rayos del Sol penetran directamente hasta el fondo de un profundo pozo, sin que el borde de este proyectase sombra, concluyendo que los rayos del Sol incidían formando un ángulo de 360° 50 con la vertical. Como por la lejanía del Sol podemos considerar que los rayos de luz son paralelos (ver figura A-5-c), de la igualdad de los ángulos L O V y L´ A V, concluyó que el perímetro de la Tierra debía ser 50 veces la distancia entre Alejandría y Siene, o se 40,000 km. De aquí que el radio r de la tierra sea: